一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．進(jìn)一步掌握解直角三角形的方法，比較熟練的應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.
二．學(xué)習(xí)重點難點：
重點：進(jìn)一步用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角、方位角有關(guān)的實際問題.
難點：靈活運(yùn)用三角函數(shù)解決實際問題.
三．教學(xué)過程
【溫故知新】
1．如圖所示，小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點A處測得廣告牌B點、C點的仰角分別為60°和45°，則廣告牌的高度BC為_____________米(結(jié)果保留根號)．
2．如圖，一艘核潛艇在海面下500米A點處測得俯角為30°正前方的海底有黑匣子信號發(fā)出，繼續(xù)在同一深度直線航行4000米后再次在B點處測得俯角為60°正前方的海底有黑匣子信號發(fā)出，求海底黑匣子C點處距離海面的深度？
變式（11四川宜賓）如圖，飛機(jī)沿水平方向（A，B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機(jī)飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN．飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離（因安全因素，飛機(jī)不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請設(shè)計一個求距離MN的方案，要求：
（1）指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；
（2）用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟．
【例題解析】
Ⅰ．甲樓看乙樓問題．
例1．如圖，線段AB、DC分別表示甲、乙兩建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，從B點測得D點的仰角α為60°從A點測得D點的仰角β為30°，已知甲建筑物高AB＝36米．
（1）求乙建筑物的高DC；
（2）求甲、乙兩建筑物之間的距離BC（結(jié)果保留根號）．
變式1：如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距36米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°．
（1）求樓CD的高．
（2）若已知樓CD高為30米，其他條件不變，你能求出兩樓之間的距離BD嗎？
練習(xí)：（10重慶市潼南縣）如圖所示，小明在家里樓頂上的點A處，測量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高，在點A處看電梯樓頂部點B處的仰角為60°，在點A處看這棟電梯樓底部點C處的俯角為45°，兩棟樓之間的距離為30m，則電梯樓的高BC為 米（精確到0.1）.（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）
Ⅱ．方位角問題．
例2．如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處向東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC＝ 米（結(jié)果保留根號）．
變式：如圖, 海上有一燈塔P, 在它周圍3海里處有暗礁. 一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行， 行至A點處測得P在它的北偏東60度的方向， 繼續(xù)行駛20分鐘后， 到達(dá)B處又測得燈塔P在它的北偏東45度方向. 問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危險?
例3．如圖，在某廣場上空飄著一只汽球P，A、B是地面上相距90米的兩點，它們分別在汽球的正西和正東，測得仰角∠PAB=45o，仰角∠PBA=30o，求汽球P的高度___________（結(jié)果保留根號）
變式：如圖所示，A、B兩城市相距100km. 現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi). 請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū). 為什么？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）
【能力訓(xùn)練】
1．（10山東青島）小明家所在居民樓的對面有一座大廈AB，AB＝ 米．為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37°，大廈底部B的俯角為48°．求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長度．（結(jié)果保留整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110）
2．大海中某小島A的周圍22km范圍內(nèi)有暗礁. 一海輪在該島的南偏西55°方向的B處，由西向東行駛了20km后到達(dá)該島的南偏西25°方向的C處.如果該海輪繼續(xù)向東行駛，會有觸礁的危險嗎? (精確到0.1km).
3．氣象局發(fā)出預(yù)報:如圖， 沙塵暴在A市的正東方向400km的B處以40km/h的速度向北偏西600的方向轉(zhuǎn)移，距沙塵暴中心300km的范圍內(nèi)將受到影響，A市是否受到這次沙塵暴的影響?如果受到影響，將持續(xù)多長時間?
1．進(jìn)一步掌握解直角三角形的方法，比較熟練的應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.
二．學(xué)習(xí)重點難點：
重點：進(jìn)一步用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角、方位角有關(guān)的實際問題.
難點：靈活運(yùn)用三角函數(shù)解決實際問題.
三．教學(xué)過程
【溫故知新】
1．如圖所示，小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點A處測得廣告牌B點、C點的仰角分別為60°和45°，則廣告牌的高度BC為_____________米(結(jié)果保留根號)．
2．如圖，一艘核潛艇在海面下500米A點處測得俯角為30°正前方的海底有黑匣子信號發(fā)出，繼續(xù)在同一深度直線航行4000米后再次在B點處測得俯角為60°正前方的海底有黑匣子信號發(fā)出，求海底黑匣子C點處距離海面的深度？
變式（11四川宜賓）如圖，飛機(jī)沿水平方向（A，B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機(jī)飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN．飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離（因安全因素，飛機(jī)不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請設(shè)計一個求距離MN的方案，要求：
（1）指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；
（2）用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟．
【例題解析】
Ⅰ．甲樓看乙樓問題．
例1．如圖，線段AB、DC分別表示甲、乙兩建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，從B點測得D點的仰角α為60°從A點測得D點的仰角β為30°，已知甲建筑物高AB＝36米．
（1）求乙建筑物的高DC；
（2）求甲、乙兩建筑物之間的距離BC（結(jié)果保留根號）．
變式1：如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距36米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°．
（1）求樓CD的高．
（2）若已知樓CD高為30米，其他條件不變，你能求出兩樓之間的距離BD嗎？
練習(xí)：（10重慶市潼南縣）如圖所示，小明在家里樓頂上的點A處，測量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高，在點A處看電梯樓頂部點B處的仰角為60°，在點A處看這棟電梯樓底部點C處的俯角為45°，兩棟樓之間的距離為30m，則電梯樓的高BC為 米（精確到0.1）.（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）
Ⅱ．方位角問題．
例2．如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處向東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC＝ 米（結(jié)果保留根號）．
變式：如圖, 海上有一燈塔P, 在它周圍3海里處有暗礁. 一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行， 行至A點處測得P在它的北偏東60度的方向， 繼續(xù)行駛20分鐘后， 到達(dá)B處又測得燈塔P在它的北偏東45度方向. 問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危險?
例3．如圖，在某廣場上空飄著一只汽球P，A、B是地面上相距90米的兩點，它們分別在汽球的正西和正東，測得仰角∠PAB=45o，仰角∠PBA=30o，求汽球P的高度___________（結(jié)果保留根號）
變式：如圖所示，A、B兩城市相距100km. 現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi). 請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū). 為什么？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）
【能力訓(xùn)練】
1．（10山東青島）小明家所在居民樓的對面有一座大廈AB，AB＝ 米．為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37°，大廈底部B的俯角為48°．求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長度．（結(jié)果保留整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110）
2．大海中某小島A的周圍22km范圍內(nèi)有暗礁. 一海輪在該島的南偏西55°方向的B處，由西向東行駛了20km后到達(dá)該島的南偏西25°方向的C處.如果該海輪繼續(xù)向東行駛，會有觸礁的危險嗎? (精確到0.1km).
3．氣象局發(fā)出預(yù)報:如圖， 沙塵暴在A市的正東方向400km的B處以40km/h的速度向北偏西600的方向轉(zhuǎn)移，距沙塵暴中心300km的范圍內(nèi)將受到影響，A市是否受到這次沙塵暴的影響?如果受到影響，將持續(xù)多長時間?