面積法在幾何問(wèn)題的求解中應(yīng)用非常廣泛，學(xué)會(huì)正確地使用面積法，能解決平面幾何的絕大部分問(wèn)題. 平面幾何中的面積公式以及有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，還可用于幾何證明. 運(yùn)用面積關(guān)系及有關(guān)的性質(zhì)定理來(lái)證明或計(jì)算幾何問(wèn)題的方法，稱為面積法.面積法較其他方法有思路清晰、直觀簡(jiǎn)捷、聯(lián)系廣泛、規(guī)律性強(qiáng)等特點(diǎn)，它是幾何證明中的一種常用方法.眾所周知平面幾何證明題的難處是輔助線的添加.而面積法的特點(diǎn)是把已知和未知量用面積公式及有關(guān)的性質(zhì)定理聯(lián)系起來(lái)，從而把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系，通過(guò)數(shù)量運(yùn)算來(lái)得到求證結(jié)果，所以用面積法進(jìn)行幾何證明時(shí)，有時(shí)可以不添置輔助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到.初中常用的面積定理有: 1. 兩個(gè)全等形的面積相等. 2. 一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和. 3. 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等. 4. 等底(或等高)的兩個(gè)三角形面積之比等于該底上的高(或?qū)?yīng)邊)之比. 5. 相似三角形面積的比等于相似比的平方. 6. 與平行四邊形同底同高的三角形的面積是平行四邊形的面積的一半.下面通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明面積法在初中數(shù)學(xué)幾何證明中的應(yīng)用.
一、 求證線段相等或不等
例1在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
求證：BD=CE.
證明△ABC中，
AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，
則S=AB•CE=AC•BD
而AB=AC
∴ CE=BD
本題通過(guò)對(duì)同一圖形從不同的角度利用面積公式，從而直接得出了CE和BD的關(guān)系，思路清晰，方法直觀簡(jiǎn)捷. 二、 求證線段的和或差
例2在△ABC中，∠A=90°，D是AC上一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上任一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F. 求證：PE+PF=AB.
證明連接PD，
則S△PBD+S△PCD=S△BCD
即：BD•PE+CD•PF=CD•AB
∵ BD=DC
∴ PE+PF=AB
本題將△BDC分割為△BDP和△PDC，利用一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和建立面積關(guān)系，從而巧妙地得出PE+PF=AB的結(jié)論.
三、 求證兩角相等
例3 C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACD、△BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O，連接OC.
求證：∠AOC=∠BOC.
證明過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分別為P、Q.
∵ △ACD、△BCE都是等邊三角形，
∴ AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
∴ ∠ACE=∠DCB
∴ △ACE≌△DCB
∴ AE=BD，S△ACE=S△DCB
可得CP=CQ
∴ OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
本題從不同角度發(fā)掘了三角形之間的位置關(guān)系，通過(guò)等邊三角形的邊角關(guān)系和等底三角形面積相等時(shí)高必等，從而由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系，很容易推出CP=CQ，再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分上，得出∠AOC=∠BOC，整個(gè)過(guò)程思路清晰.
一、 求證線段相等或不等
例1在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
求證：BD=CE.
證明△ABC中，
AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，
則S=AB•CE=AC•BD
而AB=AC
∴ CE=BD
本題通過(guò)對(duì)同一圖形從不同的角度利用面積公式，從而直接得出了CE和BD的關(guān)系，思路清晰，方法直觀簡(jiǎn)捷. 二、 求證線段的和或差
例2在△ABC中，∠A=90°，D是AC上一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上任一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F. 求證：PE+PF=AB.
證明連接PD，
則S△PBD+S△PCD=S△BCD
即：BD•PE+CD•PF=CD•AB
∵ BD=DC
∴ PE+PF=AB
本題將△BDC分割為△BDP和△PDC，利用一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和建立面積關(guān)系，從而巧妙地得出PE+PF=AB的結(jié)論.
三、 求證兩角相等
例3 C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACD、△BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O，連接OC.
求證：∠AOC=∠BOC.
證明過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分別為P、Q.
∵ △ACD、△BCE都是等邊三角形，
∴ AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
∴ ∠ACE=∠DCB
∴ △ACE≌△DCB
∴ AE=BD，S△ACE=S△DCB
可得CP=CQ
∴ OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
本題從不同角度發(fā)掘了三角形之間的位置關(guān)系，通過(guò)等邊三角形的邊角關(guān)系和等底三角形面積相等時(shí)高必等，從而由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系，很容易推出CP=CQ，再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分上，得出∠AOC=∠BOC，整個(gè)過(guò)程思路清晰.