一、算法思想
一個(gè)給定序列的子序列是在該序列中刪去若干元素后得到的序列。給定兩個(gè)序列X和Y，當(dāng)另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列時(shí)，稱Z是序列X 和Y的公共子序列。最長公共子序列就是求給定兩個(gè)序列的一個(gè)最長公共子序列。動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效的解決此問題。由最長公共子序列問題的子序列的子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立子問題的遞歸關(guān)系。用c[i][j]記錄序列Xi和Yi的最長公共子序列的長度，遞歸關(guān)系如下：
0 i=0,j=0
c[i][j]= c[i-1][j][j-1]+1 i,j> 0;xi==yj
max c[i][j-1],c[i-1][j] I,j> 0;xi==yj
在具體的算法設(shè)計(jì)中，以序列X= { x1,x2,x3,…,xm }和Y= {y1,y2,y3,…,ym}作為輸入。輸出三個(gè)數(shù)組c,b,temp。其中c[i][j]存儲(chǔ)Xi和Yj的公共子序列的長度，b[i][j]記錄c[i][j]的值是由哪一個(gè)子問題的解得到的，這在構(gòu)造最長公共子序列時(shí)要用到。問題得解，即X和Y得最長公共子序列記錄在temp[h]中。
二、源代碼
下面是在Microsoft Visual C++ 6.0中編寫的求最長公共子序列的源程序，程序定義了得字符串長度為99，是將p48頁的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法改寫而來的。
#include
#include
#define MAX 99
//typedef char MM;
void main()
{ int i,j,m,n,h=0;
char x[MAX]={ ' ', ' '},y[MAX]={ ' ', ' '},b[MAX][MAX]={ ' '};
int c[MAX][MAX]={0};
char temp[MAX]={ ' '};
cout < < "**本程序可以求得字符數(shù)在99以內(nèi)的任意兩個(gè)字符串的公共子序列**\n ";
cout < < "請輸入第一個(gè)字符串的長度m= ";
cin> > m;
cout < < "請輸入第一個(gè)字符串(“回車”結(jié)束)\n如果輸入的字符數(shù)超過m,則會(huì)出錯(cuò)!\nx[ " <
for(i=1;i <=m;i++)
cin> > x[i]; //鍵盤輸入x和y
cout < < "請輸入第二個(gè)字符串的長度n= ";
cin> > n;
cout < < "請輸入第二個(gè)字符串\ny[ " <
for(i=1;i <=n;i++)
cin> > y[i];
for(i=1;i <=m;i++)c[i][0]=0; //動(dòng)態(tài)規(guī)劃開始
for(i=1;i <=n;i++)c[0][i]=0;
for(i=1;i <=m;i++)
for(j=1;j <=n;j++)
{if(x[i]==y[j])
{c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]= '\\ ';
}else
if(c[i-1][j]> =c[i][j-1])
{ c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]= '│ ';
}else{c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]= '- ';
}
} //動(dòng)態(tài)規(guī)劃結(jié)束
cout < < "c[m][n]中的內(nèi)容：\n ";
for(i=0;i <=m;i++)
{for(j=0;j <=n;j++)
cout <
cout <
}
cout < < "b[m][n]中的內(nèi)容：\n ";
for(i=1;i <=m;i++)
{for(j=1;j <=n;j++)
cout <
cout <
}
i=m,j=n;
while(1)
{if(i==0││j==0) break;
if(b[i][j]== '\\ '){
temp[h++]=x[i]; //反序記錄最長公共子序列到temp中
i=i-1,j=j-1;
}
else
if(b[i][j]== '│ ')
i=i-1;
else
j=j-1;}
cout < < "\nx[ " <
for(i=h-1;i> =0;i--) //格式化輸出最長公共子序列
if(i==h-1)
if(h==1)
cout < < "LCS: < " <
else
cout < < "LCS: < " <
else
if(i==0)
cout < < ", " <
else
cout < < ", " <
cout < < "\n " <
}
三、運(yùn)算結(jié)果
其實(shí)它的最長公共子序列不止一個(gè)，這里只輸出了其中的一個(gè)。
四、總結(jié)分析
在這個(gè)具體的算法中，還有可以改進(jìn)的地方，比如在具體的求公共子序列中，可以不必要MAX的宏定義，只需將各數(shù)組設(shè)為具體的長度就可以節(jié)約不少的空間，大大降低程序的空間復(fù)雜度，但是為了鍵盤輸入任意字符串，犧牲了很多的內(nèi)存空間。在鍵盤輸入字符串時(shí)，可以不用循環(huán)賦值，直接用 cin> > x;cin> > y;這樣就可以將這部分的時(shí)間復(fù)雜度從O(m+n)降到O(2)，但有一個(gè)相關(guān)的問題沒解決，所以我沒這樣賦值。程序總的時(shí)間復(fù)雜度為：O(mn+3m+ 3n).