在三角形ABC中，AB=6,BC=8,角ABC=60度，圓O過A點和三角形ABC的重心G,BG切圓O于點G,CG延長線交圓O于點E,求1.AG的長 2.CG的長 3.GE的長
因為BF=AB/2=3,BC=8,∠ABC=60,所以由余弦定理得：
FC^2=BF^2+BC^2-2BF×BC×cos∠ABC,所以FC=7,又因為G為重心，所以GC=2FG,所以GC=14/3,FG=7/3,延長BG到AC上的N點，設(shè)AB交圓于M點，由余弦定理有AC^2=AB^2+BC^2-2AC*BC*cosABC,所以AC=2√13,所以AN=√13,所以角BAC的余弦也可以由余弦定理得：cosBAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC=1/√13,所以在三角形ABN中同樣由余弦定理有：BN^2=AB^2+AN^2-2AB*AN*cosBAC,所以BN=√37,又因為BG=2BN/3,所以BG=(2√37)/3,因為BG為切線，所以BG^2=BM*BA,設(shè)MF=x,則148/9=(3-x)*6,所以MF=7/27,又因為MF*AF=EF*FG,所以EF=2/3,所以EG=EF+FG=3
設(shè)△ABC，AB=c,BC=a,AC=b,作AD⊥BC，設(shè)BD=x，DC=y，AD=h則a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)bcosC,而cosC=y/b，所以a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)by/b=(x+y)^2+b^2-2y(x+y)=x^2+y^2+2xy+b^2-2xy-2y^2=x^2-y^2+b^2,而b^2-y^2=h^2,所以a^2+b^2-2abcosC=x^2+h^2=c^2,即a^2+b^2-2abcosC=c^2,得證
因為BF=AB/2=3,BC=8,∠ABC=60,所以由余弦定理得：
FC^2=BF^2+BC^2-2BF×BC×cos∠ABC,所以FC=7,又因為G為重心，所以GC=2FG,所以GC=14/3,FG=7/3,延長BG到AC上的N點，設(shè)AB交圓于M點，由余弦定理有AC^2=AB^2+BC^2-2AC*BC*cosABC,所以AC=2√13,所以AN=√13,所以角BAC的余弦也可以由余弦定理得：cosBAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC=1/√13,所以在三角形ABN中同樣由余弦定理有：BN^2=AB^2+AN^2-2AB*AN*cosBAC,所以BN=√37,又因為BG=2BN/3,所以BG=(2√37)/3,因為BG為切線，所以BG^2=BM*BA,設(shè)MF=x,則148/9=(3-x)*6,所以MF=7/27,又因為MF*AF=EF*FG,所以EF=2/3,所以EG=EF+FG=3
設(shè)△ABC，AB=c,BC=a,AC=b,作AD⊥BC，設(shè)BD=x，DC=y，AD=h則a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)bcosC,而cosC=y/b，所以a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)by/b=(x+y)^2+b^2-2y(x+y)=x^2+y^2+2xy+b^2-2xy-2y^2=x^2-y^2+b^2,而b^2-y^2=h^2,所以a^2+b^2-2abcosC=x^2+h^2=c^2,即a^2+b^2-2abcosC=c^2,得證