考試時間：120分鐘 滿分：150分
（請將試題答案做在答題紙上）
第Ⅰ卷（選擇題 50分）
選擇題（每小題5分，共10題）
1.在等差數(shù)列an中，a13,且a1,a4,a10成等比數(shù)列，則an的通項公式為 （ ） A. an2n1 B. ann2C.an2n1或an3 D. ann2或an3
2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c
，若a2
b2
，sinCB，則A= ( )（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500
3、設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z，則下列等式中恒成立的是( )A、XZ2Y B、YYXZZX
C、Y2
XZ D、YYXXZX
4.已知{a5
n}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若a2a32a1， 且a4與2a7的等差中項為4
，則S5= A．35 B.33 C.31 D.29
5、在ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.asinBcosCcsinBcosA
12
b, 且ab,則B A．
26 B．3
C．5
3 D．6
6、0b1a,若關(guān)于x 的不等式(xb)2
＞(ax)2
的解集中的整數(shù)恰有3個，則（ ）
（A）1a0 （B）0a1 （C）1a3 （D）3a6 7．已知不等式(x+y)(1a
x + y)≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若∠C=120°，
a，則 A.a＞b B.a＜b
C. a＝b D.a與b的大小關(guān)系不能確定
3xy609. 設(shè)x，y滿足約束條件
xy20 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是值為12，
x0,y0則
2a3b的最小值為 ( ). A.256 B.83 C. 11
3
D. 4 （10）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2
-3xy+4y2
-z=0.則當(dāng)取得值時，+--的值為
（A）0 （B）1 （C）
（D）3
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分. 將答案直接填寫在答題紙給定
的橫線上.
11、在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c
，若ab
2，sinBcosB，
則角A的大小為 ．
12、若對任意x＞0，
x
x23x1
a恒成立，則a的取值范圍是 ．
13.在銳角ABC中，BC1,B2A,則AC
cosA
的值等于 ，AC的取值范圍為
14、設(shè)a1,d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S5S6150，則d的取值范圍是__________________ .
x2y5≥015．設(shè)m為實數(shù)，若(x，y)3x≥0(x，y)x2y2
≤25
，
mxy≥0
則m的取值范圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75
分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟，務(wù)必在答題紙指定的位置作答。
16、（12分）△ABC中，a,b,c是A，B，C所對的邊，S是該三角形的面積，且
cosBcosC=-b
2a+c
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，S=53，求b的值。
17（12分）已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3,當(dāng)x∈[-1,1]時，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范圍
18.（12分）已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列， 且滿足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式：
（Ⅱ）若數(shù)列{abn}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝1b2b2+322+...bn2+32n
(n為正整數(shù))，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
19．（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.
（1） 求角B的大?。?BR> （2） 若a+c=1，求b的取值范圍
20（本小題滿分13分）
在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84,a9=73．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為{bn}，求數(shù)列{bn}
的前m項和Sm．
（21）（本小題滿分14分）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （Ⅰ） 求數(shù)列｛an｝的通項公式；
的前n項和Rn.
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高中高二數(shù)學(xué)競賽試題答案
一、選擇題：D A D C A C B A A B
二、填空題：11π
2
12、a≥
1
5
132、d≤-d≥ 15、[-4,433
] 16、⑴由
cosBbcosBsincosC=-2a+c⇒cosC=-B
2sinA+sinC
⇒2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC ⇒2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC
∴2sinAcosB=-sin(B+C)⇒2sinAcosB=-sinA ⇒cosB=-12,又0 3
π
⑵由a=4,S=
S=112acsinB=2⨯c⇒c=5
b2
=a2
+c2
-2accosB⇒b2
=16+25-2⨯4⨯5⇒b=
17、解：f(x)>a⇔x2+ax+3>a⇔x2
+3>a(1-x),x∈[-1,1]
-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2
當(dāng)x=1時，1-x=0,x2+3>a(1-x)對一切x∈R恒成立時，0<1-x≤2,則a<
x2當(dāng)x≠1+31-x
x2+3(1-x)2-2(1-1-x=x)+41-x=(1-x)+4
1-x
-2≥-2=2
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=4
1-x
,即x=-1時等號成立
∴（x2+31-x
）min=2,從而a<2
綜上所述：a的取值范圍為a<2
18、解（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題設(shè)d>0 由a2+a7＝16.得2a1+7d=16 ① 由a3⋅a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55 ②
由①得2a1=16-7d將其代入②得(16-3d)(16+3d)=220。即256-9d2=220
∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1∴a
n=1+(n-1)⋅2=2n-1
（2）令cn
n=
b2
n,則有an=c1+c2++cn,an+1=c1+c2++cn-1
an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2
兩式相減得∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即當(dāng)n≥2時，bn=2n+1又當(dāng)n=1時，b1=2a1=2
∴b⎧2,(n=1)n=⎨⎩2n+1
(n≥2)
于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24++2n+1 =2+2
2
+23+24
+
+2
n+1
-4=
2(2n+1-1)
2-1-4=2n+2-6,即Sn=2n
+2-6
19. 【解析】（1）由已知
得-cos(A+B)+cosA3sinA=cos
，
B即sinAsin3sinAco=s.
B因為0sinA≠0，所以sinBcosB=0
,又cosB≠0,所以tanB=又0 3
.
（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，因為a+c=1，cosB=1
2
,所以
b2=3(a-12)2+
1
4
，又因為014≤b2<1，即1
2
≤b<1. （20）解：（Ⅰ）因為{an}是一個等差數(shù)列，
所以a3+a4+a5=3a4=84，即a4=28． 所以，數(shù)列{an}的公差d=a9-a4==9，
所以，an=a4+(n-4)d=28+9(n-4)=9n-8(n∈N*
（請將試題答案做在答題紙上）
第Ⅰ卷（選擇題 50分）
選擇題（每小題5分，共10題）
1.在等差數(shù)列an中，a13,且a1,a4,a10成等比數(shù)列，則an的通項公式為 （ ） A. an2n1 B. ann2C.an2n1或an3 D. ann2或an3
2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c
，若a2
b2
，sinCB，則A= ( )（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500
3、設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z，則下列等式中恒成立的是( )A、XZ2Y B、YYXZZX
C、Y2
XZ D、YYXXZX
4.已知{a5
n}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若a2a32a1， 且a4與2a7的等差中項為4
，則S5= A．35 B.33 C.31 D.29
5、在ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.asinBcosCcsinBcosA
12
b, 且ab,則B A．
26 B．3
C．5
3 D．6
6、0b1a,若關(guān)于x 的不等式(xb)2
＞(ax)2
的解集中的整數(shù)恰有3個，則（ ）
（A）1a0 （B）0a1 （C）1a3 （D）3a6 7．已知不等式(x+y)(1a
x + y)≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若∠C=120°，
a，則 A.a＞b B.a＜b
C. a＝b D.a與b的大小關(guān)系不能確定
3xy609. 設(shè)x，y滿足約束條件
xy20 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是值為12，
x0,y0則
2a3b的最小值為 ( ). A.256 B.83 C. 11
3
D. 4 （10）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2
-3xy+4y2
-z=0.則當(dāng)取得值時，+--的值為
（A）0 （B）1 （C）
（D）3
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分. 將答案直接填寫在答題紙給定
的橫線上.
11、在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c
，若ab
2，sinBcosB，
則角A的大小為 ．
12、若對任意x＞0，
x
x23x1
a恒成立，則a的取值范圍是 ．
13.在銳角ABC中，BC1,B2A,則AC
cosA
的值等于 ，AC的取值范圍為
14、設(shè)a1,d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S5S6150，則d的取值范圍是__________________ .
x2y5≥015．設(shè)m為實數(shù)，若(x，y)3x≥0(x，y)x2y2
≤25
，
mxy≥0
則m的取值范圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75
分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟，務(wù)必在答題紙指定的位置作答。
16、（12分）△ABC中，a,b,c是A，B，C所對的邊，S是該三角形的面積，且
cosBcosC=-b
2a+c
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，S=53，求b的值。
17（12分）已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3,當(dāng)x∈[-1,1]時，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范圍
18.（12分）已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列， 且滿足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式：
（Ⅱ）若數(shù)列{abn}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝1b2b2+322+...bn2+32n
(n為正整數(shù))，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
19．（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.
（1） 求角B的大?。?BR> （2） 若a+c=1，求b的取值范圍
20（本小題滿分13分）
在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84,a9=73．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為{bn}，求數(shù)列{bn}
的前m項和Sm．
（21）（本小題滿分14分）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （Ⅰ） 求數(shù)列｛an｝的通項公式；
的前n項和Rn.
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高中高二數(shù)學(xué)競賽試題答案
一、選擇題：D A D C A C B A A B
二、填空題：11π
2
12、a≥
1
5
132、d≤-d≥ 15、[-4,433
] 16、⑴由
cosBbcosBsincosC=-2a+c⇒cosC=-B
2sinA+sinC
⇒2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC ⇒2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC
∴2sinAcosB=-sin(B+C)⇒2sinAcosB=-sinA ⇒cosB=-12,又0
π
⑵由a=4,S=
S=112acsinB=2⨯c⇒c=5
b2
=a2
+c2
-2accosB⇒b2
=16+25-2⨯4⨯5⇒b=
17、解：f(x)>a⇔x2+ax+3>a⇔x2
+3>a(1-x),x∈[-1,1]
-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2
當(dāng)x=1時，1-x=0,x2+3>a(1-x)對一切x∈R恒成立時，0<1-x≤2,則a<
x2當(dāng)x≠1+31-x
x2+3(1-x)2-2(1-1-x=x)+41-x=(1-x)+4
1-x
-2≥-2=2
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=4
1-x
,即x=-1時等號成立
∴（x2+31-x
）min=2,從而a<2
綜上所述：a的取值范圍為a<2
18、解（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題設(shè)d>0 由a2+a7＝16.得2a1+7d=16 ① 由a3⋅a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55 ②
由①得2a1=16-7d將其代入②得(16-3d)(16+3d)=220。即256-9d2=220
∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1∴a
n=1+(n-1)⋅2=2n-1
（2）令cn
n=
b2
n,則有an=c1+c2++cn,an+1=c1+c2++cn-1
an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2
兩式相減得∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即當(dāng)n≥2時，bn=2n+1又當(dāng)n=1時，b1=2a1=2
∴b⎧2,(n=1)n=⎨⎩2n+1
(n≥2)
于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24++2n+1 =2+2
2
+23+24
+
+2
n+1
-4=
2(2n+1-1)
2-1-4=2n+2-6,即Sn=2n
+2-6
19. 【解析】（1）由已知
得-cos(A+B)+cosA3sinA=cos
，
B即sinAsin3sinAco=s.
B因為0sinA≠0，所以sinBcosB=0
,又cosB≠0,所以tanB=又0
.
（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，因為a+c=1，cosB=1
2
,所以
b2=3(a-12)2+
1
4
，又因為014≤b2<1，即1
2
≤b<1. （20）解：（Ⅰ）因為{an}是一個等差數(shù)列，
所以a3+a4+a5=3a4=84，即a4=28． 所以，數(shù)列{an}的公差d=a9-a4==9，
所以，an=a4+(n-4)d=28+9(n-4)=9n-8(n∈N*