2017高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
一、選擇題：(本大題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的)
1.已知 , 為集合I的非空真子集，且 , 不相等，若 ，則
( )
A. B. C. D.
2.與直線 的斜率相等，且過(guò)點(diǎn)(-4,3)的直線方程為 ( )
A. = 32 B. =32
C. =32 D. =-32
3. 已知過(guò)點(diǎn) 和 的直線的斜率為1，則實(shí)數(shù) 的值為 ( )
A.1 B.2 C.1或4 D.1或2
4. 已知圓錐的表面積為6 ，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 ( )
A. B.2 C. D.
5. 在空間中，給出下面四個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )
①過(guò)平面α外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面α垂直;
②若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，則α∥β;
③若直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α;
④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩平行線;
A.3 B.2 C.1 D.0
6. 已知函數(shù) 定義域是 ，則函數(shù) 的定義域是 ( )
A. B. C. D.
7. 直線在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是圖中的 ( )
8. 設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面面積分別為 ，體積為 ，若它們的側(cè)面積相等且 ，則 的值是 ( )
A. B. C. D.
9.設(shè)函數(shù) ，如果 ，則 的取值范圍是 ( )
A. 或 B. C. D. 或
10.已知函數(shù) 沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
11.定義在R上的偶函數(shù) 滿(mǎn)足：對(duì)任意的 ，有 .則 ( )
A. B.
C. D.
12. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)..
13.已知增函數(shù) ，且 ，則 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
14. 已知 在定義域 上是增函數(shù)，則 的取值范圍是
15. 直線 恒過(guò)定點(diǎn)
16. 高為 的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為
三、解答題(17題10,其余每題12分)
17.已知一個(gè)空間組合體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，請(qǐng)說(shuō)出該組合體由哪些幾何體組成，并且求出該組合體的表面積和體積
18.已知偶函數(shù) 的定義域?yàn)?,且在 上是增函數(shù)， 試比較 與 的大小。
19. 已知方程 + +6- =0( ).
(1)求該方程表示一條直線的條件;
(2)當(dāng) 為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程表示的直線斜率不存在?求出這時(shí)的直線方程;
(3)已知方程表示的直線 在 軸上的截距為 -3，求實(shí)數(shù) 的值;
20. 已知函數(shù) ，判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，并且求出值域
21. 如圖，長(zhǎng)方體 ﹣ 中， ， ， ,點(diǎn) 分別在 上， .過(guò)點(diǎn) 的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.
(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(說(shuō)明畫(huà)法和理由)
(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.
22. 如圖，三棱錐P-A BC中，平面PAC 平面ABC， ABC= ，點(diǎn)D、E在線段AC上， 且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//面PBC.
(1)證明：EF// BC.
(2)證明：AB 平面PFE.
(3)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng).
2017高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題答案
一、ACACD,BCBDA,DB
13、1個(gè) 14、 15、(-2,3) 16、1
17、解：解：由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成的…2分
表面積是： …6分
體積是： … 10分
18、解： …5分
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且在 上是增函數(shù)，所以在 是減函數(shù)…8分
所以 …12分
19、解：解：(1)當(dāng)x，y的系數(shù)不 同時(shí)為零時(shí)，方程表示一條直線，
令m2―2m―3=0，解得m=-1或m=3;
令2m2+m-1=0，解得m=-1或m= .
所以方程表示一條直線的條件是m∈R，且m≠-1.…4分
(2)由(1)易知 ，當(dāng)m= 時(shí)，方程表示的直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為x= ，它表示一條垂直于 軸的直線.…8
(3)依題意，有 =-3，所以3m2-4m-15=0. 所以m=3，或m=- ，由(1)知所求m=- .…12分
20、解：函數(shù)的定義域是 ，…2分
因?yàn)?，所以函數(shù)是 奇函數(shù)。 …4分 ，設(shè) ，則
當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以在 上是減函數(shù); …8分
當(dāng) 時(shí)， ，所以 ， 所以在 上也是減函數(shù)。
由 ， ，所以 或 …12分
21、解：
(Ⅰ)交線圍成的正方形EHGF如圖：在面ABCD中做HG平行于BC,連接EH,FG且HB=GC=6，則E F平行且等于HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且經(jīng)過(guò)計(jì)算可知EH=FG=10，所以EFGH是正方形 …6分
(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足為M，則AM= A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.
因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10. 于是MH= .
因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面 分為兩個(gè)高為10的直棱柱，
所以其體積的比值為 ( 也正確)…12分
22、(1)證明： EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,
所以根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知EF// BC. …4分
(2)由DE=EC,PD=PC可知：E為等腰 PDC中D C邊的中點(diǎn)，
故PE AC,又平面PAC 平面ABC，
平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,
所以PE 平面ABC，
所以PE AB,因?yàn)?ABC= ，EF// BC.所以AB EF
所以AB 面PEF…8分
(3)設(shè)BC= ，在直角三角形ABC中，AB= ， ， EF// BC知 AFE相似于 ABC，所以
由AD= AE, ，
從而四邊形DFBC的面積為 ，
由(2)可知PE是四棱錐P-DFBC的高，PE= ，
所以V= 所以 ，所以 或者 ，
所以BC=3或BC= …12分
一、選擇題：(本大題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的)
1.已知 , 為集合I的非空真子集，且 , 不相等，若 ，則
( )
A. B. C. D.
2.與直線 的斜率相等，且過(guò)點(diǎn)(-4,3)的直線方程為 ( )
A. = 32 B. =32
C. =32 D. =-32
3. 已知過(guò)點(diǎn) 和 的直線的斜率為1，則實(shí)數(shù) 的值為 ( )
A.1 B.2 C.1或4 D.1或2
4. 已知圓錐的表面積為6 ，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 ( )
A. B.2 C. D.
5. 在空間中，給出下面四個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )
①過(guò)平面α外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面α垂直;
②若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，則α∥β;
③若直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α;
④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩平行線;
A.3 B.2 C.1 D.0
6. 已知函數(shù) 定義域是 ，則函數(shù) 的定義域是 ( )
A. B. C. D.
7. 直線在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是圖中的 ( )
8. 設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面面積分別為 ，體積為 ，若它們的側(cè)面積相等且 ，則 的值是 ( )
A. B. C. D.
9.設(shè)函數(shù) ，如果 ，則 的取值范圍是 ( )
A. 或 B. C. D. 或
10.已知函數(shù) 沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
11.定義在R上的偶函數(shù) 滿(mǎn)足：對(duì)任意的 ，有 .則 ( )
A. B.
C. D.
12. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)..
13.已知增函數(shù) ，且 ，則 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
14. 已知 在定義域 上是增函數(shù)，則 的取值范圍是
15. 直線 恒過(guò)定點(diǎn)
16. 高為 的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為
三、解答題(17題10,其余每題12分)
17.已知一個(gè)空間組合體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，請(qǐng)說(shuō)出該組合體由哪些幾何體組成，并且求出該組合體的表面積和體積
18.已知偶函數(shù) 的定義域?yàn)?,且在 上是增函數(shù)， 試比較 與 的大小。
19. 已知方程 + +6- =0( ).
(1)求該方程表示一條直線的條件;
(2)當(dāng) 為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程表示的直線斜率不存在?求出這時(shí)的直線方程;
(3)已知方程表示的直線 在 軸上的截距為 -3，求實(shí)數(shù) 的值;
20. 已知函數(shù) ，判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，并且求出值域
21. 如圖，長(zhǎng)方體 ﹣ 中， ， ， ,點(diǎn) 分別在 上， .過(guò)點(diǎn) 的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.
(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(說(shuō)明畫(huà)法和理由)
(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.
22. 如圖，三棱錐P-A BC中，平面PAC 平面ABC， ABC= ，點(diǎn)D、E在線段AC上， 且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//面PBC.
(1)證明：EF// BC.
(2)證明：AB 平面PFE.
(3)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng).
2017高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題答案
一、ACACD,BCBDA,DB
13、1個(gè) 14、 15、(-2,3) 16、1
17、解：解：由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成的…2分
表面積是： …6分
體積是： … 10分
18、解： …5分
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且在 上是增函數(shù)，所以在 是減函數(shù)…8分
所以 …12分
19、解：解：(1)當(dāng)x，y的系數(shù)不 同時(shí)為零時(shí)，方程表示一條直線，
令m2―2m―3=0，解得m=-1或m=3;
令2m2+m-1=0，解得m=-1或m= .
所以方程表示一條直線的條件是m∈R，且m≠-1.…4分
(2)由(1)易知 ，當(dāng)m= 時(shí)，方程表示的直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為x= ，它表示一條垂直于 軸的直線.…8
(3)依題意，有 =-3，所以3m2-4m-15=0. 所以m=3，或m=- ，由(1)知所求m=- .…12分
20、解：函數(shù)的定義域是 ，…2分
因?yàn)?，所以函數(shù)是 奇函數(shù)。 …4分 ，設(shè) ，則
當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以在 上是減函數(shù); …8分
當(dāng) 時(shí)， ，所以 ， 所以在 上也是減函數(shù)。
由 ， ，所以 或 …12分
21、解：
(Ⅰ)交線圍成的正方形EHGF如圖：在面ABCD中做HG平行于BC,連接EH,FG且HB=GC=6，則E F平行且等于HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且經(jīng)過(guò)計(jì)算可知EH=FG=10，所以EFGH是正方形 …6分
(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足為M，則AM= A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.
因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10. 于是MH= .
因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面 分為兩個(gè)高為10的直棱柱，
所以其體積的比值為 ( 也正確)…12分
22、(1)證明： EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,
所以根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知EF// BC. …4分
(2)由DE=EC,PD=PC可知：E為等腰 PDC中D C邊的中點(diǎn)，
故PE AC,又平面PAC 平面ABC，
平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,
所以PE 平面ABC，
所以PE AB,因?yàn)?ABC= ，EF// BC.所以AB EF
所以AB 面PEF…8分
(3)設(shè)BC= ，在直角三角形ABC中，AB= ， ， EF// BC知 AFE相似于 ABC，所以
由AD= AE, ，
從而四邊形DFBC的面積為 ，
由(2)可知PE是四棱錐P-DFBC的高，PE= ，
所以V= 所以 ，所以 或者 ，
所以BC=3或BC= …12分