1、單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單向式。
2、單向式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單向式的系數(shù)。
3、一個(gè)單向式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單向式的次數(shù)。
4、幾個(gè)單向式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單向式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。
5、一般地，多項(xiàng)式里次數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
6、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。
7、所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。
8、吧多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)。
9、幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接：然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)。
10、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相同。
11、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
12、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
13、積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
14、單向式與單向式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單向式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的因式。
15、單向式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
16、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
17、兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積＝這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做（乘法的）平方差公式。
18、兩數(shù)和（或差）的平方＝它們的平方和，加（或減）它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式。
19、添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。
20、同底數(shù)冪相加，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
21、任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
22、單向式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
23、多項(xiàng)式除以單向式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
24、吧一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
25、ma+mb+mc，它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式m，我們把因式M叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
這樣就把ma+mb+mc分解成兩個(gè)因式乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個(gè)因式（a＋b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。
26、兩個(gè)數(shù)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積。
27、兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。
十字交叉雙乘法沒有公式，一定要說的話
那就是利用x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ為常數(shù)。
1.因式分解
即和差化積，其最后結(jié)果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個(gè)多項(xiàng)式要能分解因式，則結(jié)果，因?yàn)椋簲?shù)域F上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式f(x),如果不計(jì)零次因式的差異，那么f(x)可以的分解為以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的次項(xiàng)的系數(shù)，
P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項(xiàng)式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多項(xiàng)式f(x)的典型分解式。證明：可參見《高代》P52-53
初等數(shù)學(xué)中，把多項(xiàng)式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等
要求為：要分到不能再分為止。
2.方法介紹
2.1提公因式法：
如果多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來，進(jìn)行因式分解，注意要每項(xiàng)都必須有公因式。
例15x3+10x2+5x
解析顯然每項(xiàng)均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來剩下x2+2x+1仍可繼續(xù)分解。
解：原式=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2公式法
即多項(xiàng)式如果滿足特殊公式的結(jié)構(gòu)特征，即可采用套公式法，進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解，故對(duì)于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，數(shù)學(xué)競賽中常出現(xiàn)的一些基本公式現(xiàn)整理歸納如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n為奇數(shù))
說明由因式定理，即對(duì)一元多項(xiàng)式f(x)，若f(b)=0，則一定含有一次因式x-b?？膳袛喈?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)a=b,a=-b時(shí)，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。
例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15
解析各小題均可套用公式
解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)
=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多項(xiàng)式分解時(shí)，先分構(gòu)造公式再解。
2.3分組分解法
當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，可將多項(xiàng)式進(jìn)行合理分組，達(dá)到順利分解的目的。當(dāng)然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例2分解因式：x4+5x3+15x-9
解析可根據(jù)系數(shù)特征進(jìn)行分組
解原式=（x4-9）+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4十字相乘法
對(duì)于形如ax2+bx+c結(jié)構(gòu)特征的二次三項(xiàng)式可以考慮用十字相乘法,
即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)當(dāng)x2項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，同樣也可用十字相乘進(jìn)行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12
解①1x2
1x-3
原式=（x+2）(x-3)
②2x-3
3x4
原式=（2x-3）(3x+4)
注：“ax4+bx2+c”型也可考慮此種方法。
2.5雙十字相乘法
在分解二次三項(xiàng)式時(shí)，十字相乘法是常用的基本方法，對(duì)于比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，尤其是某些二次六項(xiàng)式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以運(yùn)用十字相乘法分解因式，其具體步驟為：
（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次三項(xiàng)式，得到一個(gè)十字相乘圖
（2）把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因式填在第二個(gè)十字的右邊且使這兩個(gè)因式在第二個(gè)十字中交叉之積的和等于原式中含y的一次項(xiàng)，同時(shí)還必須與第一個(gè)十字中左端的兩個(gè)因式交叉之積的和等于原式中含x的一次項(xiàng)
例5分解因式
① 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3
② ②x2-3xy-10y2+x+9y-2
③ ab+b2+a-b-2
④ ④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2
解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)
2x-3y 1
2x y-3
②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)
x-5y 2
x 2y-1
③原式=(b+1)(a+b-2)
0ab 1
a b-2
④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
說明：③式補(bǔ)上oa2,可用雙十字相乘法，當(dāng)然此題也可用分組分解法。
如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三個(gè)字母滿足二次六項(xiàng)式，把-2z2看作常數(shù)分解即可：
2.6拆法、添項(xiàng)法
對(duì)于一些多項(xiàng)式，如果不能直接因式分解時(shí)，可以將其中的某項(xiàng)拆成二項(xiàng)之差或之和。再應(yīng)用分組法，公式法等進(jìn)行分解因式，其中拆項(xiàng)、添項(xiàng)方法不是，可解有許多不同途徑，對(duì)題目一定要具體分析，選擇簡捷的分解方法。
例6分解因式：x3+3x2-4
解析法一：可將-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)
法二：添x4,再減x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)
法三：添4x,再減4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)
法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)
法五：把x3拆為，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等
解（選擇法四）原式=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2．7換元法
換元法就是引入新的字母變量，將原式中的字母變量換掉化簡式子。運(yùn)用此
種方法對(duì)于某些特殊的多項(xiàng)式因式分解可以起到簡化的效果。
例7分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若將此展開，將十分繁瑣，但我們注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用換元法分解此題
解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令y=x2+5x+5則原式=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y請(qǐng)認(rèn)真比較體會(huì)哪種換法更簡單？
2．8待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是解決代數(shù)式恒等變形中的重要方法,如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架,只是字母的系數(shù)高不能確定,則可先用未知數(shù)表示字母系數(shù),然后根據(jù)多項(xiàng)式的恒等性質(zhì)列出n個(gè)含有特殊確定系數(shù)的方程(組)，解出這個(gè)方程(組)求出待定系數(shù)。待定系數(shù)法應(yīng)用廣泛,在此只研究它的因式分解中的一些應(yīng)用。
例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析屬于二次六項(xiàng)式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法
先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
解設(shè)可設(shè)原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)
=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………
比較兩個(gè)多項(xiàng)式（即原式與*式）的系數(shù)
m+2n=14(1)m=4
3m-3n=-3(2)=>
mn=20(3)n=5
∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)
注對(duì)于（*）式因?yàn)閷?duì)a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n
令a=1,b=0,m+2n=14m=4
=>
令a=0,b=1,m=n=-1n=5
2.9因式定理、綜合除法分解因式
對(duì)于整系數(shù)一元多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
由因式定理可先判斷它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互質(zhì)），p為首項(xiàng)系數(shù)an的約數(shù)，q為末項(xiàng)系數(shù)a0的約數(shù)
若f（）=0,則一定會(huì)有（x-）再用綜合除法，將多項(xiàng)式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，因?yàn)?的正約數(shù)為1、2、4
∴可能出現(xiàn)的因式為x±1,x±2,x±4,
∵f(1)≠0,f(1)≠0
但f(2)=0,故(x-2)是這個(gè)多項(xiàng)式的因式，再用綜合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
當(dāng)然此題也可拆項(xiàng)分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
2、單向式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單向式的系數(shù)。
3、一個(gè)單向式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單向式的次數(shù)。
4、幾個(gè)單向式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單向式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。
5、一般地，多項(xiàng)式里次數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
6、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。
7、所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。
8、吧多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)。
9、幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接：然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)。
10、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相同。
11、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
12、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
13、積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
14、單向式與單向式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單向式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的因式。
15、單向式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
16、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
17、兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積＝這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做（乘法的）平方差公式。
18、兩數(shù)和（或差）的平方＝它們的平方和，加（或減）它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式。
19、添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。
20、同底數(shù)冪相加，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
21、任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
22、單向式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
23、多項(xiàng)式除以單向式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
24、吧一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
25、ma+mb+mc，它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式m，我們把因式M叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
這樣就把ma+mb+mc分解成兩個(gè)因式乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個(gè)因式（a＋b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。
26、兩個(gè)數(shù)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積。
27、兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。
十字交叉雙乘法沒有公式，一定要說的話
那就是利用x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ為常數(shù)。
1.因式分解
即和差化積，其最后結(jié)果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個(gè)多項(xiàng)式要能分解因式，則結(jié)果，因?yàn)椋簲?shù)域F上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式f(x),如果不計(jì)零次因式的差異，那么f(x)可以的分解為以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的次項(xiàng)的系數(shù)，
P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項(xiàng)式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多項(xiàng)式f(x)的典型分解式。證明：可參見《高代》P52-53
初等數(shù)學(xué)中，把多項(xiàng)式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等
要求為：要分到不能再分為止。
2.方法介紹
2.1提公因式法：
如果多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來，進(jìn)行因式分解，注意要每項(xiàng)都必須有公因式。
例15x3+10x2+5x
解析顯然每項(xiàng)均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來剩下x2+2x+1仍可繼續(xù)分解。
解：原式=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2公式法
即多項(xiàng)式如果滿足特殊公式的結(jié)構(gòu)特征，即可采用套公式法，進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解，故對(duì)于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，數(shù)學(xué)競賽中常出現(xiàn)的一些基本公式現(xiàn)整理歸納如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n為奇數(shù))
說明由因式定理，即對(duì)一元多項(xiàng)式f(x)，若f(b)=0，則一定含有一次因式x-b?？膳袛喈?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)a=b,a=-b時(shí)，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。
例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15
解析各小題均可套用公式
解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)
=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多項(xiàng)式分解時(shí)，先分構(gòu)造公式再解。
2.3分組分解法
當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，可將多項(xiàng)式進(jìn)行合理分組，達(dá)到順利分解的目的。當(dāng)然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例2分解因式：x4+5x3+15x-9
解析可根據(jù)系數(shù)特征進(jìn)行分組
解原式=（x4-9）+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4十字相乘法
對(duì)于形如ax2+bx+c結(jié)構(gòu)特征的二次三項(xiàng)式可以考慮用十字相乘法,
即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)當(dāng)x2項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，同樣也可用十字相乘進(jìn)行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12
解①1x2
1x-3
原式=（x+2）(x-3)
②2x-3
3x4
原式=（2x-3）(3x+4)
注：“ax4+bx2+c”型也可考慮此種方法。
2.5雙十字相乘法
在分解二次三項(xiàng)式時(shí)，十字相乘法是常用的基本方法，對(duì)于比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，尤其是某些二次六項(xiàng)式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以運(yùn)用十字相乘法分解因式，其具體步驟為：
（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次三項(xiàng)式，得到一個(gè)十字相乘圖
（2）把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因式填在第二個(gè)十字的右邊且使這兩個(gè)因式在第二個(gè)十字中交叉之積的和等于原式中含y的一次項(xiàng)，同時(shí)還必須與第一個(gè)十字中左端的兩個(gè)因式交叉之積的和等于原式中含x的一次項(xiàng)
例5分解因式
① 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3
② ②x2-3xy-10y2+x+9y-2
③ ab+b2+a-b-2
④ ④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2
解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)
2x-3y 1
2x y-3
②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)
x-5y 2
x 2y-1
③原式=(b+1)(a+b-2)
0ab 1
a b-2
④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
說明：③式補(bǔ)上oa2,可用雙十字相乘法，當(dāng)然此題也可用分組分解法。
如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三個(gè)字母滿足二次六項(xiàng)式，把-2z2看作常數(shù)分解即可：
2.6拆法、添項(xiàng)法
對(duì)于一些多項(xiàng)式，如果不能直接因式分解時(shí)，可以將其中的某項(xiàng)拆成二項(xiàng)之差或之和。再應(yīng)用分組法，公式法等進(jìn)行分解因式，其中拆項(xiàng)、添項(xiàng)方法不是，可解有許多不同途徑，對(duì)題目一定要具體分析，選擇簡捷的分解方法。
例6分解因式：x3+3x2-4
解析法一：可將-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)
法二：添x4,再減x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)
法三：添4x,再減4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)
法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)
法五：把x3拆為，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等
解（選擇法四）原式=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2．7換元法
換元法就是引入新的字母變量，將原式中的字母變量換掉化簡式子。運(yùn)用此
種方法對(duì)于某些特殊的多項(xiàng)式因式分解可以起到簡化的效果。
例7分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若將此展開，將十分繁瑣，但我們注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用換元法分解此題
解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令y=x2+5x+5則原式=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y請(qǐng)認(rèn)真比較體會(huì)哪種換法更簡單？
2．8待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是解決代數(shù)式恒等變形中的重要方法,如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架,只是字母的系數(shù)高不能確定,則可先用未知數(shù)表示字母系數(shù),然后根據(jù)多項(xiàng)式的恒等性質(zhì)列出n個(gè)含有特殊確定系數(shù)的方程(組)，解出這個(gè)方程(組)求出待定系數(shù)。待定系數(shù)法應(yīng)用廣泛,在此只研究它的因式分解中的一些應(yīng)用。
例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析屬于二次六項(xiàng)式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法
先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
解設(shè)可設(shè)原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)
=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………
比較兩個(gè)多項(xiàng)式（即原式與*式）的系數(shù)
m+2n=14(1)m=4
3m-3n=-3(2)=>
mn=20(3)n=5
∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)
注對(duì)于（*）式因?yàn)閷?duì)a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n
令a=1,b=0,m+2n=14m=4
=>
令a=0,b=1,m=n=-1n=5
2.9因式定理、綜合除法分解因式
對(duì)于整系數(shù)一元多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
由因式定理可先判斷它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互質(zhì)），p為首項(xiàng)系數(shù)an的約數(shù)，q為末項(xiàng)系數(shù)a0的約數(shù)
若f（）=0,則一定會(huì)有（x-）再用綜合除法，將多項(xiàng)式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，因?yàn)?的正約數(shù)為1、2、4
∴可能出現(xiàn)的因式為x±1,x±2,x±4,
∵f(1)≠0,f(1)≠0
但f(2)=0,故(x-2)是這個(gè)多項(xiàng)式的因式，再用綜合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
當(dāng)然此題也可拆項(xiàng)分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)