一、精心選一選(每小題3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,則BC的長為( B )
A.45 B.5 C.15 D.145
2.已知⊙O的半徑為1,圓心O到直線l的距離為2,過l上任一點A作⊙O的切線,切點為B,則線段AB長度的最小值為( C )
A.1 B.2 C.3 D.2
3.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖,其中AB,CD分別表示一樓、二樓地面的水平線,∠ABC=150°,BC的長是8 m,則乘電梯從點B到點C上升的高度h是( B )
A.833 m B.4 m C.43 m D.8 m
,第3題圖) ,第4題圖) ,第5題圖) ,第6題圖)
4.如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,切點分別是A,B,如果OP=4,PA=23,那么∠APB等于( D )
A.90° B.100° C.110° D.60°
5.函數(shù)y=-x2+2(m-1)x+m+1的圖象如圖,它與x軸交于A,B兩點,線段OA與OB的比為1∶3,則m的值為( D )
A.13或2 B.13 C.1 D.2
6.如圖,一根5 m長的繩子,一端拴在圍墻墻角的柱子上,另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動)那么小羊A在草地上的活動區(qū)域面積是( D )
A.1712π m2 B.176π m2 C.254π m2 D.7712π m2
7.某商人將單價為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,已知這種商品每提高2元,其銷量就要減少10件,為了使每天所賺利潤最多,該商人應(yīng)將銷售價(為偶數(shù))提高( A )
A.8元或10元 B.12元 C.8元 D.10元
8.如圖,在△ABC中,cosB=22,sinC=35,AC=5,則△ABC的面積是( A )
A.212 B.12 C.14 D.21
,第8題圖) ,第9題圖) ,第10題圖)
9.如圖,射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.動點P從Q出發(fā),沿射線QN以每秒1 cm 的速度向右移動,經(jīng)過t秒,以點P為圓心,3cm為半徑與△ABC的邊相切(切點在邊上),則t(單位:秒)可以取的一切值為( D )
A.t=2 B.3≤t≤7
C.t=8 D.t=2或3≤t≤7或t=8
10.如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點,在以下判斷中,不正確的是( C )
A.當(dāng)弦PB最長時,△APC是等腰三角形 B.當(dāng)△APC是等腰三角形時,PO⊥AC
C.當(dāng)PO⊥AC時,∠ACP=30° D.當(dāng)∠ACP=30°時,△BPC是直角三角形
二、細(xì)心填一填(每小題3分,共24分)
11.已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A-3sinA+1=0,則sinA的值為__12__.
12.若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(2,1),且經(jīng)過點B(1,0),則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為__y=-x2+4x-3__.
13.(2015•紹興)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,點P在以C為圓心,5為半徑的圓上,連接PA,PB.若PB=4,則PA的長為__3或73__.
14.如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,E為BC︵上一點,若∠CEA=28°,則∠ABD=__28°__.
,第14題圖) ,第15題圖) ,第16題圖) ,第17題圖) ,第18題圖)
15.如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC為弦,∠ABC=30°,過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點D,連接DC,則∠DCB=__30°__.
16.如圖,⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且半徑都是0.5 cm,則圖中三個扇形(即三個陰影部分)的面積之和為__π8cm2__.
17.如圖,把拋物線y=x2沿直線y=x平移2個單位后,其頂點在直線上的A處,則平移后的拋物線表達(dá)式是__y=(x-1)2+1__.
18.(2015•張家界)如圖,AB,CD是半徑為5的⊙O的兩條弦,AB=8,CD=6,MN是直徑,AB⊥MN于點E,CD⊥MN于點F,P為EF上的任意一點,則PA+PC的最小值為__72__.
三、用心做一做(共66分)
19.(8分)計算:
(1)sin45°+cos60°3-2cos60°-sin60°(1-cos30°); (2)cos30°sin60°-cos45°-(2-tan60°)2+tan45°.
解:1+24-32 解:2+6+3
20.(8分)如圖,一大橋的橋拱為拋物線形,跨度AB=50米,拱高(即頂點C到AB的距離)為20米,求橋拱所在拋物線的表達(dá)式.
解:y=-4125(x-25)2
21.(8分)(2015•黃石)如圖所示,體育場內(nèi)一看臺與地面所成夾角為30°,看臺最低點A到點B的距離為103米,A,B兩點正前方有垂直于地面的旗桿DE,在A,B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°(仰角即視線與水平線的夾角).
(1)求AE的長;
(2)已知旗桿上有一面旗在離地面1米的F點處,這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升,求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要多少秒?
解:(1)∵BG∥CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又∠GBE=15°,∴∠ABE=45°.∵∠EAD=90°,∴∠AEB=45°,∴AB=AE=103 (2)在Rt△ADE中,∵∠EDA=90°,∠EAD=60°,AE=103,∴DE=15.又DF=1,∴FE=14.∴t=140.5=28(秒).故這面旗到達(dá)旗桿頂端需要28秒
22.(10分)如圖,P為正比例函數(shù)y=32x圖象上的一個動點,⊙P的半徑為3,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y).
(1)求⊙P與直線x=2相切時點P的坐標(biāo);
(2)請直接寫出⊙P與直線x=2相交、相離時x的取值范圍.
解:(1)過P作直線x=2的垂線,垂足為A.當(dāng)點P在直線x=2右側(cè)時,AP=x-2=3,得x=5,∴P5,152;當(dāng)點P在直線x=2左側(cè)時,PA=2-x=3,得x=-1,∴P-1,-32,∴當(dāng)⊙P與直線x=2相切時,點P的坐標(biāo)為5,152或-1,-32 (2)當(dāng)-15時,⊙P與直線x=2相離
23.(8分)(2015•武漢)如圖,AB是⊙O的直徑,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求證:AT是⊙O的切線.
(2)連接OT交⊙O于點C,連接AC,求tan∠TAC的值.
解:(1)∵AB=AT,∴∠ABT=∠ATB=45°,∴∠BAT=90°,即AT為⊙O的切線 (2)如圖,過點C作CD⊥AB于點D.則∠TAC=∠ACD,tan∠TOA=ATAO=CDOD=2,設(shè)OD=x,則CD=2x,OC=5x=OA,∵AD=AO-OD=(5-1)x,
∴tan∠TAC=tan∠ACD=ADCD=(5-1)x2x=5-12
24.(12分)某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進(jìn)行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降價1元,每天就可以多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.
(1)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤?利潤是多少?
(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4 000元,且每天的總成本不超過7 000元,那么銷售單價應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)
解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27 500 (2)y=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500.∵-5<0,∴拋物線開口向下.∵50≤x≤100,對稱軸是直線x=80,∴當(dāng)x=80時,y=4 500.∴當(dāng)銷售單價為80元時,每天的銷售利潤,利潤是4 500元 (3)當(dāng)y=4 000時,-5(x-80)2+4 500=4 000,解得x1=70,x2=90.∴當(dāng)70≤x≤90時,每天的銷售利潤不低于4 000元.由每天的總成本不超過7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82,∴82≤x≤90(滿足50≤x≤100),∴銷售單價應(yīng)該控制在82元至90元之間
25.(12分)(2015•麗水)某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行鋪助訓(xùn)練,出球口在桌面中線端點A處的正上方,假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動路線固定不變,且落在中線上,在乒乓球運(yùn)行時,設(shè)乒乓球與端點A的水平距離為x(米),與桌面的高度為y(米),運(yùn)行時間為t(秒),經(jīng)多次測試后,得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù):
t(秒) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x(米) 0 0.4 0.5 1 1.5 0.6 2 …
y(米) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
(1)當(dāng)t為何值時,乒乓球達(dá)到高度?
(2)乒乓球落在桌面時,與端點A的水平距離是多少?
(3)乒乓球落在桌面上彈起后,y與x滿足y=a(x-3)2+k.
①用含a的代數(shù)式表示k;
②球網(wǎng)高度為0.14米,球桌長(1.4×2)米.若球彈起后,恰好有的擊球點,可以將球沿直線扣殺到點A,求a的值.
解:以點A為原點,以桌面中線為x軸,乒乓球水平運(yùn)動方向為正方向,建立平面直角坐標(biāo)系.(1)由表格中的數(shù)據(jù),可得當(dāng)t為0.4秒時,乒乓球達(dá)到高度 (2)由表格中數(shù)據(jù),可畫出y關(guān)于x的圖象,根據(jù)圖象的形狀,可判斷y是x的二次函數(shù).可設(shè)y=a(x-1)2+0.45.將(0,0.25)代入,可得a=-15,∴y=-15(x-1)2+0.45.當(dāng)y=0時,x1=52,x2=-12(舍去),即乒乓球與端點A的水平距離是52米 (3)①由(2)得乒乓球落在桌面上時,對應(yīng)的點為(52,0).代入y=a(x-3)2+k,得(52-3)2a+k=0,化簡整理,得k=-14a.②由題意知,扣殺路線在直線y=110x上.由①得y=a(x-3)2-14a.令a(x-3)2-14a=110x,整理,得20ax2-(120a+2)x+175a=0.當(dāng)Δ=(120a+2)2-4×20a×175a=0時符合題意,解得a1=-6+3510,a2=-6-3510.當(dāng)a1=-6+3510時,求得x=-352,不符合題意,舍去;當(dāng)a2=-6-3510時,求得x=352,符合題意.答:當(dāng)a= 時,能恰好將球沿直線扣殺到點A
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,則BC的長為( B )
A.45 B.5 C.15 D.145
2.已知⊙O的半徑為1,圓心O到直線l的距離為2,過l上任一點A作⊙O的切線,切點為B,則線段AB長度的最小值為( C )
A.1 B.2 C.3 D.2
3.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖,其中AB,CD分別表示一樓、二樓地面的水平線,∠ABC=150°,BC的長是8 m,則乘電梯從點B到點C上升的高度h是( B )
A.833 m B.4 m C.43 m D.8 m
,第3題圖) ,第4題圖) ,第5題圖) ,第6題圖)
4.如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,切點分別是A,B,如果OP=4,PA=23,那么∠APB等于( D )
A.90° B.100° C.110° D.60°
5.函數(shù)y=-x2+2(m-1)x+m+1的圖象如圖,它與x軸交于A,B兩點,線段OA與OB的比為1∶3,則m的值為( D )
A.13或2 B.13 C.1 D.2
6.如圖,一根5 m長的繩子,一端拴在圍墻墻角的柱子上,另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動)那么小羊A在草地上的活動區(qū)域面積是( D )
A.1712π m2 B.176π m2 C.254π m2 D.7712π m2
7.某商人將單價為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,已知這種商品每提高2元,其銷量就要減少10件,為了使每天所賺利潤最多,該商人應(yīng)將銷售價(為偶數(shù))提高( A )
A.8元或10元 B.12元 C.8元 D.10元
8.如圖,在△ABC中,cosB=22,sinC=35,AC=5,則△ABC的面積是( A )
A.212 B.12 C.14 D.21
,第8題圖) ,第9題圖) ,第10題圖)
9.如圖,射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.動點P從Q出發(fā),沿射線QN以每秒1 cm 的速度向右移動,經(jīng)過t秒,以點P為圓心,3cm為半徑與△ABC的邊相切(切點在邊上),則t(單位:秒)可以取的一切值為( D )
A.t=2 B.3≤t≤7
C.t=8 D.t=2或3≤t≤7或t=8
10.如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點,在以下判斷中,不正確的是( C )
A.當(dāng)弦PB最長時,△APC是等腰三角形 B.當(dāng)△APC是等腰三角形時,PO⊥AC
C.當(dāng)PO⊥AC時,∠ACP=30° D.當(dāng)∠ACP=30°時,△BPC是直角三角形
二、細(xì)心填一填(每小題3分,共24分)
11.已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A-3sinA+1=0,則sinA的值為__12__.
12.若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(2,1),且經(jīng)過點B(1,0),則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為__y=-x2+4x-3__.
13.(2015•紹興)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,點P在以C為圓心,5為半徑的圓上,連接PA,PB.若PB=4,則PA的長為__3或73__.
14.如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,E為BC︵上一點,若∠CEA=28°,則∠ABD=__28°__.
,第14題圖) ,第15題圖) ,第16題圖) ,第17題圖) ,第18題圖)
15.如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC為弦,∠ABC=30°,過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點D,連接DC,則∠DCB=__30°__.
16.如圖,⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且半徑都是0.5 cm,則圖中三個扇形(即三個陰影部分)的面積之和為__π8cm2__.
17.如圖,把拋物線y=x2沿直線y=x平移2個單位后,其頂點在直線上的A處,則平移后的拋物線表達(dá)式是__y=(x-1)2+1__.
18.(2015•張家界)如圖,AB,CD是半徑為5的⊙O的兩條弦,AB=8,CD=6,MN是直徑,AB⊥MN于點E,CD⊥MN于點F,P為EF上的任意一點,則PA+PC的最小值為__72__.
三、用心做一做(共66分)
19.(8分)計算:
(1)sin45°+cos60°3-2cos60°-sin60°(1-cos30°); (2)cos30°sin60°-cos45°-(2-tan60°)2+tan45°.
解:1+24-32 解:2+6+3
20.(8分)如圖,一大橋的橋拱為拋物線形,跨度AB=50米,拱高(即頂點C到AB的距離)為20米,求橋拱所在拋物線的表達(dá)式.
解:y=-4125(x-25)2
21.(8分)(2015•黃石)如圖所示,體育場內(nèi)一看臺與地面所成夾角為30°,看臺最低點A到點B的距離為103米,A,B兩點正前方有垂直于地面的旗桿DE,在A,B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°(仰角即視線與水平線的夾角).
(1)求AE的長;
(2)已知旗桿上有一面旗在離地面1米的F點處,這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升,求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要多少秒?
解:(1)∵BG∥CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又∠GBE=15°,∴∠ABE=45°.∵∠EAD=90°,∴∠AEB=45°,∴AB=AE=103 (2)在Rt△ADE中,∵∠EDA=90°,∠EAD=60°,AE=103,∴DE=15.又DF=1,∴FE=14.∴t=140.5=28(秒).故這面旗到達(dá)旗桿頂端需要28秒
22.(10分)如圖,P為正比例函數(shù)y=32x圖象上的一個動點,⊙P的半徑為3,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y).
(1)求⊙P與直線x=2相切時點P的坐標(biāo);
(2)請直接寫出⊙P與直線x=2相交、相離時x的取值范圍.
解:(1)過P作直線x=2的垂線,垂足為A.當(dāng)點P在直線x=2右側(cè)時,AP=x-2=3,得x=5,∴P5,152;當(dāng)點P在直線x=2左側(cè)時,PA=2-x=3,得x=-1,∴P-1,-32,∴當(dāng)⊙P與直線x=2相切時,點P的坐標(biāo)為5,152或-1,-32 (2)當(dāng)-1
23.(8分)(2015•武漢)如圖,AB是⊙O的直徑,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求證:AT是⊙O的切線.
(2)連接OT交⊙O于點C,連接AC,求tan∠TAC的值.
解:(1)∵AB=AT,∴∠ABT=∠ATB=45°,∴∠BAT=90°,即AT為⊙O的切線 (2)如圖,過點C作CD⊥AB于點D.則∠TAC=∠ACD,tan∠TOA=ATAO=CDOD=2,設(shè)OD=x,則CD=2x,OC=5x=OA,∵AD=AO-OD=(5-1)x,
∴tan∠TAC=tan∠ACD=ADCD=(5-1)x2x=5-12
24.(12分)某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進(jìn)行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降價1元,每天就可以多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.
(1)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤?利潤是多少?
(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4 000元,且每天的總成本不超過7 000元,那么銷售單價應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)
解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27 500 (2)y=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500.∵-5<0,∴拋物線開口向下.∵50≤x≤100,對稱軸是直線x=80,∴當(dāng)x=80時,y=4 500.∴當(dāng)銷售單價為80元時,每天的銷售利潤,利潤是4 500元 (3)當(dāng)y=4 000時,-5(x-80)2+4 500=4 000,解得x1=70,x2=90.∴當(dāng)70≤x≤90時,每天的銷售利潤不低于4 000元.由每天的總成本不超過7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82,∴82≤x≤90(滿足50≤x≤100),∴銷售單價應(yīng)該控制在82元至90元之間
25.(12分)(2015•麗水)某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行鋪助訓(xùn)練,出球口在桌面中線端點A處的正上方,假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動路線固定不變,且落在中線上,在乒乓球運(yùn)行時,設(shè)乒乓球與端點A的水平距離為x(米),與桌面的高度為y(米),運(yùn)行時間為t(秒),經(jīng)多次測試后,得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù):
t(秒) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x(米) 0 0.4 0.5 1 1.5 0.6 2 …
y(米) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
(1)當(dāng)t為何值時,乒乓球達(dá)到高度?
(2)乒乓球落在桌面時,與端點A的水平距離是多少?
(3)乒乓球落在桌面上彈起后,y與x滿足y=a(x-3)2+k.
①用含a的代數(shù)式表示k;
②球網(wǎng)高度為0.14米,球桌長(1.4×2)米.若球彈起后,恰好有的擊球點,可以將球沿直線扣殺到點A,求a的值.
解:以點A為原點,以桌面中線為x軸,乒乓球水平運(yùn)動方向為正方向,建立平面直角坐標(biāo)系.(1)由表格中的數(shù)據(jù),可得當(dāng)t為0.4秒時,乒乓球達(dá)到高度 (2)由表格中數(shù)據(jù),可畫出y關(guān)于x的圖象,根據(jù)圖象的形狀,可判斷y是x的二次函數(shù).可設(shè)y=a(x-1)2+0.45.將(0,0.25)代入,可得a=-15,∴y=-15(x-1)2+0.45.當(dāng)y=0時,x1=52,x2=-12(舍去),即乒乓球與端點A的水平距離是52米 (3)①由(2)得乒乓球落在桌面上時,對應(yīng)的點為(52,0).代入y=a(x-3)2+k,得(52-3)2a+k=0,化簡整理,得k=-14a.②由題意知,扣殺路線在直線y=110x上.由①得y=a(x-3)2-14a.令a(x-3)2-14a=110x,整理,得20ax2-(120a+2)x+175a=0.當(dāng)Δ=(120a+2)2-4×20a×175a=0時符合題意,解得a1=-6+3510,a2=-6-3510.當(dāng)a1=-6+3510時,求得x=-352,不符合題意,舍去;當(dāng)a2=-6-3510時,求得x=352,符合題意.答:當(dāng)a= 時,能恰好將球沿直線扣殺到點A