分數(shù)乘法
一、分數(shù)乘法
(一)、分數(shù)乘法的計算法則：
1、分數(shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。(整數(shù)和分母約分)
2、分數(shù)與分數(shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。
注意：當帶分數(shù)進行乘法計算時，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行計算。
(二)、規(guī)律：(乘法中比較大小時)
一個數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)。
一個數(shù)(0除外)乘小于1的數(shù)(0除外)，積小于這個數(shù)。
一個數(shù)(0除外)乘1，積等于這個數(shù)。
(三)、分數(shù)混合運算的運算順序和整數(shù)的運算順序相同。
(四)、整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對于分數(shù)乘法也同樣適用。
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：(a+b)×c=ac+bcac+bc=(a+b)×c
二、分數(shù)乘法的解決問題
(已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的幾分之幾是多少)
1、找單位“1”：在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面
2、求一個數(shù)的幾倍：一個數(shù)×幾倍;求一個數(shù)的幾分之幾是多少：一個數(shù)×。
3、寫數(shù)量關(guān)系式技巧：
(1)“的”相當于“×”“占”、“是”、“比”相當于“=”
(2)分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應(yīng)量
(3)分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×(1分率)=分率對應(yīng)量
分數(shù)除法
一、分數(shù)除法
1、分數(shù)除法的意義：
分數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。
2、分數(shù)除法的計算法則：除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
3、規(guī)律(分數(shù)除法比較大小時)：(1)、當除數(shù)大于1，商小于被除數(shù);
(2)、當除數(shù)小于1(不等于0)，商大于被除數(shù);(3)、當除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)。
4、“”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。
二、分數(shù)除法解決問題
(未知單位“1”的量(用除法)：已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。)
1、數(shù)量關(guān)系式和分數(shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同：
(1)分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應(yīng)量
(2)分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×(1分率)=分率對應(yīng)量
2、解法：(建議：用方程解答)
(1)方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
(2)算術(shù)(用除法)：分率對應(yīng)量÷對應(yīng)分率=單位“1”的量
3、求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾：就一個數(shù)÷另一個數(shù)
4、求一個數(shù)比另一個數(shù)多(少)幾分之幾：
①求多幾分之幾：大數(shù)÷小數(shù)–1②求少幾分之幾：1-小數(shù)÷大數(shù)
或①求多幾分之幾(大數(shù)-小數(shù))÷小數(shù)②求少幾分之幾：(大數(shù)-小數(shù))÷大數(shù)
針對練習：
1、果園里有桃樹560棵，占果樹總數(shù)的1/2，果園里一共有果樹多少棵?
2、一條褲子75元，是一件上衣價格的1/2，一件上衣多少錢?
3、一個修路隊修一條路，第一天修了全長1/2，正好是160米，這條路全長是多少米?
4、幼兒園買來2千克水果糖，是買來的牛奶糖的1/2，買來牛奶糖多少千克?
5、新風小學去年植樹320棵，相當于今年植樹棵數(shù)的1/2，今年去年共植樹多棵?
6、一桶水，用去它的1/2，正好是15千克，這桶水重多少千克?
7、王新買了一本書和一枝鋼筆，書的價格是4元，正好是鋼筆價格的1/2，鋼筆價格是多少元?
7、一種小汽車的最快速度是每小時行140千米，相當于一種超音速飛機速度的1/2，這種超音速飛機每小時飛行多少千米?
比和比的應(yīng)用
(一)、比的意義
1、比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
2、在兩個數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
例如15：10=15÷10=(比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示)
∶∶∶∶
前項比號后項比值
3、比可以表示兩個相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例：路程÷速度=時間。
4、區(qū)分比和比值
比：表示兩個數(shù)的關(guān)系，可以寫成比的形式，也可以用分數(shù)表示。
比值：相當于商，是一個數(shù)，可以是整數(shù)，分數(shù)，也可以是小數(shù)。
5、根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，兩個數(shù)的比也可以寫成分數(shù)形式。
6、比和除法、分數(shù)的聯(lián)系：
比前項比號“：”后項比值
除法被除數(shù)除號“÷”除數(shù)商
分數(shù)分子分數(shù)線“—”分母分數(shù)值
7、比和除法、分數(shù)的區(qū)別：除法是一種運算，分數(shù)是一個數(shù)，比表示兩個數(shù)的關(guān)系。
8、根據(jù)比與除法、分數(shù)的關(guān)系，可以理解比的后項不能為0。
體育比賽中出現(xiàn)兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數(shù)相除的關(guān)系。
(二)、比的基本性質(zhì)
1、根據(jù)比、除法、分數(shù)的關(guān)系：
商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，商不變。
分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)時(0除外)，分數(shù)值不變。
比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。
2、最簡整數(shù)比：比的前項和后項都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡整數(shù)比。
3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡單的整數(shù)比。
4.化簡比：
①用比的前項和后項同時除以它們的公因數(shù)。
(1)②兩個分數(shù)的比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡整數(shù)比的方法來化簡。
③兩個小數(shù)的比：向右移動小數(shù)點的位置，先化成整數(shù)比再化簡。
(2)用求比值的方法。注意:最后結(jié)果要寫成比的形式。
如：15∶10=15÷10==3∶2
5.按比例分配：把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。
如：已知兩個量之比為，則設(shè)這兩個量分別為。
6、路程一定，速度比和時間比成反比。(如：路程相同，速度比是4：5，時間比則為5：4)
工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。
(如：工作總量相同，工作時間比是3：2，工作效率比則是2：3)
圓柱與圓錐
一、圓柱的特征：
1、圓柱的兩個圓面叫做底面，周圍的面叫做側(cè)面，底面是平面，側(cè)面是曲面，。
2、圓柱的高：圓柱兩個底面之間的距離叫做高。圓柱的高有無數(shù)條。
3、圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面沿高展開后是長方形，長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高，當?shù)酌嬷荛L和高相等時，側(cè)面沿高展開后是一個正方形。
4、圓柱的側(cè)面積=底面周長×高即S側(cè)=Ch或2πr×h
5、圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+底面積×2即S表=S側(cè)+S底×2或2πr×h+2×πr2
6、圓柱的體積=圓柱的底面積×高，即V=sh或πr2×h
7、將一張長方形圍成圓柱有兩種方法，將一張長方形進行旋轉(zhuǎn)一般也有兩種。
(進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進1。這種取近似值的方法叫做進一法。)
二、圓錐的特征：
1、圓錐只有一個底面，底面是個圓。圓錐的側(cè)面是個曲面。
2、從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。圓錐只有一條高。(測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。)
3、把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。4、圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的三分之一，即V錐=Sh或V錐=πr2×h
5、常見的圓柱圓錐解決問題：①、壓路機壓過路面面積(求側(cè)面積);②、壓路機壓過路面長度(求底面周長);③、水桶鐵皮(求側(cè)面積和一個底面積);④、廚師帽(求側(cè)面積和一個底面積);通風管(求側(cè)面積)。
6、圓柱和圓錐的特征
圓柱圓錐
底面兩個底面完全相同，都是圓形。一個底面，是圓形。
側(cè)面曲面，沿高剪開，展開后是長方形。曲面，沿頂點到底面圓周上的一條線段剪開，展開后是扇形。
高兩個底面之間的距離，有無數(shù)條。頂點到底面圓心的距離，只有一條。
針對練習：
1、圓柱形隊鼓的側(cè)面由鋁皮圍成，上、下底面蒙的是羊皮。隊鼓的底面直徑是6分米，高是2.6分米。做一個這樣的隊鼓，至少需要鋁皮多少平方分米?羊皮呢?
2、一個圓柱形的油桶，底面直徑是0.6米，高是1米。做一個這樣的油桶至少需要多少平方米鐵皮?(得數(shù)保留兩位小數(shù))
3.做一根長2米、管口直徑0.15米的白鐵皮通風管，至少需要白鐵皮多少平方米?
4.一個圓柱形的燈籠，底面直徑是24厘米，高是30厘米。在燈籠的下底和側(cè)面糊上彩紙，至少要多少平方厘米的彩紙?
圓
一、認識圓
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等.
3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個圓內(nèi)最長的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同圓或等圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7.在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的。用字母表示為：d=2r或r=
8、軸對稱圖形：
如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。(經(jīng)過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線)
9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。
10、只有1一條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
只有2條對稱軸的圖形是：長方形
只有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形
只有4條對稱軸的圖形是：正方形;
有無數(shù)條對稱軸的圖形是：圓、圓環(huán)。
二、圓的周長
1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。
2、圓周率實驗：
在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓的周長。
發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就是圓周長與它直徑的比值是一個固定數(shù)(π)。
3.圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。
用字母π(pai)表示。
(1)、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數(shù)。
圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)。在計算時，一般取π≈3.14。
(2)、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。
(3)、世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數(shù)學家祖沖之。
4、圓的周長公式：C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷2π
5、在一個正方形里畫一個的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。
在一個長方形里畫一個的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
6、區(qū)分周長的一半和半圓的周長：
(1)周長的一半：等于圓的周長÷2計算方法：2πr÷2即πr
(2)半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。計算方法：πr+2r
百分數(shù)
一、百分數(shù)的意義和寫法
1、百分數(shù)的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。
百分數(shù)是指的兩個數(shù)的比，因此也叫百分率或百分比。
2、千分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的千分之幾。
3、百分數(shù)和分數(shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：
(1)聯(lián)系：都可以表示兩個量的倍比關(guān)系。
(2)區(qū)別：
①、意義不同：百分數(shù)只表示兩個數(shù)的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，所以不能帶單位;
分數(shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個數(shù)的關(guān)系，表示具本數(shù)時可以帶單位。
②、百分數(shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù);
分數(shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除0以外的自然數(shù)。
4、百分數(shù)的寫法：通常不寫成分數(shù)形式，而在原來分子后面加上“%”來表示。
二、百分數(shù)和分數(shù)、小數(shù)的互化
(一)百分數(shù)與小數(shù)的互化：
1、小數(shù)化成百分數(shù)：把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。
2.百分數(shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點向左移動兩位，同時去掉百分號。
(二)百分數(shù)的和分數(shù)的互化
1、百分數(shù)化成分數(shù)：
先把百分數(shù)化成分數(shù)，先把百分數(shù)改寫成分母是否100的分數(shù)，能約分要約成最簡分數(shù)。
2、分數(shù)化成百分數(shù)：
①用分數(shù)的基本性質(zhì)，把分數(shù)分母擴大或縮小成分母是100的分數(shù)，再寫成百分數(shù)形式。
②先把分數(shù)化成小數(shù)(除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分數(shù)。
(三)常見的分數(shù)與小數(shù)、百分數(shù)之間的互化
=0.5=50% =0.2=20% =0.625=62.5%
=0.25=25% =0.4=40% =0.125=12.5%
=0.75=75% =0.6=60% =1.375=37.5%
=0.0625=6.25% =0.8=80% =0.875=87.5%
=0.04=4﹪ =0.08=8﹪= 0.12=12﹪ =0.16=16﹪
三、用百分數(shù)解決問題
(一)一般應(yīng)用題
1、常見的百分率的計算方法：
①合格率=②發(fā)芽率=
③出勤率=④達標率=
⑤成活率=⑥出粉率=
⑦烘干率=⑧含水率=
一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。(一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。)
2、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問題：
數(shù)量關(guān)系式和分數(shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同：
(1)分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應(yīng)量
(2)分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×(1分率)=分率對應(yīng)量
3、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。
解法：(建議：用方程解答)
(1)方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
(2)算術(shù)(用除法)：分率對應(yīng)量÷對應(yīng)分率=單位“1”的量
4、求一個數(shù)比另一個數(shù)多(少)百分之幾的問題：
兩個數(shù)的相差量÷單位“1”的量×100%或：
①求多百分之幾：(大數(shù)-小數(shù))÷小數(shù)
②求少百分之幾：(大數(shù)-小數(shù))÷大數(shù)
(二)、折扣
1、折扣：商品按原定價格的百分之幾出售，叫做折扣。通稱“打折”。
幾折就表示十分之幾，也就是百分之幾十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪
2、一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三點五，也就是35%
(三)、納稅
1、納稅：納稅是根據(jù)國家稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。
2、納稅的意義：稅收是國家財政收入的主要來源之一。國家用收來的稅款發(fā)展經(jīng)濟、科技、教育、文化和國防安全等事業(yè)。
3、應(yīng)納稅額：繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。
4、稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率叫做稅率。
5、應(yīng)納稅額的計算方法：應(yīng)納稅額=總收入×稅率
(四)利息
1、存款分為活期、整存整取和零存整取等方法。
2、儲蓄的意義：人們常常把暫時不用的錢存入銀行或信用社，儲蓄起來，這樣不僅可以支援國家建設(shè)，也使得個人用錢更加安全和有計劃，還可以增加一些收入。
3、本金：存入銀行的錢叫做本金。
4、利息：取款時銀行多支付的錢叫做利息。
5、利率：利息與本金的比值叫做利率。
6、利息的計算公式：利息=本金×利率×時間
7、注意：如要上利息稅(國債和教育儲藏的利息不納稅)，則：
稅后利息=利息-利息的應(yīng)納稅額=利息-利息×利息稅率=利息×(1-利息稅率)
扇形統(tǒng)計圖
一、扇形統(tǒng)計圖的意義：
用整個圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形面積表示各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。
也就是各部分數(shù)量占總數(shù)的百分比(因此也叫百分比圖)。
二、常用統(tǒng)計圖的優(yōu)點：
1、條形統(tǒng)計圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。
2、折線統(tǒng)計圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的增減變化情況。
3、扇形統(tǒng)計圖：能夠清楚的反映出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。
三、扇形的面積大小：
在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積占圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。)
針對練習：
一、我國國土總面積是960萬平方千米。下面是我國地形分布情況統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題。
1、我國山地面積占總面積的百分之幾?
2、各類地形中，什么地形面積?什么最小?
3、你還能得到哪些信息?
4、請算出各類地形的實際面積，填入下表。
地形種類山地丘陵高原盆地平原
面積(萬平方千米)
二、小軍家2012年11月支出情況統(tǒng)計如下圖。聰聰家2012年11月的總支出是3600元。請你回答問題。
1、這個月哪項出最多?支出了多少元?
2、文化教育支出了多少元?購買衣物支出了多少元?
3、購買衣物的支出比文化教育支出少百分之幾?
4、你還能提出什么問題?并解決你所提出的問題?