一、選擇題
1．若 ， 是一元二次方程 的兩個根，則 的值是（ ）
A．2 B．1 C．―1 D．3
2．若關(guān)于x的一元二次方程 的兩個實數(shù)根分別是 ,且滿足 .則k的值為（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
3．方程x2-3x-6=0與方程x2-6x+3=0的所有根的乘積為（ ）
A．-18 B．18 C．-3 D．3
4．若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則x12+x22 的值是（ ）
A． B． C． D．7
5．若關(guān)于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的兩個實數(shù)根x1，x2，且x1•x2＞x1＋x2－4，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＞ B．m≤ C．m＜ D． ＜m≤
6．已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的兩實根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A．3 B．－3 C．1 D．－3或1
7．下列說法中不正確的是（ ）
A．方程x2+2x-7=0的兩實數(shù)根之和為－2
B．方程x2-3x-5=0的兩實數(shù)根之積為-5
C．方程x2-2x-7=0的兩實數(shù)根的平方和為18
D.方程x2-3x-5=0的兩實數(shù)根的倒數(shù)和為
8．如果x的方程x2+kx+1=0的兩根的差為1，那么k的值為（ ）
A．±2 B．± C．± D．±
9．已知關(guān)于x的方程5x2+kx-6=0的一個根為2，設(shè)方程的另一個根為x1，則有（ ）
A．x1= ，k=-7 B．x1=- ，k=-7 C．x1=- ，k=7 D．x1= ，k=7
二、填空題
1．已知一元二次方程 的兩根為 、 ，則 ?。?BR> 2．如果 ， 是方程 的兩個根，那么 ＝ ．
3．已知 ， 是方程 的兩實數(shù)根，則 的值為______．
4．已知 、 是關(guān)于 的方程 的兩個實數(shù)根，且 ＋ ＝ ，則 ＝ ．
5．設(shè)x1、x2是方程2x2+4x-3=0的兩個根，則(x1+1)(x2+1)= ．
6．若方程 的兩根為a、β，則 ．
7．若方程 的兩根之比是2：3，則k= ．
8．請寫出一個二次項系數(shù)為1，兩實根之和為3的一元二次方程： ．
三、解答題
1．已知關(guān)于x的二次方程x2+mx-1=0的一個根是 ，求另一個根及m的值．
2．已知關(guān)于x的方程x2－（k+1）x+k+2=0的兩個實數(shù)根的平方和等于6，求k的值．
3．α，β是關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2－x + 1 = 0的兩個實數(shù)根，且滿足(α+1)(β+1) = m +1，求實數(shù)m的值．
4．已知關(guān)于x的方程 ，問：是否存在正實數(shù)m,使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O．
(1)求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程兩根為x1、x2，且滿足1x1+1x2 =－12，求m的值．
參考答案
一、選擇題
1．B； 2．C； 3．A； 4．A； 5．D； 6．D； 7．D；
8．C．〖提示〗令x1＞x2，因為x1+x2=-k，x1x2=1，所以x1-x2=
=1，所以k2-4=1，所以k=± ．
9．B．提示：因為x1x2=- ，所以2x1=- ，所以x1=- ，又x1+x2= ，所以k=5×（ ）=-7．
二、填空題
1． ； 2．6； 3．10； 4． ； 5． ； 6．10； 7．3； 8．答案不，如x2-3x-2=0等；
三、解答題
1．設(shè)方程的另一個根為x1,那么( )•x1=－1,所以x1=－ ．
又因為 ，所以m=2．所以方程的另一個根為 ．
2．設(shè)方程的兩根 x1、x2，則x1+x2=k+1，x1x2=k+2．因為x12+x22=(x1+x2)2―2x1x2=6，即(k+1)2－2（k+2）=6，解之，得k=±3．當(dāng)k=3時，△=(k+1)2－4（k+2）=42－4×5＜0．當(dāng)k=－3時，△=(-2)2－4（-1）=8＞0．
所以k=3不合題意，舍去，故k=－3．
3．根據(jù)題意，得α+β= ，αβ= ，且m-1≠0．
因為(α+1)(β+1) = m +1，所以αβ+（α+β）=m，所以 + =m，所以m2-m-2=0，所以m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．即實數(shù)m的值為2．
4．設(shè)方程 的兩實數(shù)根是x1、x2，假設(shè)存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，則x12+x22=56，所以（x1+x2）2-2x1x2=56，又因為x1+x2=2（m-2），x1x2=m2， 所以4(m-2)2-2m2=56，所以m2-8m-20=0，所以m1=-8，m2=10．
因為m為正數(shù)，所以m=-8舍去．
當(dāng)m=10時，原方程變形為x2－16x+100=0，該方程的△=（-16）2-4×100＜0，與該方程有兩個實數(shù)根相矛盾．
所以不存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56．
5．（1）證明：因為一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O的根的判別式
△=(4m+1)2－4（2m-1）=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5．
因為不m取何值時，m2≥0，所以16m2+5總大于0，即不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）因為方程兩根為x1、x2，所以x1+x2=－（4m+1），x1x2=2m－1，
因為1x1+1x2 =－12，所以 ，所以 ，所以m= ．
1．若 ， 是一元二次方程 的兩個根，則 的值是（ ）
A．2 B．1 C．―1 D．3
2．若關(guān)于x的一元二次方程 的兩個實數(shù)根分別是 ,且滿足 .則k的值為（ ）
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
3．方程x2-3x-6=0與方程x2-6x+3=0的所有根的乘積為（ ）
A．-18 B．18 C．-3 D．3
4．若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則x12+x22 的值是（ ）
A． B． C． D．7
5．若關(guān)于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的兩個實數(shù)根x1，x2，且x1•x2＞x1＋x2－4，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＞ B．m≤ C．m＜ D． ＜m≤
6．已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的兩實根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A．3 B．－3 C．1 D．－3或1
7．下列說法中不正確的是（ ）
A．方程x2+2x-7=0的兩實數(shù)根之和為－2
B．方程x2-3x-5=0的兩實數(shù)根之積為-5
C．方程x2-2x-7=0的兩實數(shù)根的平方和為18
D.方程x2-3x-5=0的兩實數(shù)根的倒數(shù)和為
8．如果x的方程x2+kx+1=0的兩根的差為1，那么k的值為（ ）
A．±2 B．± C．± D．±
9．已知關(guān)于x的方程5x2+kx-6=0的一個根為2，設(shè)方程的另一個根為x1，則有（ ）
A．x1= ，k=-7 B．x1=- ，k=-7 C．x1=- ，k=7 D．x1= ，k=7
二、填空題
1．已知一元二次方程 的兩根為 、 ，則 ?。?BR> 2．如果 ， 是方程 的兩個根，那么 ＝ ．
3．已知 ， 是方程 的兩實數(shù)根，則 的值為______．
4．已知 、 是關(guān)于 的方程 的兩個實數(shù)根，且 ＋ ＝ ，則 ＝ ．
5．設(shè)x1、x2是方程2x2+4x-3=0的兩個根，則(x1+1)(x2+1)= ．
6．若方程 的兩根為a、β，則 ．
7．若方程 的兩根之比是2：3，則k= ．
8．請寫出一個二次項系數(shù)為1，兩實根之和為3的一元二次方程： ．
三、解答題
1．已知關(guān)于x的二次方程x2+mx-1=0的一個根是 ，求另一個根及m的值．
2．已知關(guān)于x的方程x2－（k+1）x+k+2=0的兩個實數(shù)根的平方和等于6，求k的值．
3．α，β是關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2－x + 1 = 0的兩個實數(shù)根，且滿足(α+1)(β+1) = m +1，求實數(shù)m的值．
4．已知關(guān)于x的方程 ，問：是否存在正實數(shù)m,使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O．
(1)求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程兩根為x1、x2，且滿足1x1+1x2 =－12，求m的值．
參考答案
一、選擇題
1．B； 2．C； 3．A； 4．A； 5．D； 6．D； 7．D；
8．C．〖提示〗令x1＞x2，因為x1+x2=-k，x1x2=1，所以x1-x2=
=1，所以k2-4=1，所以k=± ．
9．B．提示：因為x1x2=- ，所以2x1=- ，所以x1=- ，又x1+x2= ，所以k=5×（ ）=-7．
二、填空題
1． ； 2．6； 3．10； 4． ； 5． ； 6．10； 7．3； 8．答案不，如x2-3x-2=0等；
三、解答題
1．設(shè)方程的另一個根為x1,那么( )•x1=－1,所以x1=－ ．
又因為 ，所以m=2．所以方程的另一個根為 ．
2．設(shè)方程的兩根 x1、x2，則x1+x2=k+1，x1x2=k+2．因為x12+x22=(x1+x2)2―2x1x2=6，即(k+1)2－2（k+2）=6，解之，得k=±3．當(dāng)k=3時，△=(k+1)2－4（k+2）=42－4×5＜0．當(dāng)k=－3時，△=(-2)2－4（-1）=8＞0．
所以k=3不合題意，舍去，故k=－3．
3．根據(jù)題意，得α+β= ，αβ= ，且m-1≠0．
因為(α+1)(β+1) = m +1，所以αβ+（α+β）=m，所以 + =m，所以m2-m-2=0，所以m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．即實數(shù)m的值為2．
4．設(shè)方程 的兩實數(shù)根是x1、x2，假設(shè)存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，則x12+x22=56，所以（x1+x2）2-2x1x2=56，又因為x1+x2=2（m-2），x1x2=m2， 所以4(m-2)2-2m2=56，所以m2-8m-20=0，所以m1=-8，m2=10．
因為m為正數(shù)，所以m=-8舍去．
當(dāng)m=10時，原方程變形為x2－16x+100=0，該方程的△=（-16）2-4×100＜0，與該方程有兩個實數(shù)根相矛盾．
所以不存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56．
5．（1）證明：因為一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O的根的判別式
△=(4m+1)2－4（2m-1）=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5．
因為不m取何值時，m2≥0，所以16m2+5總大于0，即不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）因為方程兩根為x1、x2，所以x1+x2=－（4m+1），x1x2=2m－1，
因為1x1+1x2 =－12，所以 ，所以 ，所以m= ．