復習：
整除的算式的特征：
1.除數(shù)、被除數(shù)都是自然數(shù)，且除數(shù)不為０。
2.被除數(shù)除以除數(shù)，商是自然數(shù)而沒有余數(shù)。
例：15能被5整除，我們就說，15是5的
倍數(shù)，5是15的因數(shù)。
知識點一：因數(shù)
問題一：一個長方形，它的面積是12平方厘米，如果長方形的長和寬都是整數(shù)，請同學們猜一猜這個長方形的長和寬各是多少？
所以12的因數(shù)有：
注意：1、在說因數(shù)（或倍數(shù)）時，必須說明誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)）。不能單獨說誰是因數(shù)（或倍數(shù)）。2、因數(shù)和倍數(shù)不能單獨存在。
例1 18的因數(shù)有那些？
方法一：想18可以有哪兩個數(shù)相乘得到18=1×18 18=2×9 18=3×6
方法二：根據(jù)整除的意義得到
18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6
所以18的因數(shù)有：
表示方法：
1.列舉法︰ 12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12
2.用集合表示︰
練習1：30的因數(shù)有哪些？36呢？
30的因數(shù)有：
36的因數(shù)有：
觀察：18的最小因數(shù)是（ ），的因數(shù)是（ ）
30的最小因數(shù)是（ ），的因數(shù)是 ）
36的最小因數(shù)是（ ），的因數(shù)是（ ）
一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，一個數(shù)的最小因數(shù)是（ ），因數(shù)是（ ）
你要知道：
（1）1的因數(shù)只有1，的因數(shù)和最小的因數(shù)都是它本身。
（2）除1以外的整數(shù)，至少有兩個因數(shù)。
（3）任何自然數(shù)都有因數(shù)1。
練習2、把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合圈中。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
15 16 18 20 24 30 36 6
36的因數(shù) 60的因數(shù)
知識點二：倍數(shù)
問題二：2的倍數(shù)有哪些？
2的倍數(shù)有：2，4，6，8 …
例1、 小蝸牛找倍數(shù)（找出3的倍數(shù)）。
練習3、5的倍數(shù)有哪些？7的倍數(shù)呢？
5的倍數(shù)：
7的倍數(shù)：
一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是（ ），一個數(shù)的最小的倍數(shù)是（ ），（ ）的倍數(shù)。
用字母表示因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系：a x b = c (a、b、c都是不為0的整數(shù)）a、b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。
說一說：在0、3、4、7、15、16、77、31、62中擇兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？
1、根據(jù)算式：4×8＝32
說一說，誰是誰的因數(shù)？誰是的倍數(shù)？
2、根據(jù)算式：63÷7＝9
說一說，誰是誰的因數(shù)？誰是的倍數(shù)？
3、判斷：1.2÷0.2＝6我們能說0.2和6是1.2的因數(shù)；1.2是0.2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)嗎？為什么？
小試牛刀
1. 填空：
（1）3×7=21，（ ）和（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）和（ ）的倍數(shù)。
（2）72的因數(shù)是（ ），最小倍數(shù)是（ ），最小因數(shù)是（ ）。
（3）一個數(shù)（0除外），它的因數(shù)和最小倍數(shù)都是（ ）。
2.判斷：
（1）6是因數(shù)，30是倍數(shù)。 （ ）
（2）因為8÷0.8=10，所以8是0.8和10的倍數(shù)，0.8和10是8的因數(shù)。 （ ）
（3）一個數(shù)的因數(shù)一定小于這個數(shù)。 （ ）
（4）甲數(shù)比乙數(shù)大，甲因數(shù)的個數(shù)比乙數(shù)多。（）
3、寫出各數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)。
因數(shù) 倍數(shù)（寫出5個）
10 4
17 7
28 10
32 12
48 15
知識點三：質(zhì)數(shù)和合數(shù)
1、自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類.
（1）質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）：只有1和它本身兩個因數(shù)。
（2）合數(shù)：除了1和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。
（3）1： 只有1個因數(shù)?！?”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
注： ① 最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，連續(xù)的兩個質(zhì)數(shù)是2、3。
② 每個合數(shù)都可以由幾個質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。
③ 20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個（ ）
④ 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個：（ ）
關(guān)系： 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 質(zhì)數(shù)×質(zhì)數(shù)=合數(shù)
3、常見、最小
A的最小因數(shù)是：1； 最小的奇數(shù)是：1；
A的因數(shù)是：本身； 最小的偶數(shù)是：0；
A的最小倍數(shù)是：本身； 最小的質(zhì)數(shù)是：2；
最小的自然數(shù)是：0； 最小的合數(shù)是：4；
4、分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)分解成多個質(zhì)數(shù)相乘的形式。樹狀圖
例：
分析：先把36寫成兩個因數(shù)相乘的形式，如果兩個因數(shù)都是質(zhì)數(shù)就不再進行分解了；如果兩個因數(shù)中海油合數(shù)，那我們繼續(xù)分解，一直分解到全部因數(shù)都是質(zhì)數(shù)為止。把36分解質(zhì)因數(shù)是：36=2×2×3×3
5、用短除法分解質(zhì)因數(shù) （一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式）。例：
分析：看上面兩個例子，分別是用短除法對18,30分解質(zhì)因數(shù)，左邊的數(shù)字表示“商”，豎折下面的表示余數(shù)，要注意步驟。具體步驟是：
6、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
兩個質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：5和7
兩個合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：8和9
一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7和8
7、兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：
⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì)；
⑵相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)；
⑶兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì)；
⑸質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；
三、經(jīng)驗之談：
書寫分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果時不能把質(zhì)因數(shù)相乘寫在等號左邊，把合數(shù)寫在右邊，比如36=2×2×3×3就不能寫成2×2×3×3=36；
短除法是除法一種簡化，利用短除法分解質(zhì)因數(shù)時，除數(shù)和商都不能是1，因為1不是質(zhì)數(shù)
小試牛刀
一、填空。
1、最小的自然數(shù)是（ ），最小的質(zhì)數(shù)是（ ），最小的合數(shù)是（ ），最小的奇數(shù)是（ ）。
2、20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有（ ），20以內(nèi)的偶數(shù)有（ ），20以內(nèi)的奇數(shù)有（ ）。
3、20以內(nèi)的數(shù)中不是偶數(shù)的合數(shù)有（ ），不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)有（ ）。
4、三個連續(xù)奇數(shù)的和是87，這三個連續(xù)的奇數(shù)分別是（ ）、（ ）、（ ）。
二、判斷題，對的在括號里寫“√”，錯的寫“×”。
（1）任何一個自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（ ）（2）偶數(shù)都是合數(shù)，奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。（ ）
（3）7的倍數(shù)都是合數(shù)。（ ）
（4）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)乘以10以內(nèi)的奇數(shù)，積是171。（ ）
（5）只有兩個約數(shù)的數(shù)，一定是質(zhì)數(shù)。（ ）
（6）兩個質(zhì)數(shù)的積，一定是質(zhì)數(shù)。（ ）
（7）2是偶數(shù)也是合數(shù)。（ ）
（8）1是最小的自然數(shù)，也是最小的質(zhì)數(shù)。（ ）（9）除2以外，所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（ ）（10）最小的自然數(shù)，最小的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)的和是7。（ ）
（11）1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（ ）
（12）個位上是3的數(shù)一定是3的倍數(shù)。（ ）（13）所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（ ）
（14）所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（ ）
（15）兩個數(shù)相乘的積一定是合數(shù)。 （ ）
三、下面的數(shù)中，哪些是合數(shù)，哪些是質(zhì)數(shù)。
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合數(shù)有：
質(zhì)數(shù)有：
四、 寫出兩個都是質(zhì)數(shù)的連續(xù)自然數(shù) 。
五、寫出兩個既是奇數(shù)，又是合數(shù)的數(shù) 。
六、在（ ）內(nèi)填入適當?shù)馁|(zhì)數(shù)。
10＝（ ）×（ ）
20＝（ ）×（ ）×（ ）
8＝（ ）×（ ）×（ ）
七、兩個質(zhì)數(shù)的和是18，積是65，這兩個質(zhì)數(shù)分別是多少？
八、 一個兩位質(zhì)數(shù)，交換個位與十位上的數(shù)字，所得的兩位數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)是（ ）。
九、用10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成一個三位數(shù)，使它能同時被3、5整除，這個數(shù)最小是（ ），是（ ）。
整除的算式的特征：
1.除數(shù)、被除數(shù)都是自然數(shù)，且除數(shù)不為０。
2.被除數(shù)除以除數(shù)，商是自然數(shù)而沒有余數(shù)。
例：15能被5整除，我們就說，15是5的
倍數(shù)，5是15的因數(shù)。
知識點一：因數(shù)
問題一：一個長方形，它的面積是12平方厘米，如果長方形的長和寬都是整數(shù)，請同學們猜一猜這個長方形的長和寬各是多少？
所以12的因數(shù)有：
注意：1、在說因數(shù)（或倍數(shù)）時，必須說明誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)）。不能單獨說誰是因數(shù)（或倍數(shù)）。2、因數(shù)和倍數(shù)不能單獨存在。
例1 18的因數(shù)有那些？
方法一：想18可以有哪兩個數(shù)相乘得到18=1×18 18=2×9 18=3×6
方法二：根據(jù)整除的意義得到
18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6
所以18的因數(shù)有：
表示方法：
1.列舉法︰ 12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12
2.用集合表示︰
練習1：30的因數(shù)有哪些？36呢？
30的因數(shù)有：
36的因數(shù)有：
觀察：18的最小因數(shù)是（ ），的因數(shù)是（ ）
30的最小因數(shù)是（ ），的因數(shù)是 ）
36的最小因數(shù)是（ ），的因數(shù)是（ ）
一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，一個數(shù)的最小因數(shù)是（ ），因數(shù)是（ ）
你要知道：
（1）1的因數(shù)只有1，的因數(shù)和最小的因數(shù)都是它本身。
（2）除1以外的整數(shù)，至少有兩個因數(shù)。
（3）任何自然數(shù)都有因數(shù)1。
練習2、把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合圈中。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
15 16 18 20 24 30 36 6
36的因數(shù) 60的因數(shù)
知識點二：倍數(shù)
問題二：2的倍數(shù)有哪些？
2的倍數(shù)有：2，4，6，8 …
例1、 小蝸牛找倍數(shù)（找出3的倍數(shù)）。
練習3、5的倍數(shù)有哪些？7的倍數(shù)呢？
5的倍數(shù)：
7的倍數(shù)：
一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是（ ），一個數(shù)的最小的倍數(shù)是（ ），（ ）的倍數(shù)。
用字母表示因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系：a x b = c (a、b、c都是不為0的整數(shù)）a、b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。
說一說：在0、3、4、7、15、16、77、31、62中擇兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？
1、根據(jù)算式：4×8＝32
說一說，誰是誰的因數(shù)？誰是的倍數(shù)？
2、根據(jù)算式：63÷7＝9
說一說，誰是誰的因數(shù)？誰是的倍數(shù)？
3、判斷：1.2÷0.2＝6我們能說0.2和6是1.2的因數(shù)；1.2是0.2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)嗎？為什么？
小試牛刀
1. 填空：
（1）3×7=21，（ ）和（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）和（ ）的倍數(shù)。
（2）72的因數(shù)是（ ），最小倍數(shù)是（ ），最小因數(shù)是（ ）。
（3）一個數(shù)（0除外），它的因數(shù)和最小倍數(shù)都是（ ）。
2.判斷：
（1）6是因數(shù)，30是倍數(shù)。 （ ）
（2）因為8÷0.8=10，所以8是0.8和10的倍數(shù)，0.8和10是8的因數(shù)。 （ ）
（3）一個數(shù)的因數(shù)一定小于這個數(shù)。 （ ）
（4）甲數(shù)比乙數(shù)大，甲因數(shù)的個數(shù)比乙數(shù)多。（）
3、寫出各數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)。
因數(shù) 倍數(shù)（寫出5個）
10 4
17 7
28 10
32 12
48 15
知識點三：質(zhì)數(shù)和合數(shù)
1、自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類.
（1）質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）：只有1和它本身兩個因數(shù)。
（2）合數(shù)：除了1和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。
（3）1： 只有1個因數(shù)?！?”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
注： ① 最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，連續(xù)的兩個質(zhì)數(shù)是2、3。
② 每個合數(shù)都可以由幾個質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。
③ 20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個（ ）
④ 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個：（ ）
關(guān)系： 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 質(zhì)數(shù)×質(zhì)數(shù)=合數(shù)
3、常見、最小
A的最小因數(shù)是：1； 最小的奇數(shù)是：1；
A的因數(shù)是：本身； 最小的偶數(shù)是：0；
A的最小倍數(shù)是：本身； 最小的質(zhì)數(shù)是：2；
最小的自然數(shù)是：0； 最小的合數(shù)是：4；
4、分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)分解成多個質(zhì)數(shù)相乘的形式。樹狀圖
例：
分析：先把36寫成兩個因數(shù)相乘的形式，如果兩個因數(shù)都是質(zhì)數(shù)就不再進行分解了；如果兩個因數(shù)中海油合數(shù)，那我們繼續(xù)分解，一直分解到全部因數(shù)都是質(zhì)數(shù)為止。把36分解質(zhì)因數(shù)是：36=2×2×3×3
5、用短除法分解質(zhì)因數(shù) （一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式）。例：
分析：看上面兩個例子，分別是用短除法對18,30分解質(zhì)因數(shù)，左邊的數(shù)字表示“商”，豎折下面的表示余數(shù)，要注意步驟。具體步驟是：
6、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
兩個質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：5和7
兩個合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：8和9
一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7和8
7、兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：
⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì)；
⑵相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)；
⑶兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì)；
⑸質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；
三、經(jīng)驗之談：
書寫分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果時不能把質(zhì)因數(shù)相乘寫在等號左邊，把合數(shù)寫在右邊，比如36=2×2×3×3就不能寫成2×2×3×3=36；
短除法是除法一種簡化，利用短除法分解質(zhì)因數(shù)時，除數(shù)和商都不能是1，因為1不是質(zhì)數(shù)
小試牛刀
一、填空。
1、最小的自然數(shù)是（ ），最小的質(zhì)數(shù)是（ ），最小的合數(shù)是（ ），最小的奇數(shù)是（ ）。
2、20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有（ ），20以內(nèi)的偶數(shù)有（ ），20以內(nèi)的奇數(shù)有（ ）。
3、20以內(nèi)的數(shù)中不是偶數(shù)的合數(shù)有（ ），不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)有（ ）。
4、三個連續(xù)奇數(shù)的和是87，這三個連續(xù)的奇數(shù)分別是（ ）、（ ）、（ ）。
二、判斷題，對的在括號里寫“√”，錯的寫“×”。
（1）任何一個自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（ ）（2）偶數(shù)都是合數(shù)，奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。（ ）
（3）7的倍數(shù)都是合數(shù)。（ ）
（4）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)乘以10以內(nèi)的奇數(shù)，積是171。（ ）
（5）只有兩個約數(shù)的數(shù)，一定是質(zhì)數(shù)。（ ）
（6）兩個質(zhì)數(shù)的積，一定是質(zhì)數(shù)。（ ）
（7）2是偶數(shù)也是合數(shù)。（ ）
（8）1是最小的自然數(shù)，也是最小的質(zhì)數(shù)。（ ）（9）除2以外，所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（ ）（10）最小的自然數(shù)，最小的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)的和是7。（ ）
（11）1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（ ）
（12）個位上是3的數(shù)一定是3的倍數(shù)。（ ）（13）所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（ ）
（14）所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（ ）
（15）兩個數(shù)相乘的積一定是合數(shù)。 （ ）
三、下面的數(shù)中，哪些是合數(shù)，哪些是質(zhì)數(shù)。
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合數(shù)有：
質(zhì)數(shù)有：
四、 寫出兩個都是質(zhì)數(shù)的連續(xù)自然數(shù) 。
五、寫出兩個既是奇數(shù)，又是合數(shù)的數(shù) 。
六、在（ ）內(nèi)填入適當?shù)馁|(zhì)數(shù)。
10＝（ ）×（ ）
20＝（ ）×（ ）×（ ）
8＝（ ）×（ ）×（ ）
七、兩個質(zhì)數(shù)的和是18，積是65，這兩個質(zhì)數(shù)分別是多少？
八、 一個兩位質(zhì)數(shù)，交換個位與十位上的數(shù)字，所得的兩位數(shù)仍是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)是（ ）。
九、用10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成一個三位數(shù)，使它能同時被3、5整除，這個數(shù)最小是（ ），是（ ）。