1.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2+c2-a2=bc.
(1)求角A的大小;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+2cos2，a=2，f(B)=+1，求b.
解 (1)在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，
由余弦定理可得cos A===，
∵0E(δ)，所以方案乙化驗(yàn)次數(shù)的均值較小，可以盡快查找到感染冷庫(kù).
5.已知橢圓+=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓方程;
(2)若C，D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左，右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)P，證明：·為定值;
(3)在(2)的條件下，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP，MQ的交點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)解 ∵a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，
∴橢圓方程為+=1.
(2)證明 C(-2,0)，D(2,0)，設(shè)M(2，y0)，P(x1，y1)，
則=(x1，y1)，=(2，y0)，
直線CM：=，即y=x+y0，
代入橢圓x2+2y2=4得，
(1+)x2+yx+y-4=0.
∵x1·(-2)=，
∴x1=-，∴y1=，
∴=(-，)，
∴·=-+==4(定值).
(3)解 設(shè)存在Q(m,0)滿足條件，則MQ⊥DP，
=(m-2，-y0)，=(-，)，
則由·=0，得-(m-2)-=0.
從而得m=0，∴存在Q(0,0)滿足條件.
6.已知函數(shù)f(x)=(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，h(x)=1-x-xln x.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程;
(2)求h(x)的值;
(3)設(shè)g(x)=xf′(x)，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù). 證明：對(duì)任意x>0，g(x)<1+e-2.
(1)解 由f(x)=，得f(1)=，
f′(x)=，
所以k=f′(1)=0，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y=.
(2)解 因?yàn)閔(x)=1-x-xln x(x>0).
所以h′(x)=-ln x-2.令h′(x)=0得，x=e-2.
因此當(dāng)x∈(0，e-2)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(e-2，+∞)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減.
所以h(x)在x=e-2處取得極大值，也是值.
h(x)的值為h(e-2)=1+e-2.
(3)證明 因?yàn)間(x)=xf′(x)，
所以g(x)=(x>0)，
g(x)<1+e-2等價(jià)于1-x-xln x0時(shí)，ex>1成立，這顯然成立.
所以1-x-xln x≤1+e-20，g(x)<1+e-2.
(1)求角A的大小;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+2cos2，a=2，f(B)=+1，求b.
解 (1)在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，
由余弦定理可得cos A===，
∵0E(δ)，所以方案乙化驗(yàn)次數(shù)的均值較小，可以盡快查找到感染冷庫(kù).
5.已知橢圓+=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓方程;
(2)若C，D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左，右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)P，證明：·為定值;
(3)在(2)的條件下，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP，MQ的交點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)解 ∵a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，
∴橢圓方程為+=1.
(2)證明 C(-2,0)，D(2,0)，設(shè)M(2，y0)，P(x1，y1)，
則=(x1，y1)，=(2，y0)，
直線CM：=，即y=x+y0，
代入橢圓x2+2y2=4得，
(1+)x2+yx+y-4=0.
∵x1·(-2)=，
∴x1=-，∴y1=，
∴=(-，)，
∴·=-+==4(定值).
(3)解 設(shè)存在Q(m,0)滿足條件，則MQ⊥DP，
=(m-2，-y0)，=(-，)，
則由·=0，得-(m-2)-=0.
從而得m=0，∴存在Q(0,0)滿足條件.
6.已知函數(shù)f(x)=(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，h(x)=1-x-xln x.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程;
(2)求h(x)的值;
(3)設(shè)g(x)=xf′(x)，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù). 證明：對(duì)任意x>0，g(x)<1+e-2.
(1)解 由f(x)=，得f(1)=，
f′(x)=，
所以k=f′(1)=0，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y=.
(2)解 因?yàn)閔(x)=1-x-xln x(x>0).
所以h′(x)=-ln x-2.令h′(x)=0得，x=e-2.
因此當(dāng)x∈(0，e-2)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(e-2，+∞)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減.
所以h(x)在x=e-2處取得極大值，也是值.
h(x)的值為h(e-2)=1+e-2.
(3)證明 因?yàn)間(x)=xf′(x)，
所以g(x)=(x>0)，
g(x)<1+e-2等價(jià)于1-x-xln x0時(shí)，ex>1成立，這顯然成立.
所以1-x-xln x≤1+e-20，g(x)<1+e-2.