1.已知m，n為直線，α，β為平面，給出下列命題：
①若m⊥α，m⊥n，則n∥α;
②若m⊥β，n⊥β，則m∥n;
③若m⊥α，m⊥β，則α∥β;
④若mα，nβ，α∥β，則n∥m;
⑤若α⊥β，α∩β=m，nα，m⊥n，則n⊥β.
其中正確的命題是________.(填寫所有正確命題的序號(hào))
答案?、冖邰?BR> 解析 命題①，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故不正確;命題②，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確;命題③，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確;命題④，若mα，nβ，α∥β，則n∥m或m、n異面，所以不正確;命題⑤是面面垂直的性質(zhì)定理，所以是正確命題.故答案為②③⑤.
2.在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)，B(10，-1,6)，C(x，4,3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為________.
答案 2
解析 由題意得=(6，-2，-3)，=(x-4,3，-6)，
·=(6，-2，-3)·(x-4,3，-6)
=6(x-4)-6+18=0，
解得x=2.
3.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為________.
答案 60°
解析 由中點(diǎn)M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC=60°，所以異面直線AC和MN所成的角為60°.
4.在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，則該三棱錐的體積為________.
答案
解析 如圖，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，
∴SC⊥平面SAB，
在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=.
在△SAB中，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD，則SD⊥AB，且BD=，
∴SD= =，∴V=××3××=.
5.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是________.
①若m∥α，n∥α，則m∥n;
②若m⊥α，nα，則m⊥n;
③若m⊥α，m⊥n，則n∥α;
④若m∥α，m⊥n，則n⊥α.
答案?、?BR> 6.已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB=1，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于________.
答案
解析 由題意得三棱柱底面為正三角形，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為h，則h··12=h=4，因?yàn)榍蛐臑樯舷碌酌嬷行倪B線的中點(diǎn)，所以R2=22+()2=，因此球的表面積等于4πR2=4π·=π.
7.已知長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面AB′D′平行的有________條.
答案 6
解析 如圖，連結(jié)EG，EH，F(xiàn)G，∵EH綊FG，
∴EFGH四點(diǎn)共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH=E，AB′∩AD′=A，可得平面EFGH與平面AB′D′平行，∴符合條件的共有6條.
8.(2016·蘭州高三實(shí)戰(zhàn)模擬)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β;②AC與α，β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.
其中能成為增加條件的序號(hào)是________.
答案?、佗?BR> 解析 由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面.
①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EFα，
∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確;
②中，由①可知，若BD⊥EF成立，
則有EF⊥平面ABCD，則有EF⊥AC成立，
而AC與α，β所成角相等是無法得到EF⊥AC的，故②錯(cuò)誤;
③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，
可知EF⊥AC，由①可知③正確;
④中，仿照②的分析過程可知④錯(cuò)誤，
故填①③.
9.如圖，ABCD—A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論中：
①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④異面直線AD與CB1所成角為60°.
錯(cuò)誤的有________.(把你認(rèn)為錯(cuò)誤的序號(hào)全部寫上)
答案?、?BR> 解析?、貰D∥B1D1，利用線面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1;
②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD;
③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1;
④異面直線AD與CB1所成角為45°，錯(cuò)誤.
10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任取一點(diǎn)M，則·≥1的概率p=________.
答案
解析 可解得||cos θ≥，也即在上的投影大于或等于.由幾何概型的求法知，p==.
11.如圖所示，在邊長(zhǎng)為5+的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的全面積S=________.
答案 10π
解析 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，由已知條件得
解得r=，l=4，S=πrl+πr2=10π.
12.在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=.
(1)求證：BD⊥PC;
(2)求證：MN∥平面PDC;
(3)求二面角A—PC—B的余弦值.
(1)證明 因?yàn)椤鰽BC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
又PC平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)證明 在正三角形ABC中，BM=2，
在△ACD中，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，
所以AD=CD，又∠CDA=120°，所以DM=，
所以BM∶MD=3∶1，在等腰直角三角形PAB中，
PA=AB=4，PB=4，所以BN∶NP=3∶1，
BN∶NP=BM∶MD，所以MN∥PD，
又MN平面PDC，PD平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
(3)解 因?yàn)椤螧AD=∠BAC+∠CAD=90°，
所以AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以B(4,0,0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0,0,4).
由(1)可知，=(4，-，0)為平面PAC的一個(gè)法向量，
=(2,2，-4)，=(4,0，-4)，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，
則 即
令z=3，則平面PBC的一個(gè)法向量為n=(3，，3)，
設(shè)二面角A—PC—B的大小為θ，
則cos θ==.
所以二面角A—PC—B的余弦值為.
①若m⊥α，m⊥n，則n∥α;
②若m⊥β，n⊥β，則m∥n;
③若m⊥α，m⊥β，則α∥β;
④若mα，nβ，α∥β，則n∥m;
⑤若α⊥β，α∩β=m，nα，m⊥n，則n⊥β.
其中正確的命題是________.(填寫所有正確命題的序號(hào))
答案?、冖邰?BR> 解析 命題①，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故不正確;命題②，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確;命題③，由線面垂直的性質(zhì)定理易知正確;命題④，若mα，nβ，α∥β，則n∥m或m、n異面，所以不正確;命題⑤是面面垂直的性質(zhì)定理，所以是正確命題.故答案為②③⑤.
2.在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)，B(10，-1,6)，C(x，4,3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為________.
答案 2
解析 由題意得=(6，-2，-3)，=(x-4,3，-6)，
·=(6，-2，-3)·(x-4,3，-6)
=6(x-4)-6+18=0，
解得x=2.
3.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為________.
答案 60°
解析 由中點(diǎn)M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC=60°，所以異面直線AC和MN所成的角為60°.
4.在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，則該三棱錐的體積為________.
答案
解析 如圖，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，
∴SC⊥平面SAB，
在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=.
在△SAB中，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD，則SD⊥AB，且BD=，
∴SD= =，∴V=××3××=.
5.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是________.
①若m∥α，n∥α，則m∥n;
②若m⊥α，nα，則m⊥n;
③若m⊥α，m⊥n，則n∥α;
④若m∥α，m⊥n，則n⊥α.
答案?、?BR> 6.已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB=1，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于________.
答案
解析 由題意得三棱柱底面為正三角形，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為h，則h··12=h=4，因?yàn)榍蛐臑樯舷碌酌嬷行倪B線的中點(diǎn)，所以R2=22+()2=，因此球的表面積等于4πR2=4π·=π.
7.已知長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面AB′D′平行的有________條.
答案 6
解析 如圖，連結(jié)EG，EH，F(xiàn)G，∵EH綊FG，
∴EFGH四點(diǎn)共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH=E，AB′∩AD′=A，可得平面EFGH與平面AB′D′平行，∴符合條件的共有6條.
8.(2016·蘭州高三實(shí)戰(zhàn)模擬)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β;②AC與α，β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.
其中能成為增加條件的序號(hào)是________.
答案?、佗?BR> 解析 由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面.
①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EFα，
∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確;
②中，由①可知，若BD⊥EF成立，
則有EF⊥平面ABCD，則有EF⊥AC成立，
而AC與α，β所成角相等是無法得到EF⊥AC的，故②錯(cuò)誤;
③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，
可知EF⊥AC，由①可知③正確;
④中，仿照②的分析過程可知④錯(cuò)誤，
故填①③.
9.如圖，ABCD—A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論中：
①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④異面直線AD與CB1所成角為60°.
錯(cuò)誤的有________.(把你認(rèn)為錯(cuò)誤的序號(hào)全部寫上)
答案?、?BR> 解析?、貰D∥B1D1，利用線面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1;
②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD;
③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1;
④異面直線AD與CB1所成角為45°，錯(cuò)誤.
10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任取一點(diǎn)M，則·≥1的概率p=________.
答案
解析 可解得||cos θ≥，也即在上的投影大于或等于.由幾何概型的求法知，p==.
11.如圖所示，在邊長(zhǎng)為5+的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的全面積S=________.
答案 10π
解析 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，由已知條件得
解得r=，l=4，S=πrl+πr2=10π.
12.在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=.
(1)求證：BD⊥PC;
(2)求證：MN∥平面PDC;
(3)求二面角A—PC—B的余弦值.
(1)證明 因?yàn)椤鰽BC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
又PC平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)證明 在正三角形ABC中，BM=2，
在△ACD中，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，
所以AD=CD，又∠CDA=120°，所以DM=，
所以BM∶MD=3∶1，在等腰直角三角形PAB中，
PA=AB=4，PB=4，所以BN∶NP=3∶1，
BN∶NP=BM∶MD，所以MN∥PD，
又MN平面PDC，PD平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
(3)解 因?yàn)椤螧AD=∠BAC+∠CAD=90°，
所以AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以B(4,0,0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0,0,4).
由(1)可知，=(4，-，0)為平面PAC的一個(gè)法向量，
=(2,2，-4)，=(4,0，-4)，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，
則 即
令z=3，則平面PBC的一個(gè)法向量為n=(3，，3)，
設(shè)二面角A—PC—B的大小為θ，
則cos θ==.
所以二面角A—PC—B的余弦值為.