1.在等比數(shù)列{an}中，若a1=，a4=3，則該數(shù)列前五項(xiàng)的積為( )
A.±3B.3
C.±1D.1
答案 D
解析 因?yàn)閍4=a1q3,3=×q3，q=3，
所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=(×9)5=1，故選D.
2.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a2為( )
A.-2B.-3
C.2D.3
答案 D
解析 a1=a2-2，a5=a2+6，
∴a=a1a5=(a2-2)(a2+6)，解得a2=3，故選D.
3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若=，則等于( )
A.2B.C.D.
答案 C
解析 當(dāng)n=3時，==，
∴=.故選C.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2)an+sin2，則該數(shù)列的前12項(xiàng)和為( )
A.211B.212
C.126D.147
答案 D
解析 ∵a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2)an+sin2，
∴a3=a1+1=2，a4=2a2=4，…，a2k-1=a2k-3+1，a2k=2a2k-2 (k∈N*，k≥2).
∴數(shù)列{a2k-1}成等差數(shù)列，數(shù)列{a2k}成等比數(shù)列.
∴該數(shù)列的前12項(xiàng)和為(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=(1+2+…+6)+(2+22+…+26)=+=21+27-2=147.故選D.
5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a7+a12=24，則S13等于( )
A.52B.78
C.104D.208
答案 C
解析 由a2+a7+a12=24，得a7=8，
所以，S13==13a7=104，故選C.
6.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中的a1，a4031是函數(shù)f(x)=x3-4x2+6x-3的極值點(diǎn)，則loga2016等于( )
A.1B.2
C.D.-1
答案 A
解析 ∵f′(x)=x2-8x+6，∴a1·a4031=6，
∴a=6，∵a2016>0，
∴a2016=，loga2016=1.
7.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=(an-1)(n∈N*)，則an等于( )
A.3(3n-2n) B.3n+2
C.3nD.3·2n-1
答案 C
解析 由已知得，
解得
代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有C符合.
8.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為( )
A.1升B.升
C.升D.升
答案 B
解析 設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：a1，a2，…，a9，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：a1+a2+a3+a4=3，
a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3，①3a1+21d=4，②
②×4-①×3得：66d=7，解得d=，
代入①得：a1=，則a5=+(5-1)×=.
9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1·an=2n (n∈N*)，則S2015等于( )
A.22015-1B.21009-3
C.3×21007-3D.21008-3
答案 B
解析 ∵a1=1，an+1·an=2n，∴a2=2，
∴當(dāng)n≥2時，an·an-1=2n-1，
∴==2，
∴數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，
∴S2015=+=21009-3，故選B.
10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log2 (n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<-5成立的自然數(shù)n( )
A.有最小值63B.有值63
C.有最小值31D.有值31
答案 A
解析 ∵an=log2(n∈N*)，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=log2+log2+…+log2
=log2(××…×)=log2，
又因?yàn)镾n<-5=log2<⇒n>62，
故使Sn<-5成立的正整數(shù)n有最小值63.故選A.
A.±3B.3
C.±1D.1
答案 D
解析 因?yàn)閍4=a1q3,3=×q3，q=3，
所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=(×9)5=1，故選D.
2.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a2為( )
A.-2B.-3
C.2D.3
答案 D
解析 a1=a2-2，a5=a2+6，
∴a=a1a5=(a2-2)(a2+6)，解得a2=3，故選D.
3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若=，則等于( )
A.2B.C.D.
答案 C
解析 當(dāng)n=3時，==，
∴=.故選C.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2)an+sin2，則該數(shù)列的前12項(xiàng)和為( )
A.211B.212
C.126D.147
答案 D
解析 ∵a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2)an+sin2，
∴a3=a1+1=2，a4=2a2=4，…，a2k-1=a2k-3+1，a2k=2a2k-2 (k∈N*，k≥2).
∴數(shù)列{a2k-1}成等差數(shù)列，數(shù)列{a2k}成等比數(shù)列.
∴該數(shù)列的前12項(xiàng)和為(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=(1+2+…+6)+(2+22+…+26)=+=21+27-2=147.故選D.
5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a7+a12=24，則S13等于( )
A.52B.78
C.104D.208
答案 C
解析 由a2+a7+a12=24，得a7=8，
所以，S13==13a7=104，故選C.
6.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中的a1，a4031是函數(shù)f(x)=x3-4x2+6x-3的極值點(diǎn)，則loga2016等于( )
A.1B.2
C.D.-1
答案 A
解析 ∵f′(x)=x2-8x+6，∴a1·a4031=6，
∴a=6，∵a2016>0，
∴a2016=，loga2016=1.
7.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=(an-1)(n∈N*)，則an等于( )
A.3(3n-2n) B.3n+2
C.3nD.3·2n-1
答案 C
解析 由已知得，
解得
代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有C符合.
8.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為( )
A.1升B.升
C.升D.升
答案 B
解析 設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：a1，a2，…，a9，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：a1+a2+a3+a4=3，
a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3，①3a1+21d=4，②
②×4-①×3得：66d=7，解得d=，
代入①得：a1=，則a5=+(5-1)×=.
9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1·an=2n (n∈N*)，則S2015等于( )
A.22015-1B.21009-3
C.3×21007-3D.21008-3
答案 B
解析 ∵a1=1，an+1·an=2n，∴a2=2，
∴當(dāng)n≥2時，an·an-1=2n-1，
∴==2，
∴數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，
∴S2015=+=21009-3，故選B.
10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log2 (n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<-5成立的自然數(shù)n( )
A.有最小值63B.有值63
C.有最小值31D.有值31
答案 A
解析 ∵an=log2(n∈N*)，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=log2+log2+…+log2
=log2(××…×)=log2，
又因?yàn)镾n<-5=log2<⇒n>62，
故使Sn<-5成立的正整數(shù)n有最小值63.故選A.