1.已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題：
(1)α∥βl⊥m;(2)α⊥βl∥m;(3)l∥mα⊥β;(4)l⊥mα∥β.
其中正確的命題是( )
A.(1)與(2) B.(1)與(3)
C.(2)與(4) D.(3)與(4)
答案 B
解析 ∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m平面β，∴l(xiāng)⊥m，故(1)正確;∵直線l⊥平面α，α⊥β，
∴l(xiāng)∥平面β，或l平面β，又∵直線m平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故(2)錯誤;∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m平面β，∴α⊥β，故(3)正確;∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或mα，又∵直線m平面β，則α與β可能平行也可能相交，故(4)錯誤.故選B.
2.已知如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1，點P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正(主)視圖的是( )
答案 A
解析 當P、B1重合時，正(主)視圖為選項B;當P到B點的距離比到B1近時，正(主)視圖為選項C;當P到B點的距離比到B1遠時，正(主)視圖為選項D，因此答案為A.
3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C.4D.
答案 B
解析 由三視圖知幾何體為四棱錐，四棱錐的右邊側面與底面垂直，其直觀圖如圖.
四棱錐的底面是邊長為2的正方形，由側(左)視圖中等腰三角形的腰長為，得棱錐的高為=2，∴幾何體的體積V=×22×2=.故選B.
4.設a，b，l均為直線，α，β均為平面，則下列命題判斷錯誤的是( )
A.若l∥α，則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l平行
B.若α⊥β，則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與β不垂直
C.若α∥β，則α內(nèi)存在直線m，β內(nèi)存在直線n，使得m⊥n
D.若a⊥l，b⊥l，則a與b不可能垂直
答案 D
解析 由直線與平面平行的性質(zhì)可知A正確;當α⊥β時，平面α內(nèi)與兩平面的交線不垂直的直線均與平面β不垂直，故B正確;由兩平面平行的性質(zhì)可知，C正確;當a⊥l，b⊥l時，a⊥b可以成立，例如長方體一個頂點上的三條直線就滿足此條件，所以D錯，故選D.
5.如圖，ABCD—A1B1C1D1是邊長為1的正方體，S—ABCD是高為1的正四棱錐，若點S，A1，B1，C1，D1在同一球面上，則該球的表面積為( )
A.πB.π
C.π D.π
答案 D
解析 按如圖所示作輔助線，點O為球心，設OG1=x，則OB1=SO=2-x，同時由正方體的性質(zhì)知B1G1=，則在Rt△OB1G1中，OB=OG+G1B，即(2-x)2=x2+()2，解得x=，所以球的半徑R=OB1=，所以球的表面積為S=4πR2=π，故選D.
6.如圖，已知平面α∩平面β=l，α⊥β.點A、B是直線l上的兩點，點C、D是平面β內(nèi)的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8.點P是平面α上的一動點，且有∠APD=∠BPC，則四棱錐P—ABCD的體積的值是( )
A.48B.16C.24D.144
答案 A
解析 由題意知：△PAD，△PBC是直角三角形，
又∠APD=∠BPC，所以△PAD∽△PBC.
因為DA=4，CB=8，所以PB=2PA.
作PM⊥AB于點M，則PM⊥β.
令AM=t，則PA2-t2=4PA2-(6-t)2，
所以PA2=12-4t，
所以PM=，
即為四棱錐的高.
又底面為直角梯形，S=(4+8)×6=36，
所以V=×36×
=12≤12×4=48.
7.如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( )
A.57+24π B.57+15π
C.48+15πD.48+24π
答案 D
解析 本題為圓錐與直四棱柱的組合體.注意表面積分為三部分，圓錐側面展開圖，即扇形面積5×=15π;圓錐底面圓，S=πr2=9π;直四棱柱側面積，3×4×4=48，總面積為48+24π.
8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=，則下列結論中錯誤的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A—BEF的體積為定值
D.△AEF的面積與△BEF的面積相等
答案 D
解析 連接BD，則AC⊥BD，BB1⊥AC，
所以AC⊥平面BDD1B1，則AC⊥BE，故A正確;
因為B1D1∥平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正確;因為三棱錐A—BEF的底面是底邊為EF=，高為棱長BB1=1的△BEF，面積為，三棱錐的高為，所以三棱錐A—BEF的體積是定值，故C正確;顯然△AEF與△BEF有相同的底邊，但B到EF的距離與A到EF的距離不相等，即兩三角形的面積不相等，故D錯誤.故選D.
9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β
B.若m∥n，m⊂α，nβ，則α∥β
C.若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β
D.若m∥n，m∥α，則n∥α
答案 C
解析 由m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，知：
若α⊥γ，α⊥β，則γ與β相交或平行，故A錯誤;
若m∥n，mα，nβ，則α與β相交或平行，故B錯誤;
若m∥n，m⊥α，n⊥β，則由線面垂直的性質(zhì)定理得α∥β，故C正確;
若m∥n，m∥α，則n∥α或nα，故D錯誤.故選C.
10.如圖，已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱長均為2，∠A1AD=60°，∠BAD=90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( )
A.B.
C. D.
答案 C
解析 延長AD，過D1作D1E⊥AD于點E，連接BE.
因為平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，D1E平面A1ADD1，所以D1E⊥平面ABCD，即BE為D1B在平面ABCD內(nèi)的射影，所以∠D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，因為D1E=2sin60°=，BE==，所以tan∠D1BE===.故選C.
(1)α∥βl⊥m;(2)α⊥βl∥m;(3)l∥mα⊥β;(4)l⊥mα∥β.
其中正確的命題是( )
A.(1)與(2) B.(1)與(3)
C.(2)與(4) D.(3)與(4)
答案 B
解析 ∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m平面β，∴l(xiāng)⊥m，故(1)正確;∵直線l⊥平面α，α⊥β，
∴l(xiāng)∥平面β，或l平面β，又∵直線m平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故(2)錯誤;∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m平面β，∴α⊥β，故(3)正確;∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或mα，又∵直線m平面β，則α與β可能平行也可能相交，故(4)錯誤.故選B.
2.已知如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1，點P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正(主)視圖的是( )
答案 A
解析 當P、B1重合時，正(主)視圖為選項B;當P到B點的距離比到B1近時，正(主)視圖為選項C;當P到B點的距離比到B1遠時，正(主)視圖為選項D，因此答案為A.
3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C.4D.
答案 B
解析 由三視圖知幾何體為四棱錐，四棱錐的右邊側面與底面垂直，其直觀圖如圖.
四棱錐的底面是邊長為2的正方形，由側(左)視圖中等腰三角形的腰長為，得棱錐的高為=2，∴幾何體的體積V=×22×2=.故選B.
4.設a，b，l均為直線，α，β均為平面，則下列命題判斷錯誤的是( )
A.若l∥α，則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l平行
B.若α⊥β，則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與β不垂直
C.若α∥β，則α內(nèi)存在直線m，β內(nèi)存在直線n，使得m⊥n
D.若a⊥l，b⊥l，則a與b不可能垂直
答案 D
解析 由直線與平面平行的性質(zhì)可知A正確;當α⊥β時，平面α內(nèi)與兩平面的交線不垂直的直線均與平面β不垂直，故B正確;由兩平面平行的性質(zhì)可知，C正確;當a⊥l，b⊥l時，a⊥b可以成立，例如長方體一個頂點上的三條直線就滿足此條件，所以D錯，故選D.
5.如圖，ABCD—A1B1C1D1是邊長為1的正方體，S—ABCD是高為1的正四棱錐，若點S，A1，B1，C1，D1在同一球面上，則該球的表面積為( )
A.πB.π
C.π D.π
答案 D
解析 按如圖所示作輔助線，點O為球心，設OG1=x，則OB1=SO=2-x，同時由正方體的性質(zhì)知B1G1=，則在Rt△OB1G1中，OB=OG+G1B，即(2-x)2=x2+()2，解得x=，所以球的半徑R=OB1=，所以球的表面積為S=4πR2=π，故選D.
6.如圖，已知平面α∩平面β=l，α⊥β.點A、B是直線l上的兩點，點C、D是平面β內(nèi)的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8.點P是平面α上的一動點，且有∠APD=∠BPC，則四棱錐P—ABCD的體積的值是( )
A.48B.16C.24D.144
答案 A
解析 由題意知：△PAD，△PBC是直角三角形，
又∠APD=∠BPC，所以△PAD∽△PBC.
因為DA=4，CB=8，所以PB=2PA.
作PM⊥AB于點M，則PM⊥β.
令AM=t，則PA2-t2=4PA2-(6-t)2，
所以PA2=12-4t，
所以PM=，
即為四棱錐的高.
又底面為直角梯形，S=(4+8)×6=36，
所以V=×36×
=12≤12×4=48.
7.如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( )
A.57+24π B.57+15π
C.48+15πD.48+24π
答案 D
解析 本題為圓錐與直四棱柱的組合體.注意表面積分為三部分，圓錐側面展開圖，即扇形面積5×=15π;圓錐底面圓，S=πr2=9π;直四棱柱側面積，3×4×4=48，總面積為48+24π.
8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=，則下列結論中錯誤的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A—BEF的體積為定值
D.△AEF的面積與△BEF的面積相等
答案 D
解析 連接BD，則AC⊥BD，BB1⊥AC，
所以AC⊥平面BDD1B1，則AC⊥BE，故A正確;
因為B1D1∥平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正確;因為三棱錐A—BEF的底面是底邊為EF=，高為棱長BB1=1的△BEF，面積為，三棱錐的高為，所以三棱錐A—BEF的體積是定值，故C正確;顯然△AEF與△BEF有相同的底邊，但B到EF的距離與A到EF的距離不相等，即兩三角形的面積不相等，故D錯誤.故選D.
9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β
B.若m∥n，m⊂α，nβ，則α∥β
C.若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β
D.若m∥n，m∥α，則n∥α
答案 C
解析 由m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，知：
若α⊥γ，α⊥β，則γ與β相交或平行，故A錯誤;
若m∥n，mα，nβ，則α與β相交或平行，故B錯誤;
若m∥n，m⊥α，n⊥β，則由線面垂直的性質(zhì)定理得α∥β，故C正確;
若m∥n，m∥α，則n∥α或nα，故D錯誤.故選C.
10.如圖，已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱長均為2，∠A1AD=60°，∠BAD=90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為( )
A.B.
C. D.
答案 C
解析 延長AD，過D1作D1E⊥AD于點E，連接BE.
因為平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，D1E平面A1ADD1，所以D1E⊥平面ABCD，即BE為D1B在平面ABCD內(nèi)的射影，所以∠D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，因為D1E=2sin60°=，BE==，所以tan∠D1BE===.故選C.