一、選擇題( 共 12 題 ,共 48 分)
1、如圖 所示，在河岸 ac 一側(cè)測量河的寬度，測量以下四組數(shù)據(jù)，較適宜的是( )．
a． c ， α ， γ b． c ， b ， α
c． c ， a ， β d． b ， α ， γ
2、從 a 處望 b 處的仰角為 α ，從 b 處望 a 處的俯角為 β ，則 α ， β 的關(guān)系是( )．
a． α ＞ β b． α ＝ β
c． α + β ＝90° d． α + β ＝180°
3、如圖，已知兩座燈塔 a 和 b 與海洋觀測站 c 的距離都等于 a km，燈塔 a 在觀測站 c 的北偏東20°，燈塔 b 在觀測站 c 的南偏東40°，則燈塔 a 與燈塔 b 的距離為( )．
a． a km b． km c． km d．2 a km
4、在高20 m的樓頂測得對面一塔頂?shù)难鼋?為60°，塔基的俯角為45°，則這座塔的高度為( )．
a． m b． m
c． m d． m
5、在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，則邊 b ∶ a 等于( )．
a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5
6、在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a •sin b ，則∠ c 為( )．
a．60° b．45° c．120° d．30°
7、在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，則sin a 的值為( )．
a． b． c． d．
8、△ abc 的三個內(nèi)角∠ a ，∠ b ，∠ c 所對的邊分別為 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝ ，則 ＝( )．
a． b． c． d．
9、根據(jù)下列條件，確定△ abc 有兩解的是( )．
a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120°
b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60°
c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30°
d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45°
10、在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三邊之比 a ∶ b ∶ c 等于( )．
a．1∶2∶3 b．3∶2∶1
c．1∶ ∶2 d．2∶ ∶1
11、在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，則 s △ abc ＝( )．
a． b． c． d．
12、在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的對邊分別是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝ ，sin c ＝ sin b ，則∠ a ＝( )．
a．30° b．60° c．120° d．150°
第II卷（非選擇題）
試卷第二部分共有 10 道試題。
二、填空題( 共 4 題 ,共 12 分)
1、如圖為曲柄連桿結(jié)構(gòu)示意圖，當(dāng)曲柄 OA 在 OB 位置時，連桿端點 P 在 Q 的位置，當(dāng) OA 自 OB 按順時針旋轉(zhuǎn) α 角時， P 和 Q 之間的距離為 x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，則 x 等于__________(精確到0.1 cm)．
2、一船在海面 A 處望見兩燈塔 P ， Q 在北偏西15°的一條直線上，該船沿東北方向航 行4海里到達(dá) B 處，望見燈塔 P 在正西方向，燈塔 Q 在西北方向，則兩燈塔的距離為__________．
3、在△ ABC 中， ， ， ，則 b ＝________.
4、在平行四邊形 ABCD 中， ， ，∠ BAC ＝45°，則 AD ＝________.
三、解答題( 共 6 題 ,共 51 分)
1、如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的 A ， B ， C 三點進(jìn)行測量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 處測得水深 AD ＝80 m，于 B 處測得水深 BE ＝200 m，于 C 處測得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值．
2、如圖， A ， B 兩個小島相距21海里， B 島在 A 島的正南方，現(xiàn)在甲船從 A 島出發(fā)，以9海里/時的速度向 B 島行駛，而乙船同時以6海里/時的速度離開 B 島向南偏東60°方向行駛，行駛多少時間后，兩船相距最近？并求出兩船的最近距離．
3、為了測定不能到達(dá)底部的鐵塔的高 PO ，可以有哪些方法？
4、在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ．
5、在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的對邊分別為 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ．
6、在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，試判斷△ ABC 的形狀．
∴ CE ＝ AE tan 60°＝ m，
∴ CD ＝ CE + ED ＝ m.
5、B
6、A
7、A
解析： 由余弦定理可求得 ，再由正弦定理得 .
8、D
9、D
解析： ，又 b ＞ a ，
∴∠ B 有兩解．故△ ABC 有兩解．
10、C
解析： 易知∠ A ＝ ，∠ B ＝ ，∠ C ＝ ，
∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶ ∶2.
11、C
解析： 由 得 ，∠ B ＝105°，
S △ ABC ＝ ac sin B ＝ .
12、A
解析： 利用正弦定理，sin C ＝ sin B 可化為 ．
又∵ ，
∴ ，
即 a 2 ＝7 b 2 ， ．
在△ ABC 中， ，∴∠ A ＝30°.
二、填空題
1、22.5 cm
解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP － OP ＝25+125－ ≈22.5(cm)．
2、 海里
解析： 如圖，
在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°，
∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ．
又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ，
∴兩燈塔間距離為 海里．
3、
解析： ∵ ，∴ ， S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ，即 ，∴ .
4、
解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB • AC •cos∠ BAC ＝48，
∴ ，∴ .
三、解答題
1、 解： 如圖，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M .
(m)，
(m)，
(m)．
在△ DEF 中，由余弦定理的變形形式，得
cos∠ DEF ＝
.
①當(dāng)9 t ＜21，即 時， C 在線段 AB 上，
此時 BC ＝21－9 t .
在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ，
∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC • BD •cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )•6 t • ＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.
∴當(dāng) t ＝2時， CD 取得最小值 .
②當(dāng) 時， C 與 B 重合，
則 .
③當(dāng) 時， BC ＝9 t －21，
則 CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2•(9 t －21)•6 t •cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.
綜上可知，當(dāng) t ＝2時， CD 取最小值 .
答：行駛2 h后， 甲、乙兩船相距最近為 海里．
3、 解 ： 方法一：在地面上引一條基線 AB ，這條基線和塔底在同一水平面上，且延長后不過塔底，測出 AB 的長，用經(jīng)緯儀測出角 β ， γ 和 A 對塔頂 P 的仰角 α 的大小，則可求出鐵塔 PO 的高．計算方法如下：
如圖所示，在△ ABO 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO •tan α ，
∴ .
方法二：在地面上引一條基線 AB ，這一基線與塔底在同一水平面上，且 AB 延長后不過點 O .測出 AB 的長、張角∠ AOB (設(shè)為 θ )及 A ， B 對塔頂 P 的仰角 α ， β ，則可求出鐵塔 PO 的高，計算方法如下：
如圖所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO •cot α ，
在Rt△ POB 中， BO ＝ PO •cot β ，
在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA • OB •cos θ ＝ AB 2 ，
∴ .
方法三：在地面上引一條基線 AB ，這一基線與塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三點在一條直線上，測出 AB 的長和 A ， B 對塔頂 P 的仰角 α ， β ，則可求出鐵塔 PO 的高．計算方法如下：
如圖所示，在△ PAB 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA •sin α ，
∴ .
4、 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5.
當(dāng) c ＝3時， ；
當(dāng) c ＝5時， .
5、 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c •cos A +2.由正弦定理得 ， 又由已知得 ，∴ b ＝4 c •cos A ，由 可得 b ＝4.
6、 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，
∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0.
由正弦定理，上式可化為sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，
即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，
∵sin A ≠0，sin B ≠0，
∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，
∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π，
∴∠ A ＝∠ B 或∠ A + ∠ B ＝ .
故△ ABC 為等腰三角形或直角三角形．
1、如圖 所示，在河岸 ac 一側(cè)測量河的寬度，測量以下四組數(shù)據(jù)，較適宜的是( )．
a． c ， α ， γ b． c ， b ， α
c． c ， a ， β d． b ， α ， γ
2、從 a 處望 b 處的仰角為 α ，從 b 處望 a 處的俯角為 β ，則 α ， β 的關(guān)系是( )．
a． α ＞ β b． α ＝ β
c． α + β ＝90° d． α + β ＝180°
3、如圖，已知兩座燈塔 a 和 b 與海洋觀測站 c 的距離都等于 a km，燈塔 a 在觀測站 c 的北偏東20°，燈塔 b 在觀測站 c 的南偏東40°，則燈塔 a 與燈塔 b 的距離為( )．
a． a km b． km c． km d．2 a km
4、在高20 m的樓頂測得對面一塔頂?shù)难鼋?為60°，塔基的俯角為45°，則這座塔的高度為( )．
a． m b． m
c． m d． m
5、在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，則邊 b ∶ a 等于( )．
a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5
6、在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a •sin b ，則∠ c 為( )．
a．60° b．45° c．120° d．30°
7、在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，則sin a 的值為( )．
a． b． c． d．
8、△ abc 的三個內(nèi)角∠ a ，∠ b ，∠ c 所對的邊分別為 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝ ，則 ＝( )．
a． b． c． d．
9、根據(jù)下列條件，確定△ abc 有兩解的是( )．
a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120°
b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60°
c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30°
d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45°
10、在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三邊之比 a ∶ b ∶ c 等于( )．
a．1∶2∶3 b．3∶2∶1
c．1∶ ∶2 d．2∶ ∶1
11、在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，則 s △ abc ＝( )．
a． b． c． d．
12、在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的對邊分別是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝ ，sin c ＝ sin b ，則∠ a ＝( )．
a．30° b．60° c．120° d．150°
第II卷（非選擇題）
試卷第二部分共有 10 道試題。
二、填空題( 共 4 題 ,共 12 分)
1、如圖為曲柄連桿結(jié)構(gòu)示意圖，當(dāng)曲柄 OA 在 OB 位置時，連桿端點 P 在 Q 的位置，當(dāng) OA 自 OB 按順時針旋轉(zhuǎn) α 角時， P 和 Q 之間的距離為 x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，則 x 等于__________(精確到0.1 cm)．
2、一船在海面 A 處望見兩燈塔 P ， Q 在北偏西15°的一條直線上，該船沿東北方向航 行4海里到達(dá) B 處，望見燈塔 P 在正西方向，燈塔 Q 在西北方向，則兩燈塔的距離為__________．
3、在△ ABC 中， ， ， ，則 b ＝________.
4、在平行四邊形 ABCD 中， ， ，∠ BAC ＝45°，則 AD ＝________.
三、解答題( 共 6 題 ,共 51 分)
1、如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的 A ， B ， C 三點進(jìn)行測量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 處測得水深 AD ＝80 m，于 B 處測得水深 BE ＝200 m，于 C 處測得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值．
2、如圖， A ， B 兩個小島相距21海里， B 島在 A 島的正南方，現(xiàn)在甲船從 A 島出發(fā)，以9海里/時的速度向 B 島行駛，而乙船同時以6海里/時的速度離開 B 島向南偏東60°方向行駛，行駛多少時間后，兩船相距最近？并求出兩船的最近距離．
3、為了測定不能到達(dá)底部的鐵塔的高 PO ，可以有哪些方法？
4、在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ．
5、在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的對邊分別為 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ．
6、在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，試判斷△ ABC 的形狀．
∴ CE ＝ AE tan 60°＝ m，
∴ CD ＝ CE + ED ＝ m.
5、B
6、A
7、A
解析： 由余弦定理可求得 ，再由正弦定理得 .
8、D
9、D
解析： ，又 b ＞ a ，
∴∠ B 有兩解．故△ ABC 有兩解．
10、C
解析： 易知∠ A ＝ ，∠ B ＝ ，∠ C ＝ ，
∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶ ∶2.
11、C
解析： 由 得 ，∠ B ＝105°，
S △ ABC ＝ ac sin B ＝ .
12、A
解析： 利用正弦定理，sin C ＝ sin B 可化為 ．
又∵ ，
∴ ，
即 a 2 ＝7 b 2 ， ．
在△ ABC 中， ，∴∠ A ＝30°.
二、填空題
1、22.5 cm
解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP － OP ＝25+125－ ≈22.5(cm)．
2、 海里
解析： 如圖，
在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°，
∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ．
又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ，
∴兩燈塔間距離為 海里．
3、
解析： ∵ ，∴ ， S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ，即 ，∴ .
4、
解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB • AC •cos∠ BAC ＝48，
∴ ，∴ .
三、解答題
1、 解： 如圖，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M .
(m)，
(m)，
(m)．
在△ DEF 中，由余弦定理的變形形式，得
cos∠ DEF ＝
.
①當(dāng)9 t ＜21，即 時， C 在線段 AB 上，
此時 BC ＝21－9 t .
在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ，
∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC • BD •cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )•6 t • ＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.
∴當(dāng) t ＝2時， CD 取得最小值 .
②當(dāng) 時， C 與 B 重合，
則 .
③當(dāng) 時， BC ＝9 t －21，
則 CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2•(9 t －21)•6 t •cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.
綜上可知，當(dāng) t ＝2時， CD 取最小值 .
答：行駛2 h后， 甲、乙兩船相距最近為 海里．
3、 解 ： 方法一：在地面上引一條基線 AB ，這條基線和塔底在同一水平面上，且延長后不過塔底，測出 AB 的長，用經(jīng)緯儀測出角 β ， γ 和 A 對塔頂 P 的仰角 α 的大小，則可求出鐵塔 PO 的高．計算方法如下：
如圖所示，在△ ABO 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO •tan α ，
∴ .
方法二：在地面上引一條基線 AB ，這一基線與塔底在同一水平面上，且 AB 延長后不過點 O .測出 AB 的長、張角∠ AOB (設(shè)為 θ )及 A ， B 對塔頂 P 的仰角 α ， β ，則可求出鐵塔 PO 的高，計算方法如下：
如圖所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO •cot α ，
在Rt△ POB 中， BO ＝ PO •cot β ，
在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA • OB •cos θ ＝ AB 2 ，
∴ .
方法三：在地面上引一條基線 AB ，這一基線與塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三點在一條直線上，測出 AB 的長和 A ， B 對塔頂 P 的仰角 α ， β ，則可求出鐵塔 PO 的高．計算方法如下：
如圖所示，在△ PAB 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA •sin α ，
∴ .
4、 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5.
當(dāng) c ＝3時， ；
當(dāng) c ＝5時， .
5、 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c •cos A +2.由正弦定理得 ， 又由已知得 ，∴ b ＝4 c •cos A ，由 可得 b ＝4.
6、 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，
∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0.
由正弦定理，上式可化為sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，
即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，
∵sin A ≠0，sin B ≠0，
∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，
∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π，
∴∠ A ＝∠ B 或∠ A + ∠ B ＝ .
故△ ABC 為等腰三角形或直角三角形．