第20章 平行四邊形的判定
§20.1平行四邊形的判定(一)
一、選擇題. 1.D 2.D
二、填空題. 1. AD=BC (答案不) 2. AF=EC (答案不) 3. 3
三、解答題. 1.證明：∵DE∥BC, EF∥AB ∴四邊形DEFB是平行四邊形 ∴DE=BF
又 ∵F是BC的中點(diǎn) ∴BF=CF. ∴DE=CF
2.證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD, AB∥CDCD ∥∥CDCD ∴∠ABD=∠BDC
又 ∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴⊿ABE≌⊿CDF.
(2) ∵⊿ABE≌⊿CDF. ∴AE=CF 又 ∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴四邊形AECF是平行四邊形
§20.1平行四邊形的判定(二)
一、選擇題. 1.C 2.C
二、填空題. 1. 平行四邊形 2. AE=CF (答案不) 3. AE=CF (答案不)
三、解答題. 1.證明：∵∠BCA=180°-∠B-∠BAC ∠DAC=180°-∠D-∠DCA
且∠B=∠D ∠BAC=∠ACD ∴∠BCA=∠DAC ∴∠BAD=∠BCD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
2.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AO=CO，BO=DO 又 ∵E、F、G、H分別為AO、BO、CO、DO的中點(diǎn) ∴OE=OG，OF=OH ∴四邊形EFGH是平行四邊形
§20.1平行四邊形的判定(三)
一、選擇題. 1.A 2.C
二、填空題. 1. 平行四邊形 2. 3
三、解答題. 1.證明：在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD ∵AE=CF ∴AB-AE=CD-CF
即BE=DF ∴四邊形EBFD是平行四邊形∴BD、EF互相平分
2.證明：在□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，AO=CO ∴∠DAC=∠BCA 又∵∠AOE=
∠COF ∴⊿AOE≌⊿COF.∴AE=CF ∴DE=BF ∴四邊形BEDF是平行四邊形
§20.2 矩形的判定
一、選擇題. 1.B 2.D
二、填空題. 1. AC=BD (答案不) 2. ③，④
三、解答題. 1.證明：(1)在□ABCD中，AB=CD ∵BE=CF ∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE 又∵AF=DE ∴⊿ABF≌⊿DCE.
(2)∵⊿ABF≌⊿DCE.∴∠B=∠C 在□ABCD中，∠B+∠C=180°
∴∠B=∠C=90° ∴□ABCD是矩形
2.證明：∵AE∥BD, BE∥AC ∴四邊形OAEB是平行四邊形 又∵AB=AD,O是BD的中點(diǎn)
∴∠AOB=90° ∴四邊形OAEB是矩形
3.證明：(1)∵AF∥BC ∴∠AFB=∠FBD 又∵E是AD的中點(diǎn), ∠AEF=∠BED
∴⊿AEF≌⊿DEB ∴AF=BD 又∵AF=DC ∴BD=DC ∴D是BC的中點(diǎn)
(2)四邊形ADCF是矩形，理由是：∵AF=DC，AF∥DC ∴四邊形ADCF是平行四邊形
又∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn) ∴∠ADC=90° ∴四邊形ADCF是矩形
§ 20.3 菱形的判定
一、選擇題. 1.A 2.A
二、填空題. 1. AB=AD (答案不) 2. 3. 菱形
三、解答題. 1.證明：(1)∵AB∥CD，CE∥AD ∴四邊形AECD是平行四邊形
又∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵CE∥AD ∴∠ECA=∠CAD
∴∠EAC=∠ECA ∴AE=EC ∴四邊形AECD是菱形
(2)⊿ABC是直角三角形，理由是：∵AE=EC，E是AB的中點(diǎn) ∴AE=BE=EC
∴∠ACB=90°∴⊿ABC是直角三角形
2.證明：∵DF⊥BC，∠B =90°，∴AB∥DF ，∵∠B =90°，∠A =60°， ∴∠C =30°，
∵∠EDF =∠A =60°，DF⊥BC，∴∠EDB =30°，∴AF∥DE ，∴四邊形AEDF是平行四邊形,由折疊可得AE=ED，∴四邊形AEDF是菱形.
3.證明：(1)在矩形ABCD中，BO=DO，AB∥CD ∴AE∥CF ∴∠E=∠F
又∵∠BOE=∠DOF，∴⊿BOE≌⊿DOF.
(2)當(dāng)EF⊥AC時(shí)，以A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 ∵⊿BOE≌⊿DOF.
∴EO=FO 在矩形ABCD中, AO=CO ∴四邊形AECF是平行四邊形 又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形
§ 20.4 正方形的判定
一、選擇題. 1.D 2.C
二、填空題. 1. AB=BC (答案不) 2. AC=BD (答案不)
三、解答題. 1.證明：(1)∵AB=AC ∴∠B=∠C 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中點(diǎn) ∴⊿BED≌⊿CFD.
(2)∵∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC ∴四邊形AEDF是矩形 又∵⊿BED≌⊿CFD
∴DE=DF ∴四邊形DFAE是正方形.
2.證明：(1)在 ABCD中，AO=CO 又∵⊿ACE是等邊三角形 ∴EO⊥AC.
∴四邊形ABCD是菱形.
(2)∵⊿ACE是等邊三角形 ∴∠AED= ∠AEC=30°，∠EAC=60°
又∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°∴∠DAC=45°∴∠ADO=45°∴AO=DO
∴四邊形ABCD是正方形.
§20.5 等腰梯形的判定
一、選擇題. 1.B 2.D
二、填空題. 1.等腰梯形 2. 4 3. ③,④
三、解答題. 1.證明：(1)∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB 又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
BC=BC ∴⊿BCE≌⊿CBD ∴EB=CD ∴AE=AD ∴∠AED=∠ADB
∵∠A+∠AED+∠ADE=∠A+∠ABC+∠ACB ∴∠AED=∠ABC ∴DE∥BC
∴四邊形BCDE是等腰梯形.
2.證明：(1)在菱形ABCD中，∠CAB= ∠DAB=30°，AD=BC , ∵CE⊥AC,
∴∠E=60°, 又∵DA∥BC, ∴∠CBE=∠DAB=60°∴CB=CE ,∴AD=CE,
∴四邊形AECD是等腰梯形.
3.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, ∴∠B=∠BCD, ∵GE∥DC ,∴∠GEB=∠BCD,
∴∠B=∠GEB, ∴BG=EG, 又∵GE∥DC, ∴∠EGF=∠H, ∵EF=FC, ∠EFG=∠CFH, ∴⊿GEF≌⊿HCF, ∴EG=CH , ∴BG=CH.
§20.1平行四邊形的判定(一)
一、選擇題. 1.D 2.D
二、填空題. 1. AD=BC (答案不) 2. AF=EC (答案不) 3. 3
三、解答題. 1.證明：∵DE∥BC, EF∥AB ∴四邊形DEFB是平行四邊形 ∴DE=BF
又 ∵F是BC的中點(diǎn) ∴BF=CF. ∴DE=CF
2.證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD, AB∥CDCD ∥∥CDCD ∴∠ABD=∠BDC
又 ∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴⊿ABE≌⊿CDF.
(2) ∵⊿ABE≌⊿CDF. ∴AE=CF 又 ∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴四邊形AECF是平行四邊形
§20.1平行四邊形的判定(二)
一、選擇題. 1.C 2.C
二、填空題. 1. 平行四邊形 2. AE=CF (答案不) 3. AE=CF (答案不)
三、解答題. 1.證明：∵∠BCA=180°-∠B-∠BAC ∠DAC=180°-∠D-∠DCA
且∠B=∠D ∠BAC=∠ACD ∴∠BCA=∠DAC ∴∠BAD=∠BCD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
2.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AO=CO，BO=DO 又 ∵E、F、G、H分別為AO、BO、CO、DO的中點(diǎn) ∴OE=OG，OF=OH ∴四邊形EFGH是平行四邊形
§20.1平行四邊形的判定(三)
一、選擇題. 1.A 2.C
二、填空題. 1. 平行四邊形 2. 3
三、解答題. 1.證明：在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD ∵AE=CF ∴AB-AE=CD-CF
即BE=DF ∴四邊形EBFD是平行四邊形∴BD、EF互相平分
2.證明：在□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，AO=CO ∴∠DAC=∠BCA 又∵∠AOE=
∠COF ∴⊿AOE≌⊿COF.∴AE=CF ∴DE=BF ∴四邊形BEDF是平行四邊形
§20.2 矩形的判定
一、選擇題. 1.B 2.D
二、填空題. 1. AC=BD (答案不) 2. ③，④
三、解答題. 1.證明：(1)在□ABCD中，AB=CD ∵BE=CF ∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE 又∵AF=DE ∴⊿ABF≌⊿DCE.
(2)∵⊿ABF≌⊿DCE.∴∠B=∠C 在□ABCD中，∠B+∠C=180°
∴∠B=∠C=90° ∴□ABCD是矩形
2.證明：∵AE∥BD, BE∥AC ∴四邊形OAEB是平行四邊形 又∵AB=AD,O是BD的中點(diǎn)
∴∠AOB=90° ∴四邊形OAEB是矩形
3.證明：(1)∵AF∥BC ∴∠AFB=∠FBD 又∵E是AD的中點(diǎn), ∠AEF=∠BED
∴⊿AEF≌⊿DEB ∴AF=BD 又∵AF=DC ∴BD=DC ∴D是BC的中點(diǎn)
(2)四邊形ADCF是矩形，理由是：∵AF=DC，AF∥DC ∴四邊形ADCF是平行四邊形
又∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn) ∴∠ADC=90° ∴四邊形ADCF是矩形
§ 20.3 菱形的判定
一、選擇題. 1.A 2.A
二、填空題. 1. AB=AD (答案不) 2. 3. 菱形
三、解答題. 1.證明：(1)∵AB∥CD，CE∥AD ∴四邊形AECD是平行四邊形
又∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵CE∥AD ∴∠ECA=∠CAD
∴∠EAC=∠ECA ∴AE=EC ∴四邊形AECD是菱形
(2)⊿ABC是直角三角形，理由是：∵AE=EC，E是AB的中點(diǎn) ∴AE=BE=EC
∴∠ACB=90°∴⊿ABC是直角三角形
2.證明：∵DF⊥BC，∠B =90°，∴AB∥DF ，∵∠B =90°，∠A =60°， ∴∠C =30°，
∵∠EDF =∠A =60°，DF⊥BC，∴∠EDB =30°，∴AF∥DE ，∴四邊形AEDF是平行四邊形,由折疊可得AE=ED，∴四邊形AEDF是菱形.
3.證明：(1)在矩形ABCD中，BO=DO，AB∥CD ∴AE∥CF ∴∠E=∠F
又∵∠BOE=∠DOF，∴⊿BOE≌⊿DOF.
(2)當(dāng)EF⊥AC時(shí)，以A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 ∵⊿BOE≌⊿DOF.
∴EO=FO 在矩形ABCD中, AO=CO ∴四邊形AECF是平行四邊形 又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形
§ 20.4 正方形的判定
一、選擇題. 1.D 2.C
二、填空題. 1. AB=BC (答案不) 2. AC=BD (答案不)
三、解答題. 1.證明：(1)∵AB=AC ∴∠B=∠C 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中點(diǎn) ∴⊿BED≌⊿CFD.
(2)∵∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC ∴四邊形AEDF是矩形 又∵⊿BED≌⊿CFD
∴DE=DF ∴四邊形DFAE是正方形.
2.證明：(1)在 ABCD中，AO=CO 又∵⊿ACE是等邊三角形 ∴EO⊥AC.
∴四邊形ABCD是菱形.
(2)∵⊿ACE是等邊三角形 ∴∠AED= ∠AEC=30°，∠EAC=60°
又∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°∴∠DAC=45°∴∠ADO=45°∴AO=DO
∴四邊形ABCD是正方形.
§20.5 等腰梯形的判定
一、選擇題. 1.B 2.D
二、填空題. 1.等腰梯形 2. 4 3. ③,④
三、解答題. 1.證明：(1)∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB 又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
BC=BC ∴⊿BCE≌⊿CBD ∴EB=CD ∴AE=AD ∴∠AED=∠ADB
∵∠A+∠AED+∠ADE=∠A+∠ABC+∠ACB ∴∠AED=∠ABC ∴DE∥BC
∴四邊形BCDE是等腰梯形.
2.證明：(1)在菱形ABCD中，∠CAB= ∠DAB=30°，AD=BC , ∵CE⊥AC,
∴∠E=60°, 又∵DA∥BC, ∴∠CBE=∠DAB=60°∴CB=CE ,∴AD=CE,
∴四邊形AECD是等腰梯形.
3.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, ∴∠B=∠BCD, ∵GE∥DC ,∴∠GEB=∠BCD,
∴∠B=∠GEB, ∴BG=EG, 又∵GE∥DC, ∴∠EGF=∠H, ∵EF=FC, ∠EFG=∠CFH, ∴⊿GEF≌⊿HCF, ∴EG=CH , ∴BG=CH.