1.(2015·湖北卷)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0，|φ|<2(π在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
ωx＋φ
0
2π
π
23π
2π
x
3π
65π
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖像上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖像，若y=g(x)圖像的一個對稱中心為，0(5π，求θ的最小值。
解 (1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5，ω=2，φ=-6(π。
數(shù)據(jù)補全如下表：
ωx＋φ
0
2π
π
23π
2π
x
12π
3π
127π
65π
1213π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin6(π。
(2)由(1)知f(x)=5sin6(π，
得g(x)=5sin6(π。
因為y=sin x的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z。
令2x+2θ-6(π=kπ，解得x=2(kπ+12(π-θ，k∈Z。
由于函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點，0(5π成中心對稱，令2(kπ+12(π-θ=12(5π，解得θ=2(kπ-3(π，k∈Z。
由θ>0可知，當(dāng)k=1時，θ取得最小值6(π。
2.(2015·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知tan+A(π=2。
(1)求sin 2A+cos2A(sin 2A的值;
(2)若B=4(π，a=3，求△ABC的面積。
解 (1)由tan+A(π=2，得tan A=3(1，
所以sin 2A+cos2A(sin 2A=2tan A+1(2tan A=5(2。
(2)由tan A=3(1，A∈(0，π)，得sin A=10(10，cos A=10(10。
又由a=3，B=4(π及正弦定理sin A(a=sin B(b，得b=3。
由sin C=sin(A+B)=sin4(π得sin C=5(5。
設(shè)△ABC的面積為S，則S=2(1absin C=9。
3.(2016·濰坊3月模擬)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx-6(π-4sin2ωx+2(ω>0)，其圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為2(π。
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個長度單位得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，0(π，求當(dāng)m取得最小值時，g(x)在12(7π上的單調(diào)遞增區(qū)間。
解 (1)函數(shù)f(x)=sin6(π-4sin2ωx+2=2(3sin 2ωx-2(1cos 2ωx-4×2(1-cos 2ωx+2=2(3sin 2ωx+2(3cos 2ωx=sin3(π(ω>0)，
根據(jù)函數(shù)f(x)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為2(π，可得函數(shù)f(x)的最小正周期為2×2(π=2ω(2π，得ω=1。
故函數(shù)f(x)=sin3(π。
(2)將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個長度單位得到函數(shù)g(x)=sin3(π=sin2x+2m+3(π的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，0(π，
可得sin3(π=0，
即sin3(π=0，
所以2m-3(π=kπ(k∈Z)，m=2(kπ+6(π(k∈Z)，
因為m>0，所以當(dāng)k=0時，m取得最小值，且最小值為6(π。
此時，g(x)=sin3(2π。
令2kπ-2(π≤2x+3(2π≤2kπ+2(π，k∈Z，得kπ-12(7π≤x≤kπ-12(π，k∈Z，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-12(7π，kπ-12(π，k∈Z。
結(jié)合x∈127π，可得g(x)在12(7π上的單調(diào)遞增區(qū)間為12(π和12(7π。
4.(2015·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=2(，n=(sinx，cos x)，x∈2(π。
(1)若m⊥n，求tan x的值;
(2)若m與n的夾角為3(π，求x的值。
解 (1)∵m=2(，n=(sin x，cos x)，且m⊥n，
∴m·n=2(·(sin x，cos x)
=2(2sin x-2(2cos x=sin4(π=0。
又x∈2π，∴x-4(π∈4π。
∴x-4(π=0，即x=4(π?！鄑an x=tan 4(π=1。
(2)由(1)和已知得cos 3(π=|m|·|n|(m·n
=2(
=sin4(π=2(1，
又x-4(π∈4π，∴x-4(π=6(π，即x=12(5π。
5.(2015·杭州一檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知cos 2A+2(3=2cos A。
(1)求角A的大小;
(2)若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍。
解 (1)根據(jù)二倍角公式：cos 2x=2cos2x-1，得
2cos2A+2(1=2cos A，即4cos2A-4cos A+1=0，
所以(2cos A-1)2=0，所以cos A=2(1。
因為0
(2)根據(jù)正弦定理：sin A(a=sin B(b=sin C(c，得
b=3(2sin B，c=3(2sin C，
所以l=1+b+c=1+3(2(sin B+sin C)。
因為A=3(π，所以B+C=3(2π，
所以l=1+3(2-B(2π=1+2sin6(π。
因為0
6.(2015·山東卷)設(shè)f(x)=sin xcos x-cos24(π。
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若f2(A=0，a=1，求△ABC面積的值。
解 (1)由題意知f(x)=2(sin 2x-2(
=2(sin 2x-2(1-sin 2x=sin 2x-2(1。
由-2(π+2kπ≤2x≤2(π+2kπ，k∈Z，可得-4(π+kπ≤x≤4(π+kπ，k∈Z;
由2(π+2kπ≤2x≤2(3π+2kπ，k∈Z，可得4(π+kπ≤x≤4(3π+kπ，k∈Z。所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4(π+kπ，4(π+kπ(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是+kπ(3π(k∈Z)。
(2)由f2(A=sin A-2(1=0，得sin A=2(1，
由題意知A為銳角，所以cos A=2(3。
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
可得1+bc=b2+c2≥2bc，
即bc≤2+，且當(dāng)b=c時取等號。
因此2(1bcsin A≤4(3，
所以△ABC面積的值為4(3。
ωx＋φ
0
2π
π
23π
2π
x
3π
65π
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖像上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖像，若y=g(x)圖像的一個對稱中心為，0(5π，求θ的最小值。
解 (1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5，ω=2，φ=-6(π。
數(shù)據(jù)補全如下表：
ωx＋φ
0
2π
π
23π
2π
x
12π
3π
127π
65π
1213π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin6(π。
(2)由(1)知f(x)=5sin6(π，
得g(x)=5sin6(π。
因為y=sin x的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z。
令2x+2θ-6(π=kπ，解得x=2(kπ+12(π-θ，k∈Z。
由于函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點，0(5π成中心對稱，令2(kπ+12(π-θ=12(5π，解得θ=2(kπ-3(π，k∈Z。
由θ>0可知，當(dāng)k=1時，θ取得最小值6(π。
2.(2015·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知tan+A(π=2。
(1)求sin 2A+cos2A(sin 2A的值;
(2)若B=4(π，a=3，求△ABC的面積。
解 (1)由tan+A(π=2，得tan A=3(1，
所以sin 2A+cos2A(sin 2A=2tan A+1(2tan A=5(2。
(2)由tan A=3(1，A∈(0，π)，得sin A=10(10，cos A=10(10。
又由a=3，B=4(π及正弦定理sin A(a=sin B(b，得b=3。
由sin C=sin(A+B)=sin4(π得sin C=5(5。
設(shè)△ABC的面積為S，則S=2(1absin C=9。
3.(2016·濰坊3月模擬)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx-6(π-4sin2ωx+2(ω>0)，其圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為2(π。
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個長度單位得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，0(π，求當(dāng)m取得最小值時，g(x)在12(7π上的單調(diào)遞增區(qū)間。
解 (1)函數(shù)f(x)=sin6(π-4sin2ωx+2=2(3sin 2ωx-2(1cos 2ωx-4×2(1-cos 2ωx+2=2(3sin 2ωx+2(3cos 2ωx=sin3(π(ω>0)，
根據(jù)函數(shù)f(x)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為2(π，可得函數(shù)f(x)的最小正周期為2×2(π=2ω(2π，得ω=1。
故函數(shù)f(x)=sin3(π。
(2)將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個長度單位得到函數(shù)g(x)=sin3(π=sin2x+2m+3(π的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，0(π，
可得sin3(π=0，
即sin3(π=0，
所以2m-3(π=kπ(k∈Z)，m=2(kπ+6(π(k∈Z)，
因為m>0，所以當(dāng)k=0時，m取得最小值，且最小值為6(π。
此時，g(x)=sin3(2π。
令2kπ-2(π≤2x+3(2π≤2kπ+2(π，k∈Z，得kπ-12(7π≤x≤kπ-12(π，k∈Z，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-12(7π，kπ-12(π，k∈Z。
結(jié)合x∈127π，可得g(x)在12(7π上的單調(diào)遞增區(qū)間為12(π和12(7π。
4.(2015·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=2(，n=(sinx，cos x)，x∈2(π。
(1)若m⊥n，求tan x的值;
(2)若m與n的夾角為3(π，求x的值。
解 (1)∵m=2(，n=(sin x，cos x)，且m⊥n，
∴m·n=2(·(sin x，cos x)
=2(2sin x-2(2cos x=sin4(π=0。
又x∈2π，∴x-4(π∈4π。
∴x-4(π=0，即x=4(π?！鄑an x=tan 4(π=1。
(2)由(1)和已知得cos 3(π=|m|·|n|(m·n
=2(
=sin4(π=2(1，
又x-4(π∈4π，∴x-4(π=6(π，即x=12(5π。
5.(2015·杭州一檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知cos 2A+2(3=2cos A。
(1)求角A的大小;
(2)若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍。
解 (1)根據(jù)二倍角公式：cos 2x=2cos2x-1，得
2cos2A+2(1=2cos A，即4cos2A-4cos A+1=0，
所以(2cos A-1)2=0，所以cos A=2(1。
因為0
(2)根據(jù)正弦定理：sin A(a=sin B(b=sin C(c，得
b=3(2sin B，c=3(2sin C，
所以l=1+b+c=1+3(2(sin B+sin C)。
因為A=3(π，所以B+C=3(2π，
所以l=1+3(2-B(2π=1+2sin6(π。
因為0
6.(2015·山東卷)設(shè)f(x)=sin xcos x-cos24(π。
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若f2(A=0，a=1，求△ABC面積的值。
解 (1)由題意知f(x)=2(sin 2x-2(
=2(sin 2x-2(1-sin 2x=sin 2x-2(1。
由-2(π+2kπ≤2x≤2(π+2kπ，k∈Z，可得-4(π+kπ≤x≤4(π+kπ，k∈Z;
由2(π+2kπ≤2x≤2(3π+2kπ，k∈Z，可得4(π+kπ≤x≤4(3π+kπ，k∈Z。所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4(π+kπ，4(π+kπ(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是+kπ(3π(k∈Z)。
(2)由f2(A=sin A-2(1=0，得sin A=2(1，
由題意知A為銳角，所以cos A=2(3。
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
可得1+bc=b2+c2≥2bc，
即bc≤2+，且當(dāng)b=c時取等號。
因此2(1bcsin A≤4(3，
所以△ABC面積的值為4(3。