一、選擇題
1.平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點(diǎn)，點(diǎn)D在直線(xiàn)3x-y+1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程為( )
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，即.設(shè)B(x，y)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線(xiàn)y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為( )
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當(dāng)該點(diǎn)是過(guò)圓心向直線(xiàn)引的垂線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)最小.因圓心(3,0)到直線(xiàn)的距離為d==2，所以切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值是l==.
3.直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)x=有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是( )
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b<1}
D.非以上答案
答案：
B 解題思路：在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出y=x+b與曲線(xiàn)x=(就是x2+y2=1，x≥0)的圖象，如圖所示，相切時(shí)b=-，其他位置符合條件時(shí)需-1
4.若圓C：x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線(xiàn)2ax+by+6=0對(duì)稱(chēng)，則由點(diǎn)(a，b)向圓所作的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.6
答案：C 解題思路：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=2，所以圓心為(-1,2)，半徑為.因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)2ax+by+6=0對(duì)稱(chēng)，所以圓心在直線(xiàn)2ax+by+6=0上，所以-2a+2b+6=0，即b=a-3，點(diǎn)(a，b)到圓心的距離為
d==
==.
所以當(dāng)a=2時(shí)，d有最小值=3，此時(shí)切線(xiàn)長(zhǎng)最小，為==4，故選C.
5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離和為8，且|AB|=4，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O的所有直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線(xiàn)段中，長(zhǎng)度為整數(shù)的有( )
A.5條 B.6條
C.7條 D.8條
答案：D 命題立意：本題考查橢圓的定義與性質(zhì)，難度中等.
解題思路：依題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，短軸長(zhǎng)是2=4的橢圓.注意到經(jīng)過(guò)該橢圓的中心O的最短弦長(zhǎng)等于4，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)是8，因此過(guò)點(diǎn)O的所有直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線(xiàn)段中，長(zhǎng)度可以為整數(shù)4,5,6,7,8，其中長(zhǎng)度為4,8的各一條，長(zhǎng)度為5,6,7的各有兩條，因此滿(mǎn)足題意的弦共有8條，故選D.
6.設(shè)m，nR，若直線(xiàn)(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切，則m+n的取值范圍是( )
A.[1-，1+]
B.(-∞，1-][1+，+∞)
C.[2-2，2+2]
D.(-∞，2-2][2+2，+∞)
答案：D 解題思路： 直線(xiàn)與圓相切，
=1，
|m+n|=，
即mn=m+n+1，
設(shè)m+n=t，則mn≤2=，
t+1≤， t2-4t-4≥0，
解得：t≤2-2或t≥2+2.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得=λ+μ，則λ2+(μ-3)2的取值范圍是( )
A.[0，+∞) B.(2，+∞)
C.(2,8) D.(8，+∞)
答案：B 解題思路：依題意B，O，C三點(diǎn)不可能在同一直線(xiàn)上， ·=
|cos BOC=cos BOC∈(-1,1)，又由=λ+μ，得λ=-μ，于是λ2=1+μ2-2μ·，記f(μ)=λ2+(μ-3)2.則f(μ)=1+μ2-2μ·+(μ-3)2=2μ2-6μ-2μ·+10，可知f(μ)>2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)<2μ2-4μ+10=2(μ-1)2+8無(wú)值，故λ2+(μ-3)2的取值范圍為(2，+∞).
8.已知圓C：x2+y2=1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)x-y-2=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在一點(diǎn)Q，使得OPQ=30°，則x0的取值范圍是( )
A.[-1,1] B.[0,1]
C.[-2,2] D.[0,2]
答案：D 解析：由題知，在OPQ中，=，即=， |OP|≤2，又P(x0，x0-2)，則x+(x0-2)2≤4，解得x0[0,2]，故選D.
9.過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線(xiàn)，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2+y2≤4}分成兩部分，使得這兩部分的面積之差，則該直線(xiàn)的方程為( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
答案：A 命題立意：本題考查直線(xiàn)、線(xiàn)性規(guī)劃與圓的綜合運(yùn)用及數(shù)形結(jié)合思想，難度中等.
解題思路：要使直線(xiàn)將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差，必須使過(guò)點(diǎn)P的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線(xiàn)與直線(xiàn)OP垂直.又已知點(diǎn)P(1,1)，則kOP=1，故所求直線(xiàn)的斜率為-1.又所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，故由點(diǎn)斜式得，所求直線(xiàn)的方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.
10.直線(xiàn)y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是( )
A. B.
C.[-， ] D.
答案：B 命題立意：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：在由弦心距d、半徑r和半弦長(zhǎng)|MN|構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理，得|MN|=≥，得4-d2≥3，解得d2≤1，又d==，解得k2≤，所以-≤k≤.
二、填空題
11.已知直線(xiàn)l：y=-(x-1)與圓O：x2+y2=1在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，且l與y軸交于點(diǎn)A，則MOA的面積等于________.
答案： 命題立意：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，難度較小.
解題思路：聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程可得xM=，故SMOA=×|OA|×xM=××=.
12.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2+b2=c2，則直線(xiàn)ax-by+c=0被圓x2+y2=9所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.
答案：2 命題立意：本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，求解弦長(zhǎng)一般采用幾何法求解，難度較小.
解題思路：圓心到直線(xiàn)的距離d===，故直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2=2=2.
13.已知A(-2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿(mǎn)足APO=BPO，其中O為原點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程是________.
答案：(x-2)2+y2=4(y≠0) 命題立意：本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)及直接法求軌跡方程，難度中等.
解題思路：因?yàn)锳(-2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿(mǎn)足APO=BPO，故點(diǎn)P在角APB的角平分線(xiàn)上，則利用PAPB=AOOB=21，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則利用關(guān)系式可知=2化簡(jiǎn)可得(x-2)2+y2=4(y≠0).
14.若直線(xiàn)m被兩平行線(xiàn)l1：x-y+1=0與l2：x-y+3=0所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為2，則m的傾斜角可以是
15° 30° 45° 60° 75°
其中正確答案的序號(hào)是________.(寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào))
答案： 解題思路：設(shè)直線(xiàn)m與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，
過(guò)A作ACl2于C，則|AC|==.
又|AB|=2，ABC=30°.
又直線(xiàn)l1的傾斜角為45°，
直線(xiàn)m的傾斜角為45°+30°=75°或45°-30°=15°.
B組
一、選擇題
1.已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=2x-4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos AFB=( )
A. B.
C.- D.-
答案：D 解題思路：聯(lián)立消去y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.
不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸下方，所以A(1，-2)，B(4,4).
因?yàn)镕(1,0)，所以=(0，-2)，=(3,4).
因此cos AFB=
==-.故選D.
2.已知拋物線(xiàn)x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為( )
A. B.
C.1 D.2
答案：D 解題思路：由題意知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l為y=-1，過(guò)A作AA1l于A1，過(guò)B作BB1l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M作MM1l于M1，則|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn))，即|AF|+|BF|≥6，即|AA1|+|BB1|≥6，即2|MM1|≥6， |MM1|≥3，即M到x軸的距離d≥2，故選D.
3.設(shè)雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上的一點(diǎn)，AF2F1F2，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AF1的距離為|OF1|，則漸近線(xiàn)的斜率為( )
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的探究，體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法的巧妙應(yīng)用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設(shè)點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)y=x上的一點(diǎn)，由AF2F1F2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率為或-，故應(yīng)選D.
4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，與直線(xiàn)y=b相切的F2交橢圓于點(diǎn)E，E恰好是直線(xiàn)EF1與F2的切點(diǎn)，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.
5.等軸雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線(xiàn)y2=16x的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的方程為-=1，又拋物線(xiàn)y2=16x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-4，代入雙曲線(xiàn)的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，故選C.
6.拋物線(xiàn)y2=-12x的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)-=1的兩條漸近線(xiàn)圍成的三角形的面積等于( )
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算能力.
解題思路：依題意得，拋物線(xiàn)y2=-12x的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=3，雙曲線(xiàn)-=1的漸近線(xiàn)方程是y=±x，直線(xiàn)x=3與直線(xiàn)y=±x的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線(xiàn)-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線(xiàn)的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及基本量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了考生的推理論證能力以及運(yùn)算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線(xiàn)定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因?yàn)锳BF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線(xiàn)l1：4x-3y+6=0和直線(xiàn)l2：x=-1，拋物線(xiàn)y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值是( )
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知直線(xiàn)l2：x=-1恰為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)，則d2=|PF|，由數(shù)形結(jié)合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時(shí)，即為點(diǎn)F到l1的距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)的同一支上，P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q.若直線(xiàn)AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線(xiàn)的離心率是( )
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線(xiàn)方程及其離心率的求解，考查化簡(jiǎn)及變形能力，難度中等.
解題思路：設(shè)A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.
二、填空題
11.已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯(lián)立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數(shù)的關(guān)系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識(shí)拓展：將ABF分割后進(jìn)行求解，能有效減少計(jì)算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過(guò)左焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，難度中等.
解題思路：設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線(xiàn)與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過(guò)B作BE垂直于準(zhǔn)線(xiàn)l于E，
=， M為AB的中點(diǎn)，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
p=2.
14.
如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于P點(diǎn)，若B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______.
答案： 解題思路：設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0)，B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為，所夾的角為鈍角，則(a，-b)·(-c，-b)<0，得b20，即e2+e-1>0， e>或e<，又0
15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C：-=1.設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，若=2，則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)_______.
答案：± 命題立意：本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.由題意可知，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的兩支相交，故設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1，k，代入雙曲線(xiàn)方程整理得(3-4k2)x2-8kx-16=0(*).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由=2得x1=-2x2，在(*)中，利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=，解得x2=-，y2=，代入雙曲線(xiàn)方程整理得16k4-16k2+3=0，解得k2=，故直線(xiàn)l的斜率是±.
1.平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點(diǎn)，點(diǎn)D在直線(xiàn)3x-y+1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程為( )
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，即.設(shè)B(x，y)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線(xiàn)y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為( )
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當(dāng)該點(diǎn)是過(guò)圓心向直線(xiàn)引的垂線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)最小.因圓心(3,0)到直線(xiàn)的距離為d==2，所以切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值是l==.
3.直線(xiàn)y=x+b與曲線(xiàn)x=有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是( )
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b<1}
D.非以上答案
答案：
B 解題思路：在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出y=x+b與曲線(xiàn)x=(就是x2+y2=1，x≥0)的圖象，如圖所示，相切時(shí)b=-，其他位置符合條件時(shí)需-1
4.若圓C：x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線(xiàn)2ax+by+6=0對(duì)稱(chēng)，則由點(diǎn)(a，b)向圓所作的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.6
答案：C 解題思路：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=2，所以圓心為(-1,2)，半徑為.因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)2ax+by+6=0對(duì)稱(chēng)，所以圓心在直線(xiàn)2ax+by+6=0上，所以-2a+2b+6=0，即b=a-3，點(diǎn)(a，b)到圓心的距離為
d==
==.
所以當(dāng)a=2時(shí)，d有最小值=3，此時(shí)切線(xiàn)長(zhǎng)最小，為==4，故選C.
5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離和為8，且|AB|=4，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O的所有直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線(xiàn)段中，長(zhǎng)度為整數(shù)的有( )
A.5條 B.6條
C.7條 D.8條
答案：D 命題立意：本題考查橢圓的定義與性質(zhì)，難度中等.
解題思路：依題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，短軸長(zhǎng)是2=4的橢圓.注意到經(jīng)過(guò)該橢圓的中心O的最短弦長(zhǎng)等于4，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)是8，因此過(guò)點(diǎn)O的所有直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線(xiàn)段中，長(zhǎng)度可以為整數(shù)4,5,6,7,8，其中長(zhǎng)度為4,8的各一條，長(zhǎng)度為5,6,7的各有兩條，因此滿(mǎn)足題意的弦共有8條，故選D.
6.設(shè)m，nR，若直線(xiàn)(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切，則m+n的取值范圍是( )
A.[1-，1+]
B.(-∞，1-][1+，+∞)
C.[2-2，2+2]
D.(-∞，2-2][2+2，+∞)
答案：D 解題思路： 直線(xiàn)與圓相切，
=1，
|m+n|=，
即mn=m+n+1，
設(shè)m+n=t，則mn≤2=，
t+1≤， t2-4t-4≥0，
解得：t≤2-2或t≥2+2.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得=λ+μ，則λ2+(μ-3)2的取值范圍是( )
A.[0，+∞) B.(2，+∞)
C.(2,8) D.(8，+∞)
答案：B 解題思路：依題意B，O，C三點(diǎn)不可能在同一直線(xiàn)上， ·=
|cos BOC=cos BOC∈(-1,1)，又由=λ+μ，得λ=-μ，于是λ2=1+μ2-2μ·，記f(μ)=λ2+(μ-3)2.則f(μ)=1+μ2-2μ·+(μ-3)2=2μ2-6μ-2μ·+10，可知f(μ)>2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)<2μ2-4μ+10=2(μ-1)2+8無(wú)值，故λ2+(μ-3)2的取值范圍為(2，+∞).
8.已知圓C：x2+y2=1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)x-y-2=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在一點(diǎn)Q，使得OPQ=30°，則x0的取值范圍是( )
A.[-1,1] B.[0,1]
C.[-2,2] D.[0,2]
答案：D 解析：由題知，在OPQ中，=，即=， |OP|≤2，又P(x0，x0-2)，則x+(x0-2)2≤4，解得x0[0,2]，故選D.
9.過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線(xiàn)，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2+y2≤4}分成兩部分，使得這兩部分的面積之差，則該直線(xiàn)的方程為( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
答案：A 命題立意：本題考查直線(xiàn)、線(xiàn)性規(guī)劃與圓的綜合運(yùn)用及數(shù)形結(jié)合思想，難度中等.
解題思路：要使直線(xiàn)將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差，必須使過(guò)點(diǎn)P的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線(xiàn)與直線(xiàn)OP垂直.又已知點(diǎn)P(1,1)，則kOP=1，故所求直線(xiàn)的斜率為-1.又所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，故由點(diǎn)斜式得，所求直線(xiàn)的方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.
10.直線(xiàn)y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是( )
A. B.
C.[-， ] D.
答案：B 命題立意：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：在由弦心距d、半徑r和半弦長(zhǎng)|MN|構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理，得|MN|=≥，得4-d2≥3，解得d2≤1，又d==，解得k2≤，所以-≤k≤.
二、填空題
11.已知直線(xiàn)l：y=-(x-1)與圓O：x2+y2=1在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，且l與y軸交于點(diǎn)A，則MOA的面積等于________.
答案： 命題立意：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，難度較小.
解題思路：聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程可得xM=，故SMOA=×|OA|×xM=××=.
12.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2+b2=c2，則直線(xiàn)ax-by+c=0被圓x2+y2=9所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.
答案：2 命題立意：本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，求解弦長(zhǎng)一般采用幾何法求解，難度較小.
解題思路：圓心到直線(xiàn)的距離d===，故直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2=2=2.
13.已知A(-2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿(mǎn)足APO=BPO，其中O為原點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程是________.
答案：(x-2)2+y2=4(y≠0) 命題立意：本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)及直接法求軌跡方程，難度中等.
解題思路：因?yàn)锳(-2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿(mǎn)足APO=BPO，故點(diǎn)P在角APB的角平分線(xiàn)上，則利用PAPB=AOOB=21，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則利用關(guān)系式可知=2化簡(jiǎn)可得(x-2)2+y2=4(y≠0).
14.若直線(xiàn)m被兩平行線(xiàn)l1：x-y+1=0與l2：x-y+3=0所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為2，則m的傾斜角可以是
15° 30° 45° 60° 75°
其中正確答案的序號(hào)是________.(寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào))
答案： 解題思路：設(shè)直線(xiàn)m與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，
過(guò)A作ACl2于C，則|AC|==.
又|AB|=2，ABC=30°.
又直線(xiàn)l1的傾斜角為45°，
直線(xiàn)m的傾斜角為45°+30°=75°或45°-30°=15°.
B組
一、選擇題
1.已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=2x-4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos AFB=( )
A. B.
C.- D.-
答案：D 解題思路：聯(lián)立消去y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.
不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸下方，所以A(1，-2)，B(4,4).
因?yàn)镕(1,0)，所以=(0，-2)，=(3,4).
因此cos AFB=
==-.故選D.
2.已知拋物線(xiàn)x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為( )
A. B.
C.1 D.2
答案：D 解題思路：由題意知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l為y=-1，過(guò)A作AA1l于A1，過(guò)B作BB1l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M作MM1l于M1，則|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn))，即|AF|+|BF|≥6，即|AA1|+|BB1|≥6，即2|MM1|≥6， |MM1|≥3，即M到x軸的距離d≥2，故選D.
3.設(shè)雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上的一點(diǎn)，AF2F1F2，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AF1的距離為|OF1|，則漸近線(xiàn)的斜率為( )
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的探究，體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法的巧妙應(yīng)用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設(shè)點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)y=x上的一點(diǎn)，由AF2F1F2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率為或-，故應(yīng)選D.
4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，與直線(xiàn)y=b相切的F2交橢圓于點(diǎn)E，E恰好是直線(xiàn)EF1與F2的切點(diǎn)，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.
5.等軸雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線(xiàn)y2=16x的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的方程為-=1，又拋物線(xiàn)y2=16x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-4，代入雙曲線(xiàn)的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，故選C.
6.拋物線(xiàn)y2=-12x的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)-=1的兩條漸近線(xiàn)圍成的三角形的面積等于( )
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算能力.
解題思路：依題意得，拋物線(xiàn)y2=-12x的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=3，雙曲線(xiàn)-=1的漸近線(xiàn)方程是y=±x，直線(xiàn)x=3與直線(xiàn)y=±x的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線(xiàn)-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線(xiàn)的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及基本量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了考生的推理論證能力以及運(yùn)算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線(xiàn)定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因?yàn)锳BF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線(xiàn)l1：4x-3y+6=0和直線(xiàn)l2：x=-1，拋物線(xiàn)y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值是( )
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知直線(xiàn)l2：x=-1恰為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)，則d2=|PF|，由數(shù)形結(jié)合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時(shí)，即為點(diǎn)F到l1的距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)的同一支上，P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q.若直線(xiàn)AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線(xiàn)的離心率是( )
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線(xiàn)方程及其離心率的求解，考查化簡(jiǎn)及變形能力，難度中等.
解題思路：設(shè)A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.
二、填空題
11.已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯(lián)立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數(shù)的關(guān)系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識(shí)拓展：將ABF分割后進(jìn)行求解，能有效減少計(jì)算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過(guò)左焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，難度中等.
解題思路：設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線(xiàn)與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過(guò)B作BE垂直于準(zhǔn)線(xiàn)l于E，
=， M為AB的中點(diǎn)，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
p=2.
14.
如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于P點(diǎn)，若B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______.
答案： 解題思路：設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0)，B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為，所夾的角為鈍角，則(a，-b)·(-c，-b)<0，得b20，即e2+e-1>0， e>或e<，又0
15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C：-=1.設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，若=2，則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)_______.
答案：± 命題立意：本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.由題意可知，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的兩支相交，故設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1，k，代入雙曲線(xiàn)方程整理得(3-4k2)x2-8kx-16=0(*).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由=2得x1=-2x2，在(*)中，利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=，解得x2=-，y2=，代入雙曲線(xiàn)方程整理得16k4-16k2+3=0，解得k2=，故直線(xiàn)l的斜率是±.