高一數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用》教案
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能：理解并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并且能夠初步應(yīng)用。
2.過(guò)程與方法：通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜測(cè)等推理方法，提高我們分析、綜合、抽象、
概括等邏輯思維能力。
3.情感態(tài)度價(jià)值觀：體會(huì)類(lèi)比在研究新事物中的作用，了解知識(shí)間存在的共同規(guī)律。
二、重點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。
難點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用。
三、教學(xué)過(guò)程。
同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，又學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。我給大家發(fā)了導(dǎo)學(xué)稿，讓大家做了預(yù)習(xí)，現(xiàn)在找同學(xué)對(duì)照下面的表格說(shuō)說(shuō)等差數(shù)列和等比數(shù)列的差別。
數(shù)列名稱(chēng) 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定義 一個(gè)數(shù)列，若從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)之差都是同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。 一個(gè)數(shù)列，若從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都是同一個(gè)非零常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列。
定義表達(dá)式 an-an-1=d （n≥2）
(q≠0)
通項(xiàng)公式證明過(guò)程及方法
an-an-1=d； an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法 ; …….
an=a1q n-1
累乘法
通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒體投影（總結(jié)規(guī)律）
數(shù)列名稱(chēng) 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定 義 等比數(shù)列用“比”代替了等差數(shù)列中的“差”
定 義
表
達(dá) 式 an-an-1=d （n≥2）
通項(xiàng)公式證明
迭加法 迭乘法
通 項(xiàng) 公 式
加-乘
乘—乘方
通過(guò)觀察，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：
• 等差數(shù)列中的 減法、加法、乘法，
等比數(shù)列中升級(jí)為 除法、乘法、乘方.
四、探究活動(dòng)。
探究活動(dòng)1：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)1；等差數(shù)列的性質(zhì)1；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1；性質(zhì)證明。
練習(xí)1 在等差數(shù)列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一個(gè)公式計(jì)算) 解：a4= a2+（n-2）d=-2+（4-2）*2=2
等差數(shù)列的性質(zhì)1： 在等差數(shù)列{an}中, a n=am+(n-m)d.
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1 若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)證明 右邊= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左邊
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活動(dòng)2：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)2；等差數(shù)列的性質(zhì)2；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2；性質(zhì)證明。
練習(xí)2 在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8的值為 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=（a3+ a7）+（a4+ a6）+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差數(shù)列的性質(zhì)2： 在等差數(shù)列{an}中, 若m+n=p+q,則am+an=ap+aq 特別的，當(dāng)m=n時(shí)，2 an=ap+aq
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2 在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at 特別的，當(dāng)m=n時(shí)，an2=ap*aq
性質(zhì)證明 右邊=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左邊 證明的方向:一般來(lái)說(shuō)，由繁到簡(jiǎn)
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,則a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36
由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6
探究活動(dòng)3：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)3；等差數(shù)列的性質(zhì)3；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)3；性質(zhì)證明。
練習(xí)3 在等差數(shù)列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170
等差數(shù)列的性質(zhì)3： 若an-k,an,an+k是等差數(shù)列{an}中的三項(xiàng)， 則這些項(xiàng)構(gòu)成新的等差數(shù)列，且2an=an-k+an+k
an即時(shí)an-k,an,an+k的等差中項(xiàng)
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)3 若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成新的等比數(shù)列，且an2=an-k*an+k
an即時(shí)an-k,an,an+k的等比中項(xiàng)
性質(zhì)證明 右邊=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左邊 證明的方向:由繁到簡(jiǎn)
應(yīng)用 在等比數(shù)列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：a60= = =810
應(yīng)用 等比數(shù)列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：
a30= = = 30
A60=
探究活動(dòng)4：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)4；等差數(shù)列的性質(zhì)4；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4；性質(zhì)證明。
練習(xí)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等差數(shù)列，若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差數(shù)列的性質(zhì)4： 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公差分別為d1、d2的等差數(shù)列,則數(shù)列{an+bn}是公差d1+d2的等差數(shù)列 兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列的和任然是等差數(shù)列
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列 兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列的和比一定是等比數(shù)列，兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列的積任然是等比數(shù)列。
性質(zhì)證明 證明：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比為q1; {bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q2，設(shè)cn=an•bn那么數(shù)列{an•bn} 的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：
應(yīng)用 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等比數(shù)列，若a1b1=7,a3b3=21,則a5b5=_____. 解：由題意可知{an•bn}是等比數(shù)列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中項(xiàng)。
由（a3b3）2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
（四個(gè)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)充分尊重學(xué)生的主體地位，以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，自主探究為主題，以教師的指導(dǎo)為輔，開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)）
五、等比數(shù)列具有的單調(diào)性
（1）q<0,等比數(shù)列為 擺動(dòng) 數(shù)列， 不具有 單調(diào)性
（2）q>0（舉例探討并填表）
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1
{an}的單調(diào)性 單調(diào)遞減 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞減
讓學(xué)生舉例說(shuō)明，并查驗(yàn)有多少學(xué)生填對(duì)。（真確評(píng)價(jià)）
六、課堂練習(xí)：
1、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于( ).
A. B. 7 C. 6 D.
解析:由已知得a32 =5, a82=10,
∴a4a5a6=a53 = = =5 .
答案:A
2、已知數(shù)列1,a1,a2,4是等比數(shù)列,則a1a2= .
答案:4
3、 +1與 -1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是( ).
A.1 B. -1 C. D.±1
解析：根據(jù)等比中項(xiàng)的定義式去求。答案:選D
4、已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3a9=2 ,a2=1,則a1等于( ).
A.2 B. C. D.
解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .
答案:C
5練習(xí)題：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，
它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù)。
分析：若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d.
由類(lèi)比思想的應(yīng)用可得，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)這三個(gè)數(shù)
為： 根據(jù)題意
再由方程組可得：q=2 或
既這三個(gè)數(shù)為2，4，8或8，4，2。
七、小結(jié)
本節(jié)課通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜測(cè)等推理方法，研究等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，從而培養(yǎng)和提高我們綜合運(yùn)用分析、綜合、抽象、概括，邏輯思維解決問(wèn)題的能力。
八、
§3.1.2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
性質(zhì)一：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)二：在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at
性質(zhì)三：若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項(xiàng)，則這些
項(xiàng)構(gòu)成新的等比數(shù)列，且 an2=an-k*an+k
性質(zhì)四：設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比
數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列
板書(shū)設(shè)計(jì)
九、反思
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能：理解并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并且能夠初步應(yīng)用。
2.過(guò)程與方法：通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜測(cè)等推理方法，提高我們分析、綜合、抽象、
概括等邏輯思維能力。
3.情感態(tài)度價(jià)值觀：體會(huì)類(lèi)比在研究新事物中的作用，了解知識(shí)間存在的共同規(guī)律。
二、重點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。
難點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用。
三、教學(xué)過(guò)程。
同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，又學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。我給大家發(fā)了導(dǎo)學(xué)稿，讓大家做了預(yù)習(xí)，現(xiàn)在找同學(xué)對(duì)照下面的表格說(shuō)說(shuō)等差數(shù)列和等比數(shù)列的差別。
數(shù)列名稱(chēng) 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定義 一個(gè)數(shù)列，若從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)之差都是同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。 一個(gè)數(shù)列，若從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都是同一個(gè)非零常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列。
定義表達(dá)式 an-an-1=d （n≥2）
(q≠0)
通項(xiàng)公式證明過(guò)程及方法
an-an-1=d； an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法 ; …….
an=a1q n-1
累乘法
通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒體投影（總結(jié)規(guī)律）
數(shù)列名稱(chēng) 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定 義 等比數(shù)列用“比”代替了等差數(shù)列中的“差”
定 義
表
達(dá) 式 an-an-1=d （n≥2）
通項(xiàng)公式證明
迭加法 迭乘法
通 項(xiàng) 公 式
加-乘
乘—乘方
通過(guò)觀察，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：
• 等差數(shù)列中的 減法、加法、乘法，
等比數(shù)列中升級(jí)為 除法、乘法、乘方.
四、探究活動(dòng)。
探究活動(dòng)1：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)1；等差數(shù)列的性質(zhì)1；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1；性質(zhì)證明。
練習(xí)1 在等差數(shù)列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一個(gè)公式計(jì)算) 解：a4= a2+（n-2）d=-2+（4-2）*2=2
等差數(shù)列的性質(zhì)1： 在等差數(shù)列{an}中, a n=am+(n-m)d.
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1 若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)證明 右邊= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左邊
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活動(dòng)2：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)2；等差數(shù)列的性質(zhì)2；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2；性質(zhì)證明。
練習(xí)2 在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8的值為 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=（a3+ a7）+（a4+ a6）+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差數(shù)列的性質(zhì)2： 在等差數(shù)列{an}中, 若m+n=p+q,則am+an=ap+aq 特別的，當(dāng)m=n時(shí)，2 an=ap+aq
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2 在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at 特別的，當(dāng)m=n時(shí)，an2=ap*aq
性質(zhì)證明 右邊=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左邊 證明的方向:一般來(lái)說(shuō)，由繁到簡(jiǎn)
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,則a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36
由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6
探究活動(dòng)3：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)3；等差數(shù)列的性質(zhì)3；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)3；性質(zhì)證明。
練習(xí)3 在等差數(shù)列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170
等差數(shù)列的性質(zhì)3： 若an-k,an,an+k是等差數(shù)列{an}中的三項(xiàng)， 則這些項(xiàng)構(gòu)成新的等差數(shù)列，且2an=an-k+an+k
an即時(shí)an-k,an,an+k的等差中項(xiàng)
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)3 若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成新的等比數(shù)列，且an2=an-k*an+k
an即時(shí)an-k,an,an+k的等比中項(xiàng)
性質(zhì)證明 右邊=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左邊 證明的方向:由繁到簡(jiǎn)
應(yīng)用 在等比數(shù)列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：a60= = =810
應(yīng)用 等比數(shù)列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：
a30= = = 30
A60=
探究活動(dòng)4：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)4；等差數(shù)列的性質(zhì)4；猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4；性質(zhì)證明。
練習(xí)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等差數(shù)列，若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差數(shù)列的性質(zhì)4： 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公差分別為d1、d2的等差數(shù)列,則數(shù)列{an+bn}是公差d1+d2的等差數(shù)列 兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列的和任然是等差數(shù)列
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列 兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列的和比一定是等比數(shù)列，兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列的積任然是等比數(shù)列。
性質(zhì)證明 證明：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比為q1; {bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q2，設(shè)cn=an•bn那么數(shù)列{an•bn} 的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：
應(yīng)用 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等比數(shù)列，若a1b1=7,a3b3=21,則a5b5=_____. 解：由題意可知{an•bn}是等比數(shù)列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中項(xiàng)。
由（a3b3）2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
（四個(gè)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)充分尊重學(xué)生的主體地位，以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，自主探究為主題，以教師的指導(dǎo)為輔，開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)）
五、等比數(shù)列具有的單調(diào)性
（1）q<0,等比數(shù)列為 擺動(dòng) 數(shù)列， 不具有 單調(diào)性
（2）q>0（舉例探討并填表）
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1
{an}的單調(diào)性 單調(diào)遞減 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞減
讓學(xué)生舉例說(shuō)明，并查驗(yàn)有多少學(xué)生填對(duì)。（真確評(píng)價(jià)）
六、課堂練習(xí)：
1、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于( ).
A. B. 7 C. 6 D.
解析:由已知得a32 =5, a82=10,
∴a4a5a6=a53 = = =5 .
答案:A
2、已知數(shù)列1,a1,a2,4是等比數(shù)列,則a1a2= .
答案:4
3、 +1與 -1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是( ).
A.1 B. -1 C. D.±1
解析：根據(jù)等比中項(xiàng)的定義式去求。答案:選D
4、已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3a9=2 ,a2=1,則a1等于( ).
A.2 B. C. D.
解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .
答案:C
5練習(xí)題：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，
它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù)。
分析：若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d.
由類(lèi)比思想的應(yīng)用可得，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)這三個(gè)數(shù)
為： 根據(jù)題意
再由方程組可得：q=2 或
既這三個(gè)數(shù)為2，4，8或8，4，2。
七、小結(jié)
本節(jié)課通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜測(cè)等推理方法，研究等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，從而培養(yǎng)和提高我們綜合運(yùn)用分析、綜合、抽象、概括，邏輯思維解決問(wèn)題的能力。
八、
§3.1.2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
性質(zhì)一：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)二：在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at
性質(zhì)三：若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項(xiàng)，則這些
項(xiàng)構(gòu)成新的等比數(shù)列，且 an2=an-k*an+k
性質(zhì)四：設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比
數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列
板書(shū)設(shè)計(jì)
九、反思