難點(diǎn)6 函數(shù)值域及求法
函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
●難點(diǎn)磁場(chǎng)
(★★★★★)設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M.
(2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.
(3)求證：對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840 cm2,畫(huà)面的寬與高的比為λ(λ<1),畫(huà)面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最??？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。?BR> 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目.
知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí).
錯(cuò)解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
解：設(shè)畫(huà)面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即λ=<1)時(shí)S取得最小值.此時(shí)高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm.
如果λ∈［］可設(shè)≤λ1<λ2≤,則由S的表達(dá)式得：
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增.
從而對(duì)于λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，S(λ)取得最小值.
答：畫(huà)面高為88 cm,寬為55 cm時(shí)，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，所用紙張面積最小.
［例2］已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞
(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.
(2)若對(duì)任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★級(jí)題目.
知識(shí)依托：本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類(lèi)討論的思想.
錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類(lèi)討論思想解得.
(1)解：當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)，
∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=.
(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞
當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=3+a,
當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.
函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
●難點(diǎn)磁場(chǎng)
(★★★★★)設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M.
(2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.
(3)求證：對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840 cm2,畫(huà)面的寬與高的比為λ(λ<1),畫(huà)面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最??？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。?BR> 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目.
知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí).
錯(cuò)解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
解：設(shè)畫(huà)面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即λ=<1)時(shí)S取得最小值.此時(shí)高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm.
如果λ∈［］可設(shè)≤λ1<λ2≤,則由S的表達(dá)式得：
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增.
從而對(duì)于λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，S(λ)取得最小值.
答：畫(huà)面高為88 cm,寬為55 cm時(shí)，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，所用紙張面積最小.
［例2］已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞
(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.
(2)若對(duì)任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★級(jí)題目.
知識(shí)依托：本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類(lèi)討論的思想.
錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.
技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類(lèi)討論思想解得.
(1)解：當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)，
∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=.
(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞
當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=3+a,
當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.