【知識(shí)回顧】
1.二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。
2.最簡二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：
⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式； ⑵被開方數(shù)中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。
4.二次根式的性質(zhì)：
（1）（ ）2= （ ≥0）； （2）
5.二次根式的運(yùn)算：
（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式．
= • （a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．
【典型例題】
1、概念與性質(zhì)
例1下列各式1） ，
其中是二次根式的是_________（填序號）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范圍
（1） ；（2）
例3、 在根式1) ，最簡二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例4、已知：
例5、 （2009龍巖）已知數(shù)a，b，若 =b－a，則 ( )
A. a>b B. a 2、二次根式的化簡與計(jì)算
例1. 將 根號外的a移到根號內(nèi)，得 ( )
A. ； B. － ； C. － ； D.
例2. 把（a－b）－1a－b 化成最簡二次根式
例3、計(jì)算：
例4、先化簡，再求值：
，其中a= ，b= ．
例5、如圖，實(shí)數(shù) 、 在數(shù)軸上的位置，化簡 ：
4、比較數(shù)值
（1）、根式變形法
當(dāng) 時(shí)，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。
例1、比較 與 的大小。
（2）、平方法
當(dāng) 時(shí)，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。
例2、比較 與 的大小。
（3）、分母有理化法
通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
例3、比較 與 的大小。
（4）、分子有理化法
通過分子有理化，利用分母的大小來比較。
例4、比較 與 的大小。
（5）、倒數(shù)法
例5、比較 與 的大小。
（6）、媒介傳遞法
適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。
例6、比較 與 的大小。
（7）、作差比較法
在對兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：
① ；②
例7、比較 與 的大小。
（8）、求商比較法
它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，則：
① ； ②
例8、比較 與 的大小。
5、規(guī)律性問題
例1. 觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
， 驗(yàn)證： ；
驗(yàn)證: .
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想 的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.
1.二次根式：式子 （ ≥0）叫做二次根式。
2.最簡二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：
⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式； ⑵被開方數(shù)中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。
4.二次根式的性質(zhì)：
（1）（ ）2= （ ≥0）； （2）
5.二次根式的運(yùn)算：
（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式．
= • （a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．
【典型例題】
1、概念與性質(zhì)
例1下列各式1） ，
其中是二次根式的是_________（填序號）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范圍
（1） ；（2）
例3、 在根式1) ，最簡二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例4、已知：
例5、 （2009龍巖）已知數(shù)a，b，若 =b－a，則 ( )
A. a>b B. a 2、二次根式的化簡與計(jì)算
例1. 將 根號外的a移到根號內(nèi)，得 ( )
A. ； B. － ； C. － ； D.
例2. 把（a－b）－1a－b 化成最簡二次根式
例3、計(jì)算：
例4、先化簡，再求值：
，其中a= ，b= ．
例5、如圖，實(shí)數(shù) 、 在數(shù)軸上的位置，化簡 ：
4、比較數(shù)值
（1）、根式變形法
當(dāng) 時(shí)，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。
例1、比較 與 的大小。
（2）、平方法
當(dāng) 時(shí)，①如果 ，則 ；②如果 ，則 。
例2、比較 與 的大小。
（3）、分母有理化法
通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
例3、比較 與 的大小。
（4）、分子有理化法
通過分子有理化，利用分母的大小來比較。
例4、比較 與 的大小。
（5）、倒數(shù)法
例5、比較 與 的大小。
（6）、媒介傳遞法
適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。
例6、比較 與 的大小。
（7）、作差比較法
在對兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：
① ；②
例7、比較 與 的大小。
（8）、求商比較法
它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，則：
① ； ②
例8、比較 與 的大小。
5、規(guī)律性問題
例1. 觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
， 驗(yàn)證： ；
驗(yàn)證: .
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想 的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.