為大家整理了高二數(shù)學(xué)函數(shù)的概念，供大家學(xué)習(xí)閱讀參考。
一.知識網(wǎng)絡(luò)
二.高考考點(diǎn)
1.映射中的象與原象的概念;
2.分段函數(shù)的問題:定義域、值域以及相關(guān)的方程或不等式的解的問題;
3.復(fù)合函數(shù)的解析式、圖象以及相關(guān)的最值等問題;
4.分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.
三.知識要點(diǎn)
(一)函數(shù)的定義
1、傳統(tǒng)定義:設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y,如果對于某一范圍內(nèi)x的每一個值,y都有的值和它對應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量(函數(shù)).
2、現(xiàn)代定義:設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x ,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱 f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函數(shù)的值域.
3、認(rèn)知:
①注意到現(xiàn)代定義中"A、B是非空數(shù)集",因此,今后若求得函數(shù)定義域或值域?yàn)棣?則此函數(shù)不存在.
②函數(shù)對應(yīng)關(guān)系、定義域和值域是函數(shù)的三要素,缺一不可.在函數(shù)的三要素中,對應(yīng)關(guān)系是核心,定義域是基礎(chǔ),當(dāng)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定之后,其值域也隨之確定.
(二).映射的概念
將函數(shù)定義中的兩個集合從非空數(shù)集擴(kuò)展到任意元素的集合,便得到映射概念.
1、定義1:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個元素,在集合B中都有的元素和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合A、B及集合A到集合B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作 f：A→B
2、定義2:給定一個集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b對應(yīng),則將元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在給定映射下有 f：a→b,則b叫做a的象,a叫做b的原象.
3、認(rèn)知:
映射定義的精髓在于"任一(元素)對應(yīng)(元素)",即A中任一元素在B中都有的象.在這里,A中元素不可剩,允許B中有剩余；不可"一對多",允許"多對一".因此,根據(jù)B中元素有無剩余的情況,映射又可分為"滿射"和"非滿射"兩類.
集合A到集合B的映射 f：A→B是一個整體,具有方向性； f：A→B 與 f：B→A 一般情況下是不同的映射.
（三）、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法和口頭描述法.
1、解析法:把兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用一個等式來表示,這個等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式.
2、列表法:列出表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法.運(yùn)用列表法表示的,多是理論或?qū)嶋H生活中偏于實(shí)用的函數(shù).
3、圖象法:用函數(shù)圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.
圖象法直現(xiàn)形象地表示出函數(shù)的變化情況,是數(shù)形結(jié)合的典范.只是它不能精確表示自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系.
認(rèn)知:函數(shù)符號的意義
在函數(shù)的概念中,我們用符號"y=f(x)"表示"y是x的函數(shù)"這句話.
其中,對于運(yùn)用解析法給出的函數(shù)y=f(x),其對應(yīng)法則"f"表示解析式蘊(yùn)含的對自變量x施加的"一套運(yùn)算的法則",即一套運(yùn)算的框架.
具體地,對于函數(shù)f(x)=5 -2x+3(x>1) ① 對應(yīng)法則"f"表示這樣一套運(yùn)算的框架:5( ) －2（?。?，（?。荆保?BR> 即f: 5( ) -2( )+3,( )>1. 據(jù)此,我們可分別對函數(shù)值與函數(shù)表達(dá)式作以詮釋和辯析:
f(a):對自變量x的取值a實(shí)施上述運(yùn)算后的結(jié)果,故有f(a)=5 -2a+3 (a>1);
f(x):對自變量x實(shí)施上述運(yùn)算后的結(jié)果,故有f(x)=5 -2x+3 (x>1);
f(g(x)):對函數(shù)g(x)實(shí)施上述運(yùn)算后的結(jié)果,于是有 f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 ) ②
感悟:函數(shù)符號意義之下的產(chǎn)物或推論有比較才能有鑒別,有品味才能有感悟.我們仔細(xì)地比較和品味①、②,不難從中悟出這樣的代換規(guī)律:
f(x)的解析式f[g(x)]的表達(dá)式
我們將上述替換形象地稱之為"同位替換".
顯然,同位替換是在函數(shù)符號的意義下產(chǎn)生的函數(shù)特有的替換,它源于"等量替換"，又高于"等量替換"，對于同位替換,在兩式不可能相等的條件下仍可操作實(shí)施,這是"等量替換"所不能比擬的.由f(x)的解析式導(dǎo)出f(x+1)的解析式,便是辯析兩種替換的一個很好的范例.
四.經(jīng)典例題
例1.如右圖,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直線l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的圖形面積為S,則函數(shù)S=f(t)的大致圖象是以下圖形中( )
分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函數(shù)式.直線OA的方程為y=2x, 故當(dāng)0≤t≤1時,?。螅?，,由此否定A,B,D,應(yīng)選C.
分析2:運(yùn)用運(yùn)動的觀點(diǎn),感悟函數(shù)圖象所反映的函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的狀態(tài).
當(dāng)l在Ｏ,D之間運(yùn)動時,S隨著t的增加而增加,并且增加的速度越來越快,即ΔS1, ΔS2..., ΔSn是遞增的(ΔSi是單位時間內(nèi)面積的增量),故排除A和B,對于C和D,由t∈[0,1]時f(t)= 的凹凸性可排除D,故應(yīng)選C.
例2.如圖所示,梯形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一條與y軸平行的直線ｌ從點(diǎn)O開始作平行移動,到點(diǎn)A為止.設(shè)直線ｌ與x軸的交點(diǎn)為M,OM=x,并記梯形被直線ｌ截得的在左側(cè)的圖形面積為y,求函數(shù) y=f(x)的解析式,定義域及值域.
分析:如圖,由于點(diǎn)M位置的不同,所得圖形的形狀與面積不同,故需要分類討論,注意到?jīng)Q定ｌ左側(cè)圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn),故以x=2,4 分劃討論的區(qū)間.
解: (1)當(dāng)0≤x≤2時,上述圖形是一等腰RtΔ,此時, ｙ＝ ,即 ;
(2)當(dāng)2
由此可知,f(x)的定義域?yàn)閇0,2]∪ ∪ =[0,6].
又當(dāng)0≤x≤2時, ,即此時0≤y≤2; 當(dāng)2
例3. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式; (2)已知 ,求f(x＋1)的解析式.
解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x>2) ∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x>1/2 )
(2)由已知得 ∴以x替代上式中的 得 f(x)=x2-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1)2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x2+2x (x≥0)
點(diǎn)評:上述求解也可運(yùn)用換元法,但是,不論是"換元法",還是上面實(shí)施的"同位替換",它們都包括兩個方面的替換:
(1)解析式中的替換; (2) 取值范圍中的替換. 根據(jù)函數(shù)三要素的要求,這兩個方面的替換缺一不可.
例4. 設(shè)y=f(2x+1)的定義域?yàn)閇-1,1],f(x-1)=x2,試求不等式f(1-x)
∴運(yùn)用"同位替換"的思想 在f(x-1)中應(yīng)有-1≤x-1≤3?、佟 ∮钟深}設(shè)知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1?、?BR> ∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 (-1≤x-1≤3) ∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1 (-1≤1-x≤3) 即f(1-x)=x2-4x+4 (-2≤x≤2)
于是有f(1-x)
例5. (1)設(shè)A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
①若映射f滿足f(a)>f(b)≥f(c),則映射f的個數(shù)為 ;
②若映射f滿足f(a)+f(b)+f(c)=0,則映射f的個數(shù)為 ;
③若映射f滿足 f(a)-f(b)=f(c), 則映射f的個數(shù)為 .
(2)設(shè)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},從A到B的映射f滿足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),則映射f的個數(shù)為 .
分析:注意到f(a)的意義:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.為便于梳理思路,解答這類題經(jīng)常運(yùn)用列表法或分類討論的方法.
解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
根據(jù)映射的定義,以f(a)取值從大到小的次序列表考察: f(a) f(b) f(c) 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合條件的映射是4個.
②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三個元素之和為0的情形只有兩種:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(從小到大)為主線列表考察 f(a) f(b) f(c) 0 0 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 1 -1 0 -1 1 0 -1 0 1
由此可知符合條件的映射有7個.
③分類討論：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它兩個元素的象的和.以象集合元素的個數(shù)為主線(從小到大)展開討論.
（ i ）當(dāng)象集合為單元素集合時,只有象集{0}滿足已知條件,此時符合條件的映射f只有1個.
（ ii ）當(dāng)象集合為雙元素集合時,滿足條件的象集合為{-1,0}或{1,0} {-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
此時符合條件的映射有4個.
（ iii ）當(dāng)象集合為三元素集合時,滿足條件的象集合為{-1,0,1} {-1,0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1∴此時符合條件的映射f有2個
于是綜合(i)、(ii)、(iii)得符合條件的映射f的個數(shù)為7.
(2)分類討論:以象集合中元素的個數(shù)(從小到大)為主線展開討論.
(i)當(dāng)象集合為單元素集時,象集為{6}或{7}或{8},故此時滿足條件的映射f有3個;
(ii)當(dāng)象集合為雙元素集時,先將A中元素分為兩組,有 種分法,又每兩組的象有3種情形,故此時符合條件的映射f有 ×3=12個;
(iii)當(dāng)象集合為三元素集時,先將A中元素分為3組,有 種分法，又每三組的象只有1種情形,故此時符合條件的映射f有 ×1=6個。于是綜合(i)、(ii)、(iii)得符合條件的映射f的個數(shù)為3+12+6=21.
點(diǎn)評:在認(rèn)知f(λ)(λ∈A)的意義以及題設(shè)條件的意義的基礎(chǔ)上,以象集元素的個數(shù)(從小到大)為主線展開討論,是解決此類映射問題的通用方法(通性通法),請同學(xué)們在今后的解題中注意應(yīng)用.
例6. 已知函數(shù)f(t)對任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值; (2)試求滿足f(t)=t的整數(shù)t的個數(shù),并說明理由.
分析:這是未給出具體的函數(shù)解析式,只給出一個函數(shù)恒等式.注意到這一恒等式的一般性,循著"一般"與"特殊"之間的辯證關(guān)系,想到從"特殊"(特殊取值或特殊關(guān)系)入手去*"一般",以尋出目標(biāo).
解: (1)為了出現(xiàn)f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1) ?、佟∮至顇=0,y=0得f(0)=-1 ②
令x=-1,y=-1得 f(-2)=2f(-1)+2 ∵f(-2)=-2, ∴f(-1)=-2 ③ ∴將②、③代入①得f(1)=1.
(2)為利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2 ∴當(dāng)t∈Z時,有f(t+1)-f(t)=t+2?、?BR> 根據(jù)④,運(yùn)用階差法得 f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)] ∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+ 即f(t)= ∴f(t)=t t2+t-2=0 (t-1)(t+2)=0 t=1或t=-2
于是可知,滿足f(t)=t的整數(shù)t只有兩個:t=-2,t=1.
點(diǎn)評: 函數(shù)f(x)當(dāng)x取正整數(shù)時的問題，即為數(shù)列問題.所以,這里運(yùn)用(或借鑒)了數(shù)列求和的思想或方法(階差法或分項(xiàng)法).看透問題,把握本質(zhì),解題時方能聯(lián)想順暢,入手準(zhǔn)確.這是我們始終所追求的境界.
五. 高考真題
(一)選擇題
1. 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x這四個函數(shù)中,當(dāng)0
分析:運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,考察各函數(shù)的圖象.注意到對任意x1,x2∈I,且x1
A. B. C. D.
分析:運(yùn)用直接法． 令 =t，則x= (t≠-1), ∴f(t)= (t≠-1)∴f(ｘ)= (x≠-1) 應(yīng)選C
說明:注意到對于 ,有 =－1+ ≠-1,∴對于 f(x)應(yīng)有x≠-1.若選項(xiàng)中的函數(shù)附加定義域,則從定義域入手篩選為上乘解法.
3. 設(shè)函數(shù)f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)為( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
分析: 從確定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴方程f(x)=x 或 或x=2 或x=2, 故本題應(yīng)選C
4.設(shè)函數(shù)f(x)= ,則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為( )
A. ∪[0,10] B. ∪[0,1] C. ∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10]
分析:注意到解決分段函數(shù)的基本策略:分段研究,綜合結(jié)論.
f(x)≥1 或 x≤-2 或 0≤x≤10,故應(yīng)選A
運(yùn)用特取法:取 ,則 ,由此否定C,D;取x=2,得 ,由此否定B,故本題應(yīng)選A
(二)填空題
1.已知a,b為常數(shù),若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,則5a-b= .
分析: 由f(x)=x2+4x+3得 f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
∴由已知條件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3= x2+10x+24
故有 ∴5a-b=2
2. 對于函數(shù)定義域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下結(jié)論:
① f(x1+x2)= f(x1)・f(x2) ?、?f(x1・x2)= f(x1)+f(x2)
③ ; ?、?.
當(dāng)f(x)=lgx時,上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是 .
分析:根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則知②正確,①不正確; 借助f(x)=lgx的圖象,考察 的幾何意義;經(jīng)過點(diǎn)(x1, f(x1)),( x2, f(x2))的直線的斜率,可知③正確;注意到f(x)=lgx的圖象"上凸",可知④正確.故本題應(yīng)填②、③、④.
3.已知 ,則不等式x+(x+2)・f(x+2)≤5的解集是 .
分析: 注意到原不等式中"f"之下的式子為(x+2),為利用已知條件化抽象為具體,故從x+2的符號或取值入手進(jìn)行討論和等價轉(zhuǎn)化. 原不等式 或 或 x<-2
∴原不等式的解集為 .
(三)解答題
1. 已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)=x2+2x.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式; (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
分析: 求"對稱曲線"的函數(shù)式或方程,基本策略是從點(diǎn)的對稱切入探求.而對于含有絕對值的不等式,在運(yùn)用公式或平方去掉絕對值不能實(shí)現(xiàn)時,"分類討論"乃是解題取勝的殺手锏.
解: (1)設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0)為y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P(x,y),則有
?、佟 唿c(diǎn)Q(x0,y0)在函數(shù)y=f(x)圖象上 ∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
即 y=-x2+2x 故有g(shù)(x)=-x2+2x
(2) g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0 當(dāng)x≥1時,2x2-x+1≤0, 此不等式無解; 當(dāng)x<1時, 2x2+x-1≤0 .
∴原不等式的解集為 .
點(diǎn)評:以"點(diǎn)對稱"入手*對稱問題,以"絕對值的零值"分劃討論的區(qū)間,這都是解決相關(guān)問題的基本策略.
2.已知函數(shù)f(x)=kx+b的圖象與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B, = ( 分別是與x、y軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù)g(x)=x2-x-6
(1) 求k、b的值; (2) 當(dāng)x滿足f(x)>g(x)時,求函數(shù) 的最小值.
分析:對于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故從探求A、B點(diǎn)坐標(biāo)切入,利用 = 建立方程或方程組;對于(2),則要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，探求所給函數(shù)的最小值.
解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),從而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 ∴所求k=1,b=2.
(2) f(x)>g(x) x+2>x2-x-6 x2-2x-8<0 -2
又由①知 0
∴函數(shù) 的最小值為-3.
點(diǎn)評:在這里,運(yùn)用不等式求所給函數(shù)的最小值,函數(shù)式的分離整式項(xiàng)的變形至關(guān)重要.一般地,當(dāng)分子次數(shù)等于分母次數(shù)時,分式可分離出一個常數(shù)項(xiàng);當(dāng)分子次數(shù)大于分母次數(shù)時,分式可分離出一個整式項(xiàng)."分離"整式項(xiàng)的手法,是在分子實(shí)施"配湊",將分子表示為分母的函數(shù)式.
3.已知函數(shù)f(x)= (a,b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個實(shí)根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)k>1,解關(guān)x的不等式 .
分析: 對于(1),從已知方程的實(shí)根入手推理.對于(2),則要注意求解分式不等式的基本過程:移項(xiàng)-通分-分解因式-轉(zhuǎn)化(為整式不等式)-求解.這是解決這類問題的規(guī)范性、完整性以及完解完勝的基礎(chǔ)與保障.
解: (1) f(x)-x+12=0 -x+12=0 將x1=3,x2=4代入方程得 解得 ∴f(x)=
(2)原不等式 f(x)- (2-x)[ ]<0
(x-2)(x-1)(x-k)>0※
(I) 當(dāng)1
(III)當(dāng)k>2時,由(※)得1
點(diǎn)評:本題突出考察分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想.在解高次不等式時,若采用"根軸法"，則可使解答更為快捷準(zhǔn)確,請同學(xué)們一試.
4.對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x), y=g(x),規(guī)定:函數(shù)
(1) 若函數(shù)f(x)= ,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式; (2) 求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;
(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常數(shù),且 ∈ ,請?jiān)O(shè)計(jì)一個定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)及一個 的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.
分析: 對于(1),注意到h(x)為分段函數(shù),探求函數(shù)解析式要立足于"分段探求,綜合結(jié)論"的基本策略.對于(3),這里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表達(dá)式以及此時f(x),g(x)的定義域均為R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展開聯(lián)想與探求,這里的探求自然是從cos4x的"一分為二"的變形入手.
解: (1)這里Df=(-∞,1)∪(1,+∞) Dg=R ∴當(dāng)x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 時， ;
當(dāng)x Df且x ∈ Dg,即x=1時,h(x)=g(x)=1; 又x∈Df且x Dg的x不存在,故得
(2)當(dāng)x≠1時, =(x-1)+ +2 ∴若x>1, 則x-1>0, h(x)≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立;
若x<1, 則 x-1<0, 故有h(x)≤0, 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立. 又當(dāng)x=1時,h(x)=1.
∴函數(shù)h(x)的值域?yàn)?∪{1}∪ .
(3)由題意得h(x)=f(x) f(x+ ) ?、?BR> 又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x) ?、?BR> ∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) = 則有g(shù)(x)= f(x+ )= = cos2x－sin2x
于是有 h(x)=f(x) f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)= cos22x-sin22x=cos4x.
點(diǎn)評: (I) 對于 (1),務(wù)必要注意逐段考察, 不可忽略f(1)=1.
(II) 既要注意(3)中g(shù)(x)=f(x+ ),又要注意大前提下的h(x)的表達(dá)式,雙方結(jié)合推出h(x)=f(x) f(x+ ).至此,解題的難點(diǎn)得以突破,問題便歸結(jié)為將cos4x化為互有關(guān)聯(lián)的兩式之積的三角變換.
5. 已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間的距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x) (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; (2)證明: 當(dāng)a>3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個實(shí)數(shù)解.
分析: 由于二次函數(shù)與反比例函數(shù)的形式確定,故運(yùn)用"待定系數(shù)法"探求f1(x)與f2(x);對于(2),當(dāng)對方程f(x)=f(a)直接求解感到困難時,要想到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,適時轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
解: (1)由題意設(shè)f1(x)=ax2, f2(x)= (k>0), 由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2 又y=f2(x)的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A ,B ,則由|AB|=8得k=8,故f2(x)= ∴ f(x)=x2+
(2) 證法一: 由f(x)=f(a)得x2+ = =－x2+
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)= 與f3(x)= －x2+ 的大致圖象,注意到f2(x)= 的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)= －x2+ 的圖象則是以點(diǎn)(0, )為頂點(diǎn),開口向下的拋物線.因此f2(x)= 與f3(x)= －x2+ 的圖象在第三象限有一個交點(diǎn), 即f(x)=f(a)有一個負(fù)數(shù)解.?、?BR> 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4 ∴當(dāng)a>3時, f3(2)－f2(2)= -8>0,
∴當(dāng)a>3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2, f3(2))在y=f2(x) 圖象的上方.
∴y=f2(x)與y=f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點(diǎn). 即方程f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解. ?、?BR> 于是由①、②知,當(dāng)a>3時,方程f(x)=f(a)有三個實(shí)數(shù)解.
證法二: 由f(x)=f(a)得x2+ = (x-a)(x+a- )=0
∴x=a為方程f(x)=f(a)的一個實(shí)數(shù)解. ?、?BR> 又方程 x+a- =0可化為ax2+ －8=0?、?BR> 由a>3得方程②的判別式Δ=a4+32a>0
∴由②解得x2= ,x3=
∵x2<0. x3>0, ∴x1≠x2 且x2≠x3 ?、?BR> 此時,若x1= x3,則有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a=
這與a>3矛盾,故有x1≠ x3 ?、?BR> 于是由①、③、④知,原方程有三個實(shí)數(shù)解.
點(diǎn)評:以上兩種解法各有短長.解法一轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,顯直觀靈活,但本題的求解頭緒較多且比較隱蔽;解法二立足于求解方程,感覺踏實(shí)穩(wěn)健,但有時會招致復(fù)雜的運(yùn)算.對于所給相關(guān)問題究竟選擇哪一種解法為上,則要具體情況具體分析,不可一概而論.