2016年高一數(shù)學(xué)必修二知識點(diǎn)總結(jié)

一、直線與方程
    （1）直線的傾斜角
    定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180° （2）直線的斜率
    ①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
    當(dāng)0,90時，k0； 當(dāng)90,180時，k0； 當(dāng)90時，k不存在。
    yy1
    (x1x2) ②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k2
    x2x1注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°； (2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；
    (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 （3）直線方程
    ①點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點(diǎn)x1,y1
    注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。
    當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。
    ②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b ③兩點(diǎn)式：④截矩式：
    yy1y2y1
    xay
    
    xx1x2x1
    （x1x2,y1y2）直線兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2
    1 b
    其中直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。
    ⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）
    1各式的適用范圍 ○2特殊的方程如： 注意：○
    平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 （一）平行直線系
    平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：
    A0xB0yC0（C為常數(shù)）
    （二）過定點(diǎn)的直線系
    （?。┬甭蕿閗的直線系：yy0kxx0，直線過定點(diǎn)x0,y0；
    （ⅱ）過兩條直線l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為
    ，其中直線l2不在直線系中。 A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時， l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21
    注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。 （7）兩條直線的交點(diǎn)
    l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組
    A1xB1yC10
    的一組解。
    A2xB2yC20
    方程組無解l1//l2 ； 方程組有無數(shù)解l1與l2重合 （8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，B是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點(diǎn)，
    （x2,y2）
    則|AB|
    （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離d（10）兩平行直線距離公式
    在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。
    
    Ax0By0C
    AB
    2
    2
    二、圓的方程
    1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的
    半徑。
    2、圓的方程
    （1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心a,b，半徑為r；
    2
    2
    （2）一般方程x2y2DxEyF0 當(dāng)DE
    22
    2
    4F0時，方程表示圓，此時圓心為
    
    
    2
    2
    D2
    ,
    1E，半徑為r
    22
    D
    2
    E
    2
    4F
    當(dāng)DE4F0時，表示一個點(diǎn)； 當(dāng)DE4F0時，方程不表示任何圖
    形。
    （3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；
    另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系：
    直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：
    （1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為
    d
    AaBbCAB
    2
    2
    2
    ，則有drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交
    2
    2
    （2）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有
    0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交
    2
    注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。
    (3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：
    22
    ①圓x2+y2=r，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為xx0yy0r (課本命題)．
    2222
    ②圓(x-a)+(y-b)=r，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r (課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2 兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 當(dāng)dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；
    當(dāng)dRr時兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當(dāng)RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線； 當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線； 當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d0時，為同心圓。
    三、立體幾何初步
    1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
    （1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共
    邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
    分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
    表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱
    'AD
    幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且
    相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
    （2）棱錐
    定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體
    分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
    表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PABCDE
    幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到
    截面距離與高的比的平方。
    （3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
    '''''
    表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺PABCDE
    幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn) （4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
    幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖
    是一個矩形。
    （5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何
    體
    '
    '
    '
    '
    '
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    幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個扇形。 （6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分 幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個弓形。 （7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖
    定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、 俯視圖（從上向下）
    注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；
    側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
    3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
    斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；
    ②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
    4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
    （1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
    （2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）
    '
    S直棱柱側(cè)面積
    S正棱臺側(cè)面積
    12
    ch S圓柱側(cè)2rh S正棱錐側(cè)面積
    (c1c2)h' S圓臺側(cè)面積(rR)l
    
    12
    ch' S圓錐側(cè)面積
    rl
    S圓柱表2rrl S圓錐表rrl S圓臺表r2rlRlR2
    （3）柱體、錐體、臺體的體積公式 V柱Sh V圓柱Sh
    V臺
    
    13(S
    '
    2
    1
    r h V錐Sh V圓錐1r2h
    3
    3
    S)h V圓臺
    13
    (S
    '
    S)h
    13
    (rrRR)h
    22
    （4）球體的表面積和體積公式：V球4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
    =
    43
    R
    3
    ； S
    球面
    =4R2
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    （1）平面
    ① 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的；
    ② 平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）；
    也可以用兩個相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。
    ③ 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A 點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：A∈l； 點(diǎn)A在直線l外，記作Al；
    直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。 （2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。
    （即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）
    應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)
    用符號語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl （3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。
    推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
    公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù) （4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線
    符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
    符號語言：PABABl,Pl 公理3的作用：
    ①它是判定兩個平面相交的方法。
    ②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線公共點(diǎn)。 ③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個點(diǎn)共線的重要依據(jù)。 （5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 （6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系
    ① 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 ② 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。
    ③ 異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 ④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。 說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理 （2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。 ②求異面直線所成角步驟：
    A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
    （7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系
    直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(diǎn)．
    第5 / 7頁
    三種位置關(guān)系的符號表示：aα a∩α＝A a∥α
    （9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；α∥β
    相交——有一條公共直線。α∩β＝b
    5、空間中的平行問題
    （1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
    線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。
    線線平行線面平行
    線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，
    那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行
    （2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個平面平行的判定定理
    （1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
    （線面平行→面面平行），
    （2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。 （線線平行→面面平行），
    （3）垂直于同一條直線的兩個平面平行， 兩個平面平行的性質(zhì)定理
    （1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行） （2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行） 7、空間中的垂直問題
    （1）線線、面面、線面垂直的定義 ①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。 ②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。
    ③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。 （2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 ②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
    判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。
    9、空間角問題
    （1）直線與直線所成的角
    ①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。
    ②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 ③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
    （2）直線和平面所成的角
    
    ①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。 ②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。 ③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
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    在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線， 在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 （3）二面角和二面角的平面角 ①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
    兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 ④求二面角的方法
    定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個點(diǎn)分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角 7、空間直角坐標(biāo)系
    （1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點(diǎn)， 分別以O(shè)D,OA,,OB的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。 這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
    1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸. 3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。
    （2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。
    （3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z) 叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)）
    （4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2