高一必修2重要知識點(diǎn)復(fù)習(xí)
第1課時(shí) 曲線運(yùn)動 質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動
基礎(chǔ)知識回顧
1．曲線運(yùn)動
（1）曲線運(yùn)動中的速度方向
做曲線運(yùn)動的物體，速度的方向時(shí)刻在改變，在某點(diǎn)（或某一時(shí)刻）（2）曲線運(yùn)動的性質(zhì)
由于曲線運(yùn)動的速度方向不斷變化，所以曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動，一定存在加速度． （3）物體做曲線運(yùn)動的條件
物體所受合外力（或加速度）的方向與它的速度方向不在同一直線上．
①如果這個(gè)合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力為恒力，物體就做勻變速曲線運(yùn)動，如平拋運(yùn)動．
②如果這個(gè)合外力大小恒定，方向始終與速度垂直，物體就做勻速圓周運(yùn)動．
③做曲線運(yùn)動的物體，其軌跡向合外力所指一方彎曲．根據(jù)曲線運(yùn)動的軌跡，可以判斷出物體所受合外力的大致方向．
說明：當(dāng)物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為銳角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動速率將增大，當(dāng)物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為鈍角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動的速率將減?。?BR> 2．運(yùn)動的合成與分解
（1）合運(yùn)動與分運(yùn)動的特征
①等時(shí)性：合運(yùn)動和分運(yùn)動是同時(shí)發(fā)生的，所用時(shí)間相等．
②等效性：合運(yùn)動跟幾個(gè)分運(yùn)動共同疊加的效果相同． ③獨(dú)立性：一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動，各個(gè)分運(yùn)動獨(dú)立進(jìn)行，互不影響．
（2）已知的分運(yùn)動來求合運(yùn)動，叫做運(yùn)動的合成，包括位移、速度和加速度的合成．遵循平行四邊形定則． ①兩分運(yùn)動在同一直線上時(shí)，先規(guī)定正方向，凡與正方向相同的取正值，相反的取負(fù)值，合運(yùn)動為各分運(yùn)動的代數(shù)和．
②不在同一直線上，按照平行四邊形定則合成（如圖4-1-1示）．
圖4-1-1
③兩個(gè)分運(yùn)動垂直時(shí)，正交分解后的合成為
sv合
合
a合 （3）已知合運(yùn)動求分運(yùn)動，叫運(yùn)動的分解，解題時(shí)應(yīng)
按實(shí)際“效果”分解，或正交分解．
重點(diǎn)難點(diǎn)例析
一、怎樣確定物體的運(yùn)動軌跡？
1．同一直線上的兩分運(yùn)動（不含速率相等，方向相反情形）的合成，其合運(yùn)動一定是直線運(yùn)動． 2．不在同一直線上的兩分運(yùn)動的合成．
（1）若兩分運(yùn)動為勻速運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻速運(yùn)動．
（2）若兩分運(yùn)動為初速度為0的勻變速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻變速直線運(yùn)動．
（3）若兩分運(yùn)動中，一個(gè)做勻速運(yùn)動，另一個(gè)做勻變速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻變速曲線運(yùn)動（如平拋運(yùn)動）．
（4）若兩分運(yùn)動均為初速度不為0的勻加（減）速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動不一定是勻加（減）速直線運(yùn)動，如圖4-1-2、圖4-1-3所示）．圖4-1-2情形為勻變速曲線運(yùn)動；圖4-1-3情形為勻變速直線運(yùn)動（勻減速情形圖未畫出），此時(shí)有
v1a1．v
2a2
v
圖4-1-2 圖 4-1-3
【例1】關(guān)于不在同一直線的兩個(gè)初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，下列說法正確的是（ ） A．一定是直線運(yùn)動 B．一定是曲線運(yùn)動
C．可能是直線運(yùn)動，也可能是曲線運(yùn)動 D．一定是勻變速運(yùn)動
【解析】兩個(gè)分運(yùn)動的加速度恒定，因此合加速度是
恒定的，所以合運(yùn)動的性質(zhì)一定是勻變速運(yùn)動；當(dāng)合速度與合加速度在一條直線上時(shí)，合運(yùn)動是直線運(yùn)動，當(dāng)合速度與合加速度不在一條直線上時(shí)，合運(yùn)動是曲線運(yùn)動．所以CD正確． 【答案】CD
【點(diǎn)撥】兩直線運(yùn)動的合運(yùn)動的性質(zhì)和軌跡，由兩個(gè)因素決定：一是分運(yùn)動的性質(zhì)，二是合運(yùn)動的初速度與合運(yùn)動的加速度方向
拓展
如圖4-1-4圖示，物體在恒力F作用下沿曲b 線從A運(yùn)動到B，這時(shí)突然使它所受的力方向改圖4-1-4
變而大小不變（即由F
變?yōu)?F），在此力作用下物體以后運(yùn)動情況，下列說法正確的是（ ）
A．物體不可能沿曲線Ba運(yùn)動 B．物體不可能沿直線Bb運(yùn)動 C．物體不可能沿曲線Bc運(yùn)動 D．物體不可能沿原曲線由B返回A 【解析】物體在A點(diǎn)時(shí)的速度vA沿A點(diǎn)切線方向，物體在恒力F作b
用下沿曲線AB運(yùn)動，此力F必有垂直于vA的分量，即力F只可
圖4-1-5
能沿為圖中所示的各種方向之一；當(dāng)物體運(yùn)動到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，瞬時(shí)速度vB沿B點(diǎn)的切線方向，這是時(shí)受力F/=-F，即F/只可能為圖中所示的方向之一；可知物體以后只可能沿曲線Bc運(yùn)動． 【答案】ABD
二、船過河問題的分析與求解方法
1．處理方法：船在有一定流速的河中過河時(shí)，實(shí)際上參與了兩個(gè)方向的運(yùn)動，即隨水流的運(yùn)動（水沖船的運(yùn)動）和船相對水的運(yùn)動（即在靜水中的船的運(yùn)動），船的實(shí)際運(yùn)動是合運(yùn)動． 2．對船過河的分析與討論．
設(shè)河寬為d，船在靜水中速度為v船，水流速為v水． （1）船過河的短時(shí)間 如圖4-1-6所示，設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意夾角θ，這時(shí)船速在垂直河岸方向的速度分量為
圖
4-1-6 v1=v船sinθ，則過河時(shí)間為tdd，可以看出，
v1v船sind、v船一定時(shí)，t隨sinθ增大而減??；當(dāng)θ=90°時(shí)，即船頭與河岸垂直時(shí)，過河時(shí)間短td
min
v．到達(dá)對船
岸時(shí)船沿水流方向位移x=v水tmin=v水d．
v船
（2）船過河的短位移 ①v船>v水
如圖4-1-6所示，設(shè)船頭斜指向上游，與河岸夾角θ．當(dāng)船的合速度垂直于河岸時(shí)，此情形下過河位移短，且短位移為河寬d．此時(shí)有v船cosθ=v水，即arccosv水
． v船
②v船 x
如圖4-1-7所示，無論 船向哪一個(gè)方向開，船不可 能垂直于河岸過河．設(shè)船頭 與河岸成θ角，合速度v合與 河岸成α角．可以看出：α角 圖4-1-7
越大，船漂下的距離x越
短，那么，在什么條件下α角大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當(dāng)v合與圓相切時(shí)，α角大，根據(jù)cosv船，船頭與河岸的夾角應(yīng)為
v水
arccos
v船
， v水
船沿河漂下的短距離為：
x)dmin(v水v船cos．
v船sin此情形下船過河的短位移：sd
vcos水vd． 船
【例2】如圖4-1-8所 3m
示，一條小船位于200m 寬的河的正中點(diǎn)A處， 從這里向下游100
m
處有一危險(xiǎn)區(qū)，當(dāng)時(shí)水流速度為4.0m/s，為了使小船避開危險(xiǎn)區(qū)沿直線到
達(dá)對岸，小船在靜水中的速度至少是（ ） A．
43m/s B．83
m/s C．2.0m/s D．4.0m/s
【解析】如圖4-1-9所示，要使小船避開危C
險(xiǎn)區(qū)沿直線到達(dá)對岸，小船的合速度方向范圍為水平方向ABB
（不包括AB）到AC圖4-1-9
之間．由圖中幾何關(guān)
系可知，當(dāng)合速度方向沿AC，小船垂直AC開行，其在靜水中的速度?。蓤D可知，
tan
θ=30°， 故v船=v水sinθ=2.0m/s． 【答案】C
【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是確定小
船避開危險(xiǎn)區(qū)沿直線到達(dá)對岸時(shí)小船的合速度方向而做出速度矢量三角形，從圖知當(dāng)小船垂直AC開行，其在靜水中的速度?。绢}易出現(xiàn)錯(cuò)解的情形是：認(rèn)為當(dāng)小船垂直河岸開行，在靜水中的速度小，此時(shí)v船=v水tanθ
．
拓展
在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊近處O的距離為d，如戰(zhàn)士想在短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為（ ）
A．dv2 B．0
v22v2
1C．
dv1 D．dv2vv 21
【解析】摩托艇要想在短時(shí)間內(nèi)到達(dá)對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實(shí)際的運(yùn)動是相對于水的劃行運(yùn)動和隨水流的運(yùn)動的合運(yùn)動，垂直于江岸方向
的運(yùn)動速度為vd
2，到達(dá)江岸所用時(shí)間t=v；沿江岸
2
方向的運(yùn)動速度是水速v1在相同的時(shí)間內(nèi)，被水沖下的距離，即為登陸點(diǎn)距離0點(diǎn)距離 s=vdv1t=
1
v． 2
【答案】C
三、如何分解用繩（或桿）連接物體的速度？
1．一個(gè)速度矢量按矢量運(yùn)算法則分解為兩個(gè)速度，但
若與實(shí)際情況不符，則所得分速度毫無物理意義，所以速度分解的一個(gè)基本原則就是按實(shí)際效果進(jìn)行分解．通常先虛擬合運(yùn)動（即實(shí)際運(yùn)動）的一個(gè)位移，看看這個(gè)位移產(chǎn)生了什么效果，從中找到兩個(gè)分速度的方向；后利用平行四邊形畫出合速度和分速度的關(guān)系圖，由幾何關(guān)系得出他們的關(guān)系．
2．由于高中研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩（或桿）和平行于繩（或桿）兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解．
易錯(cuò)門診
【例3】如圖4-1-10所示，卡車通過定滑輪牽引河中的小船，小船一直沿水面運(yùn)動．在某一時(shí)刻卡車的速度為υ，繩AO段與水平面夾角為，不計(jì)摩擦和輪的質(zhì)量，則此時(shí)小船的水平速度多大？ O
A
圖4-1-10
【錯(cuò)解】將繩的速度按圖4-1-11所示的方法分解，則υ1即為船的水平速度υ1=υ·cosθ．
【錯(cuò)因】上述錯(cuò)誤的原因是沒有弄清船的運(yùn)動情況．船的實(shí)際運(yùn)動是水平向右的勻速運(yùn)動，每一時(shí)刻船上各點(diǎn)都有相同的水平速度而AO繩上各點(diǎn)運(yùn)動比較復(fù)雜．以連接船上的A點(diǎn)來說，它有沿繩的速度υ，也有與υ垂直的法向速度υn，即轉(zhuǎn)動分速度，A點(diǎn)的合速度υv
A即為兩個(gè)分速度的矢量和υA=
cos
．
圖4-1-11
圖4-1-12
【正解】小船的運(yùn)動為平動，而繩AO上各點(diǎn)的運(yùn)動是平動＋轉(zhuǎn)動．以連接船上的A點(diǎn)為研究對象，如圖4-1-12，A的平動速度為υ，轉(zhuǎn)動速度為υn，合速度υA即與船的平動速度相同．則由圖可以看出
υυA＝cosθ
.
【點(diǎn)悟】本題中也許學(xué)生不易理解繩上各點(diǎn)的運(yùn)動，關(guān)鍵是要弄清合運(yùn)動就是船的實(shí)際運(yùn)動，只有實(shí)際位
移 、實(shí)際加速度、實(shí)際速度才可分解，即實(shí)際位移 、實(shí)際加速度、實(shí)際速度在平行四邊形的對角線上.
B．如果v1≠0，v2≠0，那么軌跡一定是曲線 C．如果a1=a2，那么軌跡一定是直線 D．如果a1/a2=v1/v2，那么軌跡一定是直線 3．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到兩個(gè)互成銳角的力F1和F2的作用后，由靜止開始運(yùn)動，若運(yùn)動中保持二力方向不變，但F1突然增大到F2+F，則質(zhì)點(diǎn)以后（AB） A．一定做勻變速曲線運(yùn)動 B．在相等的時(shí)間內(nèi)速度的變化一定相等 C．可能做勻速直線運(yùn)動 D．可能做變加速直線運(yùn)動
4．某河水的流速與離河岸距離的變化關(guān)系如圖4-1-14甲所示．船在靜水中的速度與時(shí)間的關(guān)系如圖4-1-14乙所示．若要使船以短時(shí)間渡河，則（BD）
課堂自主訓(xùn)練
1．小船在靜水中速度為v1，今小船要渡過一條河流，過河的小船始終垂直對岸劃行，若小船劃行到河中間時(shí)，河水流速忽然由v2增大到v'2，則過河時(shí)間與預(yù)定時(shí)間相比，將（ ） A．增長 B．不變 C．縮短 D．無法確定 【解析】合運(yùn)動、分運(yùn)動都是獨(dú)立的，且具有等時(shí)性．小船渡河速度不變，則渡河時(shí)間就不變，與河水速度的變化無關(guān)，但河水流速的變化會影響船沿河岸方向的位移．選項(xiàng)B正確． 【答案】B
2．如圖4-1-13所示的塔吊臂上有 一可以沿水平方向運(yùn)動的小車A， 小車下裝有吊著物體B的吊鉤．在 小車A與物體B以相同的水平速 度沿吊臂方向勻速運(yùn)動的同時(shí)，
圖4-1-13
吊鉤將物體B向上吊起，A、B之間的距離以d=H-2t （SI）（SI表示國際單位制，式中H為吊臂離地面 的高度）規(guī)律變化，則物體做（ ） A．速度大小不變的曲線運(yùn)動 B．速度大小增加的曲線運(yùn)動 C．加速度大小方向均不變的曲線運(yùn)動 D．加速度大小方向均變化的曲線運(yùn)動
【解析】由題意，物體B在水平方向做勻速直線運(yùn)動；由d=H-2t知，它在豎直方向的位移為y=H-d=2t，因此它在該方向上做初速度為0的，加速度為4m/s勻加速直線運(yùn)動．所以它的合運(yùn)動為勻加速曲線運(yùn)動． 【答案】BC
2
2
2
甲
乙
圖4-1-14
A．船渡河的短時(shí)間是75s B．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直 C．船在河水中航行的軌跡是一條直線 D．船在河水中的大速度是5m/s
5．如圖4-1-15所示，卡車通過定滑輪牽引河中的小船，小船一直沿水面運(yùn)動．則（BC）
圖4-1-15
A．小船的速度v2總小于汽車速度v1 B．汽車速度v1總小于小船的速度v2
C．如果汽車勻速前進(jìn)，則小船加速前進(jìn) D．如果汽車勻速前進(jìn)，則小船減速前進(jìn) 6．如圖4-1-16所示，物體A和B質(zhì)量均為m，且分別與輕繩連結(jié)跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，當(dāng)用力F拉B沿水平面向右勻速運(yùn)動過程中，繩對A
的拉力的大小是（A） 圖4-1-16
A．大于mg B．等于F
2
課后創(chuàng)新演練
1．關(guān)于曲線運(yùn)動性質(zhì)的說法正確的是（ B ） A．變速運(yùn)動一定是曲線運(yùn)動 B．曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動 C．曲線運(yùn)動一定是變加速運(yùn)動
D．曲線運(yùn)動一定是加速度不變的勻變速運(yùn)動 2．兩個(gè)互成角度的勻加速直線運(yùn)動，初速度的大小分別為v1和v2，加速度分別為a1和a2，則它們的合運(yùn)動的軌跡（D）
A．如果v1=v2，那么軌跡一定是直線
第1課時(shí) 曲線運(yùn)動 質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動
基礎(chǔ)知識回顧
1．曲線運(yùn)動
（1）曲線運(yùn)動中的速度方向
做曲線運(yùn)動的物體，速度的方向時(shí)刻在改變，在某點(diǎn)（或某一時(shí)刻）（2）曲線運(yùn)動的性質(zhì)
由于曲線運(yùn)動的速度方向不斷變化，所以曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動，一定存在加速度． （3）物體做曲線運(yùn)動的條件
物體所受合外力（或加速度）的方向與它的速度方向不在同一直線上．
①如果這個(gè)合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力為恒力，物體就做勻變速曲線運(yùn)動，如平拋運(yùn)動．
②如果這個(gè)合外力大小恒定，方向始終與速度垂直，物體就做勻速圓周運(yùn)動．
③做曲線運(yùn)動的物體，其軌跡向合外力所指一方彎曲．根據(jù)曲線運(yùn)動的軌跡，可以判斷出物體所受合外力的大致方向．
說明：當(dāng)物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為銳角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動速率將增大，當(dāng)物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為鈍角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動的速率將減?。?BR> 2．運(yùn)動的合成與分解
（1）合運(yùn)動與分運(yùn)動的特征
①等時(shí)性：合運(yùn)動和分運(yùn)動是同時(shí)發(fā)生的，所用時(shí)間相等．
②等效性：合運(yùn)動跟幾個(gè)分運(yùn)動共同疊加的效果相同． ③獨(dú)立性：一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動，各個(gè)分運(yùn)動獨(dú)立進(jìn)行，互不影響．
（2）已知的分運(yùn)動來求合運(yùn)動，叫做運(yùn)動的合成，包括位移、速度和加速度的合成．遵循平行四邊形定則． ①兩分運(yùn)動在同一直線上時(shí)，先規(guī)定正方向，凡與正方向相同的取正值，相反的取負(fù)值，合運(yùn)動為各分運(yùn)動的代數(shù)和．
②不在同一直線上，按照平行四邊形定則合成（如圖4-1-1示）．
圖4-1-1
③兩個(gè)分運(yùn)動垂直時(shí)，正交分解后的合成為
sv合
合
a合 （3）已知合運(yùn)動求分運(yùn)動，叫運(yùn)動的分解，解題時(shí)應(yīng)
按實(shí)際“效果”分解，或正交分解．
重點(diǎn)難點(diǎn)例析
一、怎樣確定物體的運(yùn)動軌跡？
1．同一直線上的兩分運(yùn)動（不含速率相等，方向相反情形）的合成，其合運(yùn)動一定是直線運(yùn)動． 2．不在同一直線上的兩分運(yùn)動的合成．
（1）若兩分運(yùn)動為勻速運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻速運(yùn)動．
（2）若兩分運(yùn)動為初速度為0的勻變速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻變速直線運(yùn)動．
（3）若兩分運(yùn)動中，一個(gè)做勻速運(yùn)動，另一個(gè)做勻變速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻變速曲線運(yùn)動（如平拋運(yùn)動）．
（4）若兩分運(yùn)動均為初速度不為0的勻加（減）速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動不一定是勻加（減）速直線運(yùn)動，如圖4-1-2、圖4-1-3所示）．圖4-1-2情形為勻變速曲線運(yùn)動；圖4-1-3情形為勻變速直線運(yùn)動（勻減速情形圖未畫出），此時(shí)有
v1a1．v
2a2
v
圖4-1-2 圖 4-1-3
【例1】關(guān)于不在同一直線的兩個(gè)初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動，下列說法正確的是（ ） A．一定是直線運(yùn)動 B．一定是曲線運(yùn)動
C．可能是直線運(yùn)動，也可能是曲線運(yùn)動 D．一定是勻變速運(yùn)動
【解析】兩個(gè)分運(yùn)動的加速度恒定，因此合加速度是
恒定的，所以合運(yùn)動的性質(zhì)一定是勻變速運(yùn)動；當(dāng)合速度與合加速度在一條直線上時(shí)，合運(yùn)動是直線運(yùn)動，當(dāng)合速度與合加速度不在一條直線上時(shí)，合運(yùn)動是曲線運(yùn)動．所以CD正確． 【答案】CD
【點(diǎn)撥】兩直線運(yùn)動的合運(yùn)動的性質(zhì)和軌跡，由兩個(gè)因素決定：一是分運(yùn)動的性質(zhì)，二是合運(yùn)動的初速度與合運(yùn)動的加速度方向
拓展
如圖4-1-4圖示，物體在恒力F作用下沿曲b 線從A運(yùn)動到B，這時(shí)突然使它所受的力方向改圖4-1-4
變而大小不變（即由F
變?yōu)?F），在此力作用下物體以后運(yùn)動情況，下列說法正確的是（ ）
A．物體不可能沿曲線Ba運(yùn)動 B．物體不可能沿直線Bb運(yùn)動 C．物體不可能沿曲線Bc運(yùn)動 D．物體不可能沿原曲線由B返回A 【解析】物體在A點(diǎn)時(shí)的速度vA沿A點(diǎn)切線方向，物體在恒力F作b
用下沿曲線AB運(yùn)動，此力F必有垂直于vA的分量，即力F只可
圖4-1-5
能沿為圖中所示的各種方向之一；當(dāng)物體運(yùn)動到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，瞬時(shí)速度vB沿B點(diǎn)的切線方向，這是時(shí)受力F/=-F，即F/只可能為圖中所示的方向之一；可知物體以后只可能沿曲線Bc運(yùn)動． 【答案】ABD
二、船過河問題的分析與求解方法
1．處理方法：船在有一定流速的河中過河時(shí)，實(shí)際上參與了兩個(gè)方向的運(yùn)動，即隨水流的運(yùn)動（水沖船的運(yùn)動）和船相對水的運(yùn)動（即在靜水中的船的運(yùn)動），船的實(shí)際運(yùn)動是合運(yùn)動． 2．對船過河的分析與討論．
設(shè)河寬為d，船在靜水中速度為v船，水流速為v水． （1）船過河的短時(shí)間 如圖4-1-6所示，設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意夾角θ，這時(shí)船速在垂直河岸方向的速度分量為
圖
4-1-6 v1=v船sinθ，則過河時(shí)間為tdd，可以看出，
v1v船sind、v船一定時(shí)，t隨sinθ增大而減??；當(dāng)θ=90°時(shí)，即船頭與河岸垂直時(shí)，過河時(shí)間短td
min
v．到達(dá)對船
岸時(shí)船沿水流方向位移x=v水tmin=v水d．
v船
（2）船過河的短位移 ①v船>v水
如圖4-1-6所示，設(shè)船頭斜指向上游，與河岸夾角θ．當(dāng)船的合速度垂直于河岸時(shí)，此情形下過河位移短，且短位移為河寬d．此時(shí)有v船cosθ=v水，即arccosv水
． v船
②v船
如圖4-1-7所示，無論 船向哪一個(gè)方向開，船不可 能垂直于河岸過河．設(shè)船頭 與河岸成θ角，合速度v合與 河岸成α角．可以看出：α角 圖4-1-7
越大，船漂下的距離x越
短，那么，在什么條件下α角大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當(dāng)v合與圓相切時(shí)，α角大，根據(jù)cosv船，船頭與河岸的夾角應(yīng)為
v水
arccos
v船
， v水
船沿河漂下的短距離為：
x)dmin(v水v船cos．
v船sin此情形下船過河的短位移：sd
vcos水vd． 船
【例2】如圖4-1-8所 3m
示，一條小船位于200m 寬的河的正中點(diǎn)A處， 從這里向下游100
m
處有一危險(xiǎn)區(qū)，當(dāng)時(shí)水流速度為4.0m/s，為了使小船避開危險(xiǎn)區(qū)沿直線到
達(dá)對岸，小船在靜水中的速度至少是（ ） A．
43m/s B．83
m/s C．2.0m/s D．4.0m/s
【解析】如圖4-1-9所示，要使小船避開危C
險(xiǎn)區(qū)沿直線到達(dá)對岸，小船的合速度方向范圍為水平方向ABB
（不包括AB）到AC圖4-1-9
之間．由圖中幾何關(guān)
系可知，當(dāng)合速度方向沿AC，小船垂直AC開行，其在靜水中的速度?。蓤D可知，
tan
θ=30°， 故v船=v水sinθ=2.0m/s． 【答案】C
【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是確定小
船避開危險(xiǎn)區(qū)沿直線到達(dá)對岸時(shí)小船的合速度方向而做出速度矢量三角形，從圖知當(dāng)小船垂直AC開行，其在靜水中的速度?。绢}易出現(xiàn)錯(cuò)解的情形是：認(rèn)為當(dāng)小船垂直河岸開行，在靜水中的速度小，此時(shí)v船=v水tanθ
．
拓展
在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊近處O的距離為d，如戰(zhàn)士想在短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為（ ）
A．dv2 B．0
v22v2
1C．
dv1 D．dv2vv 21
【解析】摩托艇要想在短時(shí)間內(nèi)到達(dá)對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實(shí)際的運(yùn)動是相對于水的劃行運(yùn)動和隨水流的運(yùn)動的合運(yùn)動，垂直于江岸方向
的運(yùn)動速度為vd
2，到達(dá)江岸所用時(shí)間t=v；沿江岸
2
方向的運(yùn)動速度是水速v1在相同的時(shí)間內(nèi)，被水沖下的距離，即為登陸點(diǎn)距離0點(diǎn)距離 s=vdv1t=
1
v． 2
【答案】C
三、如何分解用繩（或桿）連接物體的速度？
1．一個(gè)速度矢量按矢量運(yùn)算法則分解為兩個(gè)速度，但
若與實(shí)際情況不符，則所得分速度毫無物理意義，所以速度分解的一個(gè)基本原則就是按實(shí)際效果進(jìn)行分解．通常先虛擬合運(yùn)動（即實(shí)際運(yùn)動）的一個(gè)位移，看看這個(gè)位移產(chǎn)生了什么效果，從中找到兩個(gè)分速度的方向；后利用平行四邊形畫出合速度和分速度的關(guān)系圖，由幾何關(guān)系得出他們的關(guān)系．
2．由于高中研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩（或桿）和平行于繩（或桿）兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解．
易錯(cuò)門診
【例3】如圖4-1-10所示，卡車通過定滑輪牽引河中的小船，小船一直沿水面運(yùn)動．在某一時(shí)刻卡車的速度為υ，繩AO段與水平面夾角為，不計(jì)摩擦和輪的質(zhì)量，則此時(shí)小船的水平速度多大？ O
A
圖4-1-10
【錯(cuò)解】將繩的速度按圖4-1-11所示的方法分解，則υ1即為船的水平速度υ1=υ·cosθ．
【錯(cuò)因】上述錯(cuò)誤的原因是沒有弄清船的運(yùn)動情況．船的實(shí)際運(yùn)動是水平向右的勻速運(yùn)動，每一時(shí)刻船上各點(diǎn)都有相同的水平速度而AO繩上各點(diǎn)運(yùn)動比較復(fù)雜．以連接船上的A點(diǎn)來說，它有沿繩的速度υ，也有與υ垂直的法向速度υn，即轉(zhuǎn)動分速度，A點(diǎn)的合速度υv
A即為兩個(gè)分速度的矢量和υA=
cos
．
圖4-1-11
圖4-1-12
【正解】小船的運(yùn)動為平動，而繩AO上各點(diǎn)的運(yùn)動是平動＋轉(zhuǎn)動．以連接船上的A點(diǎn)為研究對象，如圖4-1-12，A的平動速度為υ，轉(zhuǎn)動速度為υn，合速度υA即與船的平動速度相同．則由圖可以看出
υυA＝cosθ
.
【點(diǎn)悟】本題中也許學(xué)生不易理解繩上各點(diǎn)的運(yùn)動，關(guān)鍵是要弄清合運(yùn)動就是船的實(shí)際運(yùn)動，只有實(shí)際位
移 、實(shí)際加速度、實(shí)際速度才可分解，即實(shí)際位移 、實(shí)際加速度、實(shí)際速度在平行四邊形的對角線上.
B．如果v1≠0，v2≠0，那么軌跡一定是曲線 C．如果a1=a2，那么軌跡一定是直線 D．如果a1/a2=v1/v2，那么軌跡一定是直線 3．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到兩個(gè)互成銳角的力F1和F2的作用后，由靜止開始運(yùn)動，若運(yùn)動中保持二力方向不變，但F1突然增大到F2+F，則質(zhì)點(diǎn)以后（AB） A．一定做勻變速曲線運(yùn)動 B．在相等的時(shí)間內(nèi)速度的變化一定相等 C．可能做勻速直線運(yùn)動 D．可能做變加速直線運(yùn)動
4．某河水的流速與離河岸距離的變化關(guān)系如圖4-1-14甲所示．船在靜水中的速度與時(shí)間的關(guān)系如圖4-1-14乙所示．若要使船以短時(shí)間渡河，則（BD）
課堂自主訓(xùn)練
1．小船在靜水中速度為v1，今小船要渡過一條河流，過河的小船始終垂直對岸劃行，若小船劃行到河中間時(shí)，河水流速忽然由v2增大到v'2，則過河時(shí)間與預(yù)定時(shí)間相比，將（ ） A．增長 B．不變 C．縮短 D．無法確定 【解析】合運(yùn)動、分運(yùn)動都是獨(dú)立的，且具有等時(shí)性．小船渡河速度不變，則渡河時(shí)間就不變，與河水速度的變化無關(guān)，但河水流速的變化會影響船沿河岸方向的位移．選項(xiàng)B正確． 【答案】B
2．如圖4-1-13所示的塔吊臂上有 一可以沿水平方向運(yùn)動的小車A， 小車下裝有吊著物體B的吊鉤．在 小車A與物體B以相同的水平速 度沿吊臂方向勻速運(yùn)動的同時(shí)，
圖4-1-13
吊鉤將物體B向上吊起，A、B之間的距離以d=H-2t （SI）（SI表示國際單位制，式中H為吊臂離地面 的高度）規(guī)律變化，則物體做（ ） A．速度大小不變的曲線運(yùn)動 B．速度大小增加的曲線運(yùn)動 C．加速度大小方向均不變的曲線運(yùn)動 D．加速度大小方向均變化的曲線運(yùn)動
【解析】由題意，物體B在水平方向做勻速直線運(yùn)動；由d=H-2t知，它在豎直方向的位移為y=H-d=2t，因此它在該方向上做初速度為0的，加速度為4m/s勻加速直線運(yùn)動．所以它的合運(yùn)動為勻加速曲線運(yùn)動． 【答案】BC
2
2
2
甲
乙
圖4-1-14
A．船渡河的短時(shí)間是75s B．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直 C．船在河水中航行的軌跡是一條直線 D．船在河水中的大速度是5m/s
5．如圖4-1-15所示，卡車通過定滑輪牽引河中的小船，小船一直沿水面運(yùn)動．則（BC）
圖4-1-15
A．小船的速度v2總小于汽車速度v1 B．汽車速度v1總小于小船的速度v2
C．如果汽車勻速前進(jìn)，則小船加速前進(jìn) D．如果汽車勻速前進(jìn)，則小船減速前進(jìn) 6．如圖4-1-16所示，物體A和B質(zhì)量均為m，且分別與輕繩連結(jié)跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，當(dāng)用力F拉B沿水平面向右勻速運(yùn)動過程中，繩對A
的拉力的大小是（A） 圖4-1-16
A．大于mg B．等于F
2
課后創(chuàng)新演練
1．關(guān)于曲線運(yùn)動性質(zhì)的說法正確的是（ B ） A．變速運(yùn)動一定是曲線運(yùn)動 B．曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動 C．曲線運(yùn)動一定是變加速運(yùn)動
D．曲線運(yùn)動一定是加速度不變的勻變速運(yùn)動 2．兩個(gè)互成角度的勻加速直線運(yùn)動，初速度的大小分別為v1和v2，加速度分別為a1和a2，則它們的合運(yùn)動的軌跡（D）
A．如果v1=v2，那么軌跡一定是直線