一、選擇題（每題4分，40分）
1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）
A． B． y=x2﹣（x﹣1）2 C． D．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一進(jìn)行判斷．
解答： 解：A、等式的右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、原式化簡后可得，y=2x﹣1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；
D、分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．x為自變量，y為因變量．等號(hào)右邊自變量的次數(shù)是2．
2．把方程（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0化為一元二次方程的一般形式是（）
A． 5x2﹣4x﹣4=0 B． x2﹣5=0 C． 5x2﹣2x+1=0 D． 5x2﹣4x+6=0
考點(diǎn)： 一元二次方程的一般形式．
分析： 先把（x﹣ ）（x+ ）轉(zhuǎn)化為x2﹣ 2=x2﹣5；
然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展開得到4x2﹣4x+1．
再合并同類項(xiàng)即可得到一元二次方程的一般形式．
解答： 解：
（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0
即x2﹣ 2+4x2﹣4x+1=0
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：5 x2﹣4x﹣4=0
故選：A．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化簡成為一元二次方程的一般形式．
3．拋物線y= x2的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則所得拋物線的解析式為（）
A． y= x2+2x﹣2 B． y= x2+2x+1 C． y= x2﹣2x﹣1 D． y= x2﹣2x+1
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 由于拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原拋物線方程即可得平移后的方程．
解答： 解：由題意得： ，
代入原拋物線方程得：y'+1= （x'+2）2，
變形得：y= x2+2x+1．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，重點(diǎn) 是找出平移變換的關(guān)系．
4．將一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正確的是（）
A． （x﹣ ）2=16 B． 2（x﹣ ）2= C． （x﹣ ）2= D． 以上都不對(duì)
考點(diǎn)： 解一元二次方程-配方法．
分析： 方程移項(xiàng)后，方程兩邊除以2變形得到結(jié)果，即可判定．
解答： 解：方程移項(xiàng)得：2x2﹣3x=﹣1，
方程兩邊除以2得：x2﹣ x=﹣ ，
配方得：x2﹣ x+ = ，即（x﹣ ）2= ，
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
5．已知三角形兩邊長分別為2和9，第三邊的長為二次方程x2﹣14x+48=0的根，則這個(gè)三角形的周長為（）
A． 11 B． 17 C． 17或19 D． 19
考點(diǎn)： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系．
分析： 易得方程的兩根，那么根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長即可．
解答： 解：解方程x2﹣14x+48=0得第三邊的邊長為6或8，
依據(jù)三角形三邊關(guān)系，不難判定邊長2，6，9不能構(gòu)成三角形，
2，8，9能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長=2+8+9=19．故選D．
點(diǎn)評(píng)： 求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣．
6．已知拋物線y=ax2+bx，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，它的圖象經(jīng)過（）
A． 一，二，三象限 B． 一，二，四象限
C． 一，三，四象限 D． 一，二，三，四象限
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由a＞0可以得到開口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出對(duì)稱軸x=﹣ ＞0，由c=0可以得到此函數(shù)過原點(diǎn)，由此即可確定可知它的圖象經(jīng)過的象限．
解答： 解：∵a＞0，
∴開口方向向上，
∵b＜0，a＞0，
∴對(duì)稱軸x=﹣ ＞0，
∵c=0，
∴此函數(shù)過原點(diǎn)．
∴它的圖象經(jīng)過一，二，四象限．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查二次函數(shù)的以下性質(zhì)．
7．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，如果平均每月增長率為x， 則由題意列方程應(yīng)為（）
A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
考點(diǎn)： 由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1000萬元，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
解答： 解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，
∴二月份的營業(yè)額為200×（1+x），
∴三月份的營業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
8．拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖，OA=OC，則（）
A． ac+1=b B． ab+1=c C． bc+1=a D． 以上都不是
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由OA=OC可以得到點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（﹣c，0），（0，c），把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．
解答： 解：∵OA=OC，
∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（﹣c，0），（0，c），
∴把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c= 0，
∴c（ac﹣b+1）=0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1=0，
∴ac+1=b．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．
9．已知二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向上；②其圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣3；③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）；④當(dāng)x＜2，y隨x的增大而減小；⑤當(dāng)x=0時(shí)，y最小值為1．則其中說法正確的有（）
A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè)
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 利用拋物線的頂點(diǎn)式和二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷．
解答： 解：∵a=2＞，
∴拋物線開口向上，所以①正確；
∵y=2（x﹣3）2+1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），所以②③錯(cuò)誤；
當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，所以④錯(cuò)誤；
當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值1，所以⑤錯(cuò)誤．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣ ， ），對(duì)稱軸直線x=﹣ ，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣ 時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣ 時(shí)，y隨x的增大而增大；x=﹣ 時(shí)，y取得最小值 ，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣ 時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣ 時(shí)，y隨x的增大而減小；x=﹣ 時(shí)，y取得值 ，即頂點(diǎn)是拋物線的點(diǎn)．
10．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的值是（）
A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1
考點(diǎn)： 根的判別式．
分析： 根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即可求出整數(shù)a的值．
解答： 解：根據(jù)題意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤ ，a≠1，
則整數(shù)a的值為0．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每空4分，20分）
11．使分式 的值等于零的x的值是6．
考點(diǎn)： 分式的值為零的條件．
專題： 計(jì)算題．
分析： 分式的值為零：分子為0，分母不為0．
解答： 解：根據(jù)題意，得
x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，
解得，x=6．
故答案是：6．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．
12．已知點(diǎn)P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個(gè)不同點(diǎn)，則a+b=﹣2．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
專題： 壓軸題．
分析： 由于P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故這兩點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)；而拋物線y=2x2+4x﹣3的對(duì)稱軸為x=﹣1，根據(jù)對(duì)稱軸x= ，可求a+b的值．
解答： 解：已知點(diǎn)P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個(gè)不同點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)P（a，m）和Q（b，m）點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
所以，它們關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱，
而拋物線y=2x2+4x﹣3的對(duì)稱軸為x=﹣1；
故有a+b=﹣2．
故答案為：﹣2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，以及關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于 ．
考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系．
專題： 計(jì)算題．
分析： 先判斷x2﹣x+3=0沒有實(shí)數(shù)解，則兩個(gè)方程的所有實(shí)數(shù)根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
解答： 解：方程2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和為
∵x2﹣x+3=0沒有實(shí)數(shù)解，
∴方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于 ．
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2= ，x1x2= ．
14．若關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的兩個(gè)根﹣1和4（a．m．b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m﹣3）2+b=0是x1=2，x2=7．
考點(diǎn)： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 先利用直接開平方法得方程a（x+m）2+b=0的解為x=﹣m± ，則﹣m+ ，=1，﹣m﹣ ，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m± ，然后利用整體代入的方法得到方程a（x+m﹣3）2+b=0的根．
解答： 解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m± ，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均為常數(shù)，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，
∴﹣m+ ，=﹣1，﹣m﹣ ，=4，
∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m± ，
∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．
故答案為x1=2，x2=7．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
15．如圖所示的是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，某學(xué)霸從下面五條信息中：
（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．準(zhǔn)確找到了其中錯(cuò)誤的信息，它們分別是（1）（2）（5）（只填序號(hào)）
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系；根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷b2﹣4ac與0的關(guān)系；由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與1的關(guān)系；根據(jù)對(duì)稱軸在x=﹣1的左邊判斷2a﹣b與0的關(guān)系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判斷a+b+c＜0是否成立．
解答： 解：（1）∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，故本信息正確；
（2）根據(jù)圖示知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故△=b2﹣4ac＞0；
故本信息正確；
（3）由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息錯(cuò)誤；
（4）由圖示，知對(duì)稱軸x=﹣ ＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息錯(cuò)誤；
（5）根據(jù)圖示可知，當(dāng)x=1，即y=a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正確；
故答案為（1）（2）（5）．
點(diǎn)評(píng)： 主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn) 用．
三、解答題
16．（16分）解方程
①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）
②x2+2x=7．
考點(diǎn)： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： ①先移項(xiàng)，再把等號(hào)左邊因式分解，最后分別解方程即可；
②先在等號(hào)左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再進(jìn)行配方，然后開方即可得出答案．
解答： 解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），
（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，
（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，
（5x﹣1）（5x﹣4）=0，
x1= ，x2= ；
②x2+2x=7，
x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
x+1=±2 ，
x1=﹣1+2 ，x2=﹣1﹣2 ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
17．若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（﹣2，1），且經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），求該拋物線的函數(shù)解析式．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： 設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，將點(diǎn)B（1，0）代入解析式即可求出a的值，從而得到二次函數(shù)解析式．
解答： 解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，
將B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，
a=﹣ ，
函數(shù)解析式為y=﹣ （x+2）2+1，
展開得y=﹣ x2﹣ x+ ．
所以該拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，知道二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
18．若﹣3+ 是方程x2+kx+4=0的一個(gè)根，求另一根和k的值．
考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 設(shè)方程的另一個(gè)根是m，根據(jù)韋達(dá)定理，可以得到兩根的積等于4，兩根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：設(shè)方程的另一個(gè)根是m，根據(jù)韋達(dá)定理，可以得到：
（﹣3+ ）•m=4，且﹣3+ +m=﹣k，
解得：m=﹣3﹣ ，k=6．
即方程的另一根為﹣ 3﹣ ，k=6．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2= ，x1x2= ．
19．某工廠大門是一拋物線形水泥建筑物（如圖），大門地面寬AB=4米，頂部C離地面高度為4.4米．現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.8米，裝貨寬度為2.4米．請(qǐng)通過計(jì)算，判斷這輛汽車能否順利通過大門？
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題 ．
分析： 本題只要計(jì)算大門頂部寬2.4米的部分離地面是否超過2.8米即可．如果設(shè)C點(diǎn)是原點(diǎn)，那么A的坐標(biāo)就是（﹣2，﹣4.4），B的坐標(biāo)是（2，﹣4.4），可設(shè)這個(gè)函數(shù)為y=kx2，那么將A的坐標(biāo)代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大門頂部寬2.4m的部分的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該是﹣1.2和1.2，因此將x=1.2代入函數(shù)式中可得y≈﹣1.6，因此大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此這輛汽車正好可以通過大門．
解答： 解：根據(jù)題意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），設(shè)這個(gè)函數(shù)為y=kx2．
將A的坐標(biāo)代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該是﹣1.2和1.2，
∴將x=1.2代入函數(shù)式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此這輛汽車正好可以通過大門．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要結(jié)合實(shí)際問題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，得出二次函數(shù)式進(jìn)而求出大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是解題的關(guān)鍵．
20．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 銷售問題．
分析： 商場平均每天盈利數(shù)=每件 的盈利×售出件數(shù)；每件的盈利=原來每件的盈利﹣降價(jià)數(shù)．設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，然后根據(jù)前面的關(guān)系式即可列出方程，解方程即可求出結(jié)果．
解答： 解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，可使商場每天盈利2100元．
根據(jù)題意得（45﹣x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因盡快減少庫存，故x=30．
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)30元．
點(diǎn)評(píng)： 需要注意的是：
（1）盈利下降，銷售量就提高，每件盈利減，銷售量就加；
（2）在盈利相同的情況下，盡快減少庫存，就是要多賣，降價(jià)越多，賣的也越多，所以取降價(jià)多的那一種．
21．如圖，線段AB的長為2，C為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）設(shè)DE的長為y，AC的長為x，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出DE的最小值．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）設(shè)AC=x，則BC=2﹣x，然后分別表示出DC、EC，繼而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE長度的表達(dá)式；
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
解答： 解：如圖，
設(shè)AC=x，則BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= x，CE= （2﹣x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2= x2+ （2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣ 1）2+1，
∴y= ．
（2）y=
當(dāng)x=1時(shí)，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是表示出DC、CE，得出DE的表達(dá)式，還要求我們掌握配方法求二次函數(shù)最值．
22．如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃圈水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運(yùn)行，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心離地面高度為3.05m．
（1）建立圖中所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m，這次跳投時(shí)，球在他頭頂上方0.25m處出手．問：球出手時(shí)，他跳離地面多高？
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+3.5，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得a的值．
（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，則可得h+ 2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
解答： 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5），
∴可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+3.5．
∵藍(lán)球中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，
因?yàn)椋?）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
則球出手時(shí)，球的高度為h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2（m）．
答：球出手時(shí)，他跳離地面的高度為0.2m．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)類綜合應(yīng)用題，對(duì)函數(shù)定義、性質(zhì)，以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等技能進(jìn)行了全面考查，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有很大的挑戰(zhàn)性．
23．如圖所示，矩形ABCD的邊AB=3，AD=2，將此矩形置入直角坐標(biāo)系中，使AB在x軸上，點(diǎn)C在直線y=x﹣2上．
（1）求矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線y=x﹣2與y軸交于點(diǎn)E，拋物線過E、A、B三點(diǎn)，求拋物線的關(guān)系式；
（3）判斷上述拋物線的頂點(diǎn)是否落在矩形ABCD內(nèi)部，并說明理由．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）由于AD=2，即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，將其代入已知的直線解析式中，即可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而由AB的長，求得A、D的橫坐標(biāo)，由此可確定矩形的四頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)直線y=x﹣2可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式，即可由配方法或公式法求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)矩形的四頂點(diǎn)坐標(biāo)，來判斷此頂點(diǎn)是否在矩形的內(nèi)部．
解答： 解：（1）如答圖所示 ．
∵y=x﹣2，AD=BC=2，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2），
把C（m，2）代入y=x﹣2，
即2=m﹣2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4﹣3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．
（2）∵y=x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
設(shè)經(jīng)過E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ；
∴y= ．
（3）拋物線頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)部．
∵y= ，
∴頂點(diǎn)為 ，
∵ ，
∴頂點(diǎn) 在矩形ABCD內(nèi)部．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，難度不大，細(xì)心求解即可．
1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）
A． B． y=x2﹣（x﹣1）2 C． D．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一進(jìn)行判斷．
解答： 解：A、等式的右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、原式化簡后可得，y=2x﹣1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；
D、分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．x為自變量，y為因變量．等號(hào)右邊自變量的次數(shù)是2．
2．把方程（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0化為一元二次方程的一般形式是（）
A． 5x2﹣4x﹣4=0 B． x2﹣5=0 C． 5x2﹣2x+1=0 D． 5x2﹣4x+6=0
考點(diǎn)： 一元二次方程的一般形式．
分析： 先把（x﹣ ）（x+ ）轉(zhuǎn)化為x2﹣ 2=x2﹣5；
然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展開得到4x2﹣4x+1．
再合并同類項(xiàng)即可得到一元二次方程的一般形式．
解答： 解：
（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0
即x2﹣ 2+4x2﹣4x+1=0
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：5 x2﹣4x﹣4=0
故選：A．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化簡成為一元二次方程的一般形式．
3．拋物線y= x2的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則所得拋物線的解析式為（）
A． y= x2+2x﹣2 B． y= x2+2x+1 C． y= x2﹣2x﹣1 D． y= x2﹣2x+1
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 由于拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原拋物線方程即可得平移后的方程．
解答： 解：由題意得： ，
代入原拋物線方程得：y'+1= （x'+2）2，
變形得：y= x2+2x+1．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，重點(diǎn) 是找出平移變換的關(guān)系．
4．將一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正確的是（）
A． （x﹣ ）2=16 B． 2（x﹣ ）2= C． （x﹣ ）2= D． 以上都不對(duì)
考點(diǎn)： 解一元二次方程-配方法．
分析： 方程移項(xiàng)后，方程兩邊除以2變形得到結(jié)果，即可判定．
解答： 解：方程移項(xiàng)得：2x2﹣3x=﹣1，
方程兩邊除以2得：x2﹣ x=﹣ ，
配方得：x2﹣ x+ = ，即（x﹣ ）2= ，
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
5．已知三角形兩邊長分別為2和9，第三邊的長為二次方程x2﹣14x+48=0的根，則這個(gè)三角形的周長為（）
A． 11 B． 17 C． 17或19 D． 19
考點(diǎn)： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系．
分析： 易得方程的兩根，那么根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長即可．
解答： 解：解方程x2﹣14x+48=0得第三邊的邊長為6或8，
依據(jù)三角形三邊關(guān)系，不難判定邊長2，6，9不能構(gòu)成三角形，
2，8，9能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長=2+8+9=19．故選D．
點(diǎn)評(píng)： 求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣．
6．已知拋物線y=ax2+bx，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，它的圖象經(jīng)過（）
A． 一，二，三象限 B． 一，二，四象限
C． 一，三，四象限 D． 一，二，三，四象限
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由a＞0可以得到開口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出對(duì)稱軸x=﹣ ＞0，由c=0可以得到此函數(shù)過原點(diǎn)，由此即可確定可知它的圖象經(jīng)過的象限．
解答： 解：∵a＞0，
∴開口方向向上，
∵b＜0，a＞0，
∴對(duì)稱軸x=﹣ ＞0，
∵c=0，
∴此函數(shù)過原點(diǎn)．
∴它的圖象經(jīng)過一，二，四象限．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查二次函數(shù)的以下性質(zhì)．
7．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，如果平均每月增長率為x， 則由題意列方程應(yīng)為（）
A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
考點(diǎn)： 由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1000萬元，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
解答： 解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，
∴二月份的營業(yè)額為200×（1+x），
∴三月份的營業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
8．拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖，OA=OC，則（）
A． ac+1=b B． ab+1=c C． bc+1=a D． 以上都不是
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由OA=OC可以得到點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（﹣c，0），（0，c），把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．
解答： 解：∵OA=OC，
∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（﹣c，0），（0，c），
∴把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c= 0，
∴c（ac﹣b+1）=0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1=0，
∴ac+1=b．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．
9．已知二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向上；②其圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣3；③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）；④當(dāng)x＜2，y隨x的增大而減小；⑤當(dāng)x=0時(shí)，y最小值為1．則其中說法正確的有（）
A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè)
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 利用拋物線的頂點(diǎn)式和二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷．
解答： 解：∵a=2＞，
∴拋物線開口向上，所以①正確；
∵y=2（x﹣3）2+1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），所以②③錯(cuò)誤；
當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，所以④錯(cuò)誤；
當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值1，所以⑤錯(cuò)誤．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣ ， ），對(duì)稱軸直線x=﹣ ，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣ 時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣ 時(shí)，y隨x的增大而增大；x=﹣ 時(shí)，y取得最小值 ，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣ 時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣ 時(shí)，y隨x的增大而減小；x=﹣ 時(shí)，y取得值 ，即頂點(diǎn)是拋物線的點(diǎn)．
10．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的值是（）
A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1
考點(diǎn)： 根的判別式．
分析： 根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即可求出整數(shù)a的值．
解答： 解：根據(jù)題意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤ ，a≠1，
則整數(shù)a的值為0．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每空4分，20分）
11．使分式 的值等于零的x的值是6．
考點(diǎn)： 分式的值為零的條件．
專題： 計(jì)算題．
分析： 分式的值為零：分子為0，分母不為0．
解答： 解：根據(jù)題意，得
x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，
解得，x=6．
故答案是：6．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．
12．已知點(diǎn)P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個(gè)不同點(diǎn)，則a+b=﹣2．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
專題： 壓軸題．
分析： 由于P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故這兩點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)；而拋物線y=2x2+4x﹣3的對(duì)稱軸為x=﹣1，根據(jù)對(duì)稱軸x= ，可求a+b的值．
解答： 解：已知點(diǎn)P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個(gè)不同點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)P（a，m）和Q（b，m）點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
所以，它們關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱，
而拋物線y=2x2+4x﹣3的對(duì)稱軸為x=﹣1；
故有a+b=﹣2．
故答案為：﹣2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，以及關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于 ．
考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系．
專題： 計(jì)算題．
分析： 先判斷x2﹣x+3=0沒有實(shí)數(shù)解，則兩個(gè)方程的所有實(shí)數(shù)根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
解答： 解：方程2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和為
∵x2﹣x+3=0沒有實(shí)數(shù)解，
∴方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于 ．
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2= ，x1x2= ．
14．若關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的兩個(gè)根﹣1和4（a．m．b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m﹣3）2+b=0是x1=2，x2=7．
考點(diǎn)： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 先利用直接開平方法得方程a（x+m）2+b=0的解為x=﹣m± ，則﹣m+ ，=1，﹣m﹣ ，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m± ，然后利用整體代入的方法得到方程a（x+m﹣3）2+b=0的根．
解答： 解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m± ，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均為常數(shù)，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，
∴﹣m+ ，=﹣1，﹣m﹣ ，=4，
∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m± ，
∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．
故答案為x1=2，x2=7．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
15．如圖所示的是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，某學(xué)霸從下面五條信息中：
（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．準(zhǔn)確找到了其中錯(cuò)誤的信息，它們分別是（1）（2）（5）（只填序號(hào)）
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系；根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷b2﹣4ac與0的關(guān)系；由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與1的關(guān)系；根據(jù)對(duì)稱軸在x=﹣1的左邊判斷2a﹣b與0的關(guān)系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判斷a+b+c＜0是否成立．
解答： 解：（1）∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，故本信息正確；
（2）根據(jù)圖示知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故△=b2﹣4ac＞0；
故本信息正確；
（3）由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息錯(cuò)誤；
（4）由圖示，知對(duì)稱軸x=﹣ ＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息錯(cuò)誤；
（5）根據(jù)圖示可知，當(dāng)x=1，即y=a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正確；
故答案為（1）（2）（5）．
點(diǎn)評(píng)： 主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn) 用．
三、解答題
16．（16分）解方程
①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）
②x2+2x=7．
考點(diǎn)： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： ①先移項(xiàng)，再把等號(hào)左邊因式分解，最后分別解方程即可；
②先在等號(hào)左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再進(jìn)行配方，然后開方即可得出答案．
解答： 解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），
（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，
（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，
（5x﹣1）（5x﹣4）=0，
x1= ，x2= ；
②x2+2x=7，
x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
x+1=±2 ，
x1=﹣1+2 ，x2=﹣1﹣2 ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
17．若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（﹣2，1），且經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），求該拋物線的函數(shù)解析式．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： 設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，將點(diǎn)B（1，0）代入解析式即可求出a的值，從而得到二次函數(shù)解析式．
解答： 解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，
將B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，
a=﹣ ，
函數(shù)解析式為y=﹣ （x+2）2+1，
展開得y=﹣ x2﹣ x+ ．
所以該拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，知道二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
18．若﹣3+ 是方程x2+kx+4=0的一個(gè)根，求另一根和k的值．
考點(diǎn)： 根與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 設(shè)方程的另一個(gè)根是m，根據(jù)韋達(dá)定理，可以得到兩根的積等于4，兩根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：設(shè)方程的另一個(gè)根是m，根據(jù)韋達(dá)定理，可以得到：
（﹣3+ ）•m=4，且﹣3+ +m=﹣k，
解得：m=﹣3﹣ ，k=6．
即方程的另一根為﹣ 3﹣ ，k=6．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2= ，x1x2= ．
19．某工廠大門是一拋物線形水泥建筑物（如圖），大門地面寬AB=4米，頂部C離地面高度為4.4米．現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.8米，裝貨寬度為2.4米．請(qǐng)通過計(jì)算，判斷這輛汽車能否順利通過大門？
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題 ．
分析： 本題只要計(jì)算大門頂部寬2.4米的部分離地面是否超過2.8米即可．如果設(shè)C點(diǎn)是原點(diǎn)，那么A的坐標(biāo)就是（﹣2，﹣4.4），B的坐標(biāo)是（2，﹣4.4），可設(shè)這個(gè)函數(shù)為y=kx2，那么將A的坐標(biāo)代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大門頂部寬2.4m的部分的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該是﹣1.2和1.2，因此將x=1.2代入函數(shù)式中可得y≈﹣1.6，因此大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此這輛汽車正好可以通過大門．
解答： 解：根據(jù)題意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），設(shè)這個(gè)函數(shù)為y=kx2．
將A的坐標(biāo)代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該是﹣1.2和1.2，
∴將x=1.2代入函數(shù)式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此這輛汽車正好可以通過大門．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要結(jié)合實(shí)際問題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，得出二次函數(shù)式進(jìn)而求出大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是解題的關(guān)鍵．
20．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 銷售問題．
分析： 商場平均每天盈利數(shù)=每件 的盈利×售出件數(shù)；每件的盈利=原來每件的盈利﹣降價(jià)數(shù)．設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，然后根據(jù)前面的關(guān)系式即可列出方程，解方程即可求出結(jié)果．
解答： 解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，可使商場每天盈利2100元．
根據(jù)題意得（45﹣x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因盡快減少庫存，故x=30．
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)30元．
點(diǎn)評(píng)： 需要注意的是：
（1）盈利下降，銷售量就提高，每件盈利減，銷售量就加；
（2）在盈利相同的情況下，盡快減少庫存，就是要多賣，降價(jià)越多，賣的也越多，所以取降價(jià)多的那一種．
21．如圖，線段AB的長為2，C為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）設(shè)DE的長為y，AC的長為x，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出DE的最小值．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）設(shè)AC=x，則BC=2﹣x，然后分別表示出DC、EC，繼而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE長度的表達(dá)式；
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
解答： 解：如圖，
設(shè)AC=x，則BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= x，CE= （2﹣x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2= x2+ （2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣ 1）2+1，
∴y= ．
（2）y=
當(dāng)x=1時(shí)，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是表示出DC、CE，得出DE的表達(dá)式，還要求我們掌握配方法求二次函數(shù)最值．
22．如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃圈水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運(yùn)行，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心離地面高度為3.05m．
（1）建立圖中所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m，這次跳投時(shí)，球在他頭頂上方0.25m處出手．問：球出手時(shí)，他跳離地面多高？
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+3.5，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得a的值．
（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，則可得h+ 2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
解答： 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5），
∴可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+3.5．
∵藍(lán)球中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，
因?yàn)椋?）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
則球出手時(shí)，球的高度為h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2（m）．
答：球出手時(shí)，他跳離地面的高度為0.2m．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)類綜合應(yīng)用題，對(duì)函數(shù)定義、性質(zhì)，以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等技能進(jìn)行了全面考查，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有很大的挑戰(zhàn)性．
23．如圖所示，矩形ABCD的邊AB=3，AD=2，將此矩形置入直角坐標(biāo)系中，使AB在x軸上，點(diǎn)C在直線y=x﹣2上．
（1）求矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線y=x﹣2與y軸交于點(diǎn)E，拋物線過E、A、B三點(diǎn)，求拋物線的關(guān)系式；
（3）判斷上述拋物線的頂點(diǎn)是否落在矩形ABCD內(nèi)部，并說明理由．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）由于AD=2，即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，將其代入已知的直線解析式中，即可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而由AB的長，求得A、D的橫坐標(biāo)，由此可確定矩形的四頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)直線y=x﹣2可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式，即可由配方法或公式法求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)矩形的四頂點(diǎn)坐標(biāo)，來判斷此頂點(diǎn)是否在矩形的內(nèi)部．
解答： 解：（1）如答圖所示 ．
∵y=x﹣2，AD=BC=2，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2），
把C（m，2）代入y=x﹣2，
即2=m﹣2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4﹣3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．
（2）∵y=x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
設(shè)經(jīng)過E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ；
∴y= ．
（3）拋物線頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)部．
∵y= ，
∴頂點(diǎn)為 ，
∵ ，
∴頂點(diǎn) 在矩形ABCD內(nèi)部．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，難度不大，細(xì)心求解即可．