高二數(shù)學(xué)試題（理科）
(考試時(shí)間：120分鐘 總分：160分)
命題人：朱占奎 張圣官 展國(guó)培 張敏
審題人：丁鳳桂 石志群
注意事項(xiàng)：所有試題的答案均填寫(xiě)在答題紙上，答案寫(xiě)在試卷上的無(wú)效． 參考公式：數(shù)學(xué)期望：E(x)?
方差：V(x)??[x?E(x)]?xp，
ii
i
i?1
i?1
n
n
2
pi??xi2pi?[E(x)]2
i?1
n
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上．）
1．復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?1?i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 2．命題“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是．
23．已知?1?2x??a0?a1x?a2x?
10
?a10x10，則a0?a1?a2?a3??a01?
4．寫(xiě)出命題“若abc?0，則b?0”的逆否命題：．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，則甲、乙相鄰的不同排法種數(shù)是．（用數(shù)字作答）
6．若復(fù)數(shù)z滿足z?1?i?1，則復(fù)數(shù)z的模的值是．
7．命題：若x12?y12?1，則過(guò)點(diǎn)?x1,y1?的直線與圓x?y?1有兩個(gè)公共點(diǎn)．將此命題
2
2
類(lèi)比到橢圓x?2y?1中，得到一個(gè)正確命題是 ▲ ．
8．某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊10次，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X， 則E?X?= ▲ ．
9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;請(qǐng)寫(xiě)出第100個(gè)等式： ▲ ．
，按此規(guī)律
22
2?i201510．已知復(fù)數(shù)z1??1?i??2i?1?和復(fù)數(shù)z2?m?，當(dāng)m為 ▲ 時(shí)，z1?z2．
1?i
x?13
11．已知4C17，則x?． ?17C16
11111n?1
12．在用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切大于2的正整數(shù)n，?????n?”
246824
的過(guò)程中，從n?k到n?k?1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為 ▲ ．
13．學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，
其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，
則女生乙必須入選．那么不同的組隊(duì)形式有 ▲ 種．（用數(shù)字作答）
nn?1n?2
14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x?
n
?mnx?mn?1，其中n?N*,a為常數(shù)．則
下列所有正確命題的序號(hào)是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3,
； ,mn?1中存在負(fù)數(shù)”的一個(gè)充分條件是“a??1”
⑵若n?5，則“1?a?2”是“m4為m1,m2,m3,條件；
,m6中的一個(gè)”的必要不充分
⑶若n?5，則“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3個(gè)成立”的充要條件是“1?a?2”；
⑷若a?0，則“n是4的倍數(shù)”是“m1?m2?m3
mn?1?0”的充分不必要條件．
二、解答題：（本大題共6小題,共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟．）
15．（本題滿分14分） 已知圓C：x?y?1在矩陣M??⑴求曲線C1的方程；
⑵求逆矩陣M；
⑶求矩陣M的特征值和特征向量． 16．（本題滿分14分） 已知直線l過(guò)點(diǎn)P?4,0?，且傾斜角為⑴求直線l的極坐標(biāo)方程；
?1
22
?20?
?所對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)榍€C1． 01??
3π
． 4
12?x?t??8
⑵求直線l被曲線C:?（t為參數(shù)）截得的弦長(zhǎng)．
?y?1t??2
17．（本題滿分14分）
一個(gè)盒子內(nèi)裝有形狀和大小完全相同的3個(gè)紅球和n個(gè)白球，事件“從中取出兩個(gè)球，恰好有一個(gè)紅球”發(fā)生的概率為p． ⑴若p?
4， 7
①求從盒子內(nèi)取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；
②設(shè)X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E?X?和方差V?X?． ⑵求證：p?
3； 5
18．（本題滿分16分）
a2
和g?x??x?2ax?2． x
⑴命題p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命題q:函數(shù)g?x?在?2,???上單調(diào)遞增．若p和q都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
已知函數(shù)f?x??x?⑵設(shè)F?x???
??f?x?,x?2
，若對(duì)?x1??2,???，總存在x2????,2?，使得
??g?x?,x?2
F?xF?2?x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1??
19．（本題滿分16分） 設(shè)集合A,An,1,A2,A3,
中元素的個(gè)數(shù)分別為1,2,3,,n,
．現(xiàn)從集合
An,An?1,An?2,An?3中各取一個(gè)元素，記不同取法種數(shù)為f(n)． ⑴求f(1)；
⑵是否存在常數(shù)a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)對(duì)任
*
意n?N總成立？若存在，請(qǐng)求出a,b的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理
由． 20．（本題滿分16分）
已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且(a1x?d)5的展開(kāi)式中x與x的系數(shù)之比為2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的項(xiàng)； ⑵設(shè)[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
2
3
?b2n(x?2)2n，n?N*，求
a1b1?a2b2??a2nb2n；
an?1
⑶當(dāng)n?2時(shí)，求證：(an?1)
?11?16n?8n4．
2014～2015學(xué)年度第二學(xué)期期末聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案
1．四 2．?x?R，2sinx?1總成立 3．1 4．若b?0，則abc?0
1
2222
7．若x1?2y1?1，則過(guò)點(diǎn)?x1,y1?的直線與橢圓x?2y?1有兩個(gè)公共點(diǎn) 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50
k?1
10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷
?,y0?)，則 15．解：⑴設(shè)P(x0,y0)為圓C上的任意一點(diǎn)，在伸壓變換下變?yōu)榱硪稽c(diǎn)P?(x0
5．12 6．
???20??x0??x0
?y????01??y?，
??0??0??x????2x0?x0?x0?0
即?，所以，?2
??y0?y0???y0?y0
?2x0
?2?1． ?y0又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222
?y2?1．…………4分 即圓C：x?y?1在矩陣M對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)闄E圓：4
?xy??20??xy??10?
⑵設(shè)矩陣M的逆矩陣為??，則?01??zw???01?，
zw????????
1?x??2
?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0
?
?w?1?1?
0?1
?． …………8分 從而所求的逆矩陣M??2?01???
??20
⑶矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(?)??(??2)(??1)，
0??1
令f(?)?0，解得矩陣M的特征值?1?2，?2?1． …………10分
?(??2)x?0?y?0
將?1?2代入二元一次方程組?
?0?x?(??1)y?0
解得y?0，x可以為任何非零實(shí)數(shù)，不妨記x?k,k?R，且k?0．
?1?
于是，矩陣M的屬于特征值2的一個(gè)特征向量為??． …………12分
?0?
?(??2)x?0?y?0
將?2?1代入二元一次方程組?
?0?x?(??1)y?0
解得x?0，y可以為任何非零實(shí)數(shù)，不妨記y?m,m?R，且m?0．
?0?
于是，矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為??．
?1?
?1??20?
??2??1因此，矩陣M??的特征值為，，分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量是，12???
?0??01?
2
2
2
020
?0?
?1?． …………14分 ??
16．解：⑴設(shè)直線l上任意一點(diǎn)為Q(?,?)， 如圖，在?POQ中，由正弦定理得
OQOP
?
sin?OPQsin?OQP
3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直線的極坐標(biāo)；12⑵應(yīng)用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋；直線l的普通標(biāo)方程是x?y?4；設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)記作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直
--------------------------------------------------------------------------------
3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44
3???)?22． …………7分 所以，直線的極坐標(biāo)方程是?sin(4
12⑵應(yīng)用代入消元法，得x?(2y)， 8
因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋物線．
直線l的普通標(biāo)方程是x?y?4
設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)記作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8聯(lián)立成方程組，得?，?或?，
?x?y?4?y1?2?y2??4
AB?(8?2)2?(?4?2)2?62
所以，直線l被曲線截得的弦長(zhǎng)為62． …………14分
17．解⑴記“從中取出兩個(gè)球，恰好有一個(gè)紅球”為事件A
113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67
故n?4． …………2分
①事件“從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”是事件“從盒子中取出3個(gè)球都是白球”的對(duì)立事件，記“從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”為事件B，則記“從盒子中取出3個(gè)球都是白球”為B．
3C44P(B)?3?， C735
31． 35
31答：從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為． …………6分 35
②用隨機(jī)變量X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布H(4,3,7)． 隨機(jī)變量X的可能值有4種，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根據(jù)對(duì)立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)?
4C41 P(X?0)?4?C735
13C3C412P(X?1)?? 435C7
2C32C418 P(X?2)??435C7
6
31C3C44 P(X?3)??435C7
隨機(jī)變量X
1?1??2??3???． 從而E(X)?0?35353535357
n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1
2414424???． 49749
1224答：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為，方差為 …………10分 749
11C3Cn3n6n6???⑵證法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n
63?記f(n)?n?,n?N當(dāng)n=2或3時(shí)取最小值為5，P?． …………14分 n5
證法二：反證法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65
33*因?yàn)閚?N，所以不存在正整數(shù)n，滿足P?．因此，P?． …………14分 55假設(shè)P?
18．⑴命題p:不等式x?
2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，
即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2
即a?0． …………2分 命題q:函數(shù)g?x??x?2ax?2在?2,???上單調(diào)遞增 2
即a?2．
若p和q都是真命題，則0?a?2．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?0,2?． …………4分
a在x??2,???上的值域記作集合M， x
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域記作集合N，
由題意可得，M?N． ⑵f(x)?x?
7
（?。┊?dāng)a?0時(shí)，滿足M?N， …………5分 （ⅱ）當(dāng)a?0或0?a?2時(shí)，x??2,???f?(x)?0， a在x??2,???上單調(diào)遞增， x
?a?集合M???2,???， ?2?
g?x??x2?2ax?2在???,a?上單調(diào)遞減，在?a,2?上單調(diào)遞增， 則f(x)?x?
集合N??a2?2,??， ??
a1?2，即a?0或a?? 22
1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2
（ⅲ）當(dāng)2?a?4時(shí)，x??2,???時(shí)f?(x)?0， a?a?則f(x)?x?在x??2,???上單調(diào)遞增，集合M???2,???， x?2?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減，集合N??6?4a,???， 因?yàn)镸?N，所以?a?2?2
4??2?a?a因?yàn)镸?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?
（ⅳ）當(dāng)a
?4時(shí)，x??時(shí)f
?(x)?0，x???時(shí)f?(x)?0 ??
則f
(x)的單調(diào)減區(qū)間是?，單調(diào)增區(qū)間是??，集合M????， ?
?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減，集合N??6?4a,???， ??
因?yàn)镸?N，所以?
綜上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2
19．解：⑴從A1中取一個(gè)元素，有1種取法；從A2中取一個(gè)元素，有2種取法，依次類(lèi)推，不同取法種數(shù)為4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)
1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n?1時(shí)，左邊?f(1)?24，右邊?1534?3?3??3?24 55
8
左邊?右邊，所以當(dāng)n?1時(shí)命題成立； …………9分 ②假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)命題成立，即
14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55
則當(dāng)n?k?1時(shí)，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)
14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55
1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5
1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
從而當(dāng)n?k?1時(shí)，命題也成立． f(1)?f(2)?
綜上可知，原命題成立． …………16分
323220．解：(a1x?d)5的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C5a1dx?10a12d3x2，含x的項(xiàng)為23
10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123
解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6，
則(x?3)的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的項(xiàng)為T(mén)4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，則[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n
01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?
01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n
n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333
?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
∴b1?b3?b5?
∴a1b1?a2b2?
12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn?
0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 則S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?
9
nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?
012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1
n?Cn)?2
∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1
2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)
∵n?2
∴2n?4
∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22
5?42n?C2
52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4
2?11?16n?8n4
10 16分 …………
(考試時(shí)間：120分鐘 總分：160分)
命題人：朱占奎 張圣官 展國(guó)培 張敏
審題人：丁鳳桂 石志群
注意事項(xiàng)：所有試題的答案均填寫(xiě)在答題紙上，答案寫(xiě)在試卷上的無(wú)效． 參考公式：數(shù)學(xué)期望：E(x)?
方差：V(x)??[x?E(x)]?xp，
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pi??xi2pi?[E(x)]2
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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上．）
1．復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?1?i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 2．命題“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是．
23．已知?1?2x??a0?a1x?a2x?
10
?a10x10，則a0?a1?a2?a3??a01?
4．寫(xiě)出命題“若abc?0，則b?0”的逆否命題：．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，則甲、乙相鄰的不同排法種數(shù)是．（用數(shù)字作答）
6．若復(fù)數(shù)z滿足z?1?i?1，則復(fù)數(shù)z的模的值是．
7．命題：若x12?y12?1，則過(guò)點(diǎn)?x1,y1?的直線與圓x?y?1有兩個(gè)公共點(diǎn)．將此命題
2
2
類(lèi)比到橢圓x?2y?1中，得到一個(gè)正確命題是 ▲ ．
8．某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊10次，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X， 則E?X?= ▲ ．
9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;請(qǐng)寫(xiě)出第100個(gè)等式： ▲ ．
，按此規(guī)律
22
2?i201510．已知復(fù)數(shù)z1??1?i??2i?1?和復(fù)數(shù)z2?m?，當(dāng)m為 ▲ 時(shí)，z1?z2．
1?i
x?13
11．已知4C17，則x?． ?17C16
11111n?1
12．在用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切大于2的正整數(shù)n，?????n?”
246824
的過(guò)程中，從n?k到n?k?1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為 ▲ ．
13．學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，
其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，
則女生乙必須入選．那么不同的組隊(duì)形式有 ▲ 種．（用數(shù)字作答）
nn?1n?2
14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x?
n
?mnx?mn?1，其中n?N*,a為常數(shù)．則
下列所有正確命題的序號(hào)是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3,
； ,mn?1中存在負(fù)數(shù)”的一個(gè)充分條件是“a??1”
⑵若n?5，則“1?a?2”是“m4為m1,m2,m3,條件；
,m6中的一個(gè)”的必要不充分
⑶若n?5，則“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3個(gè)成立”的充要條件是“1?a?2”；
⑷若a?0，則“n是4的倍數(shù)”是“m1?m2?m3
mn?1?0”的充分不必要條件．
二、解答題：（本大題共6小題,共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟．）
15．（本題滿分14分） 已知圓C：x?y?1在矩陣M??⑴求曲線C1的方程；
⑵求逆矩陣M；
⑶求矩陣M的特征值和特征向量． 16．（本題滿分14分） 已知直線l過(guò)點(diǎn)P?4,0?，且傾斜角為⑴求直線l的極坐標(biāo)方程；
?1
22
?20?
?所對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)榍€C1． 01??
3π
． 4
12?x?t??8
⑵求直線l被曲線C:?（t為參數(shù)）截得的弦長(zhǎng)．
?y?1t??2
17．（本題滿分14分）
一個(gè)盒子內(nèi)裝有形狀和大小完全相同的3個(gè)紅球和n個(gè)白球，事件“從中取出兩個(gè)球，恰好有一個(gè)紅球”發(fā)生的概率為p． ⑴若p?
4， 7
①求從盒子內(nèi)取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；
②設(shè)X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E?X?和方差V?X?． ⑵求證：p?
3； 5
18．（本題滿分16分）
a2
和g?x??x?2ax?2． x
⑴命題p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命題q:函數(shù)g?x?在?2,???上單調(diào)遞增．若p和q都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
已知函數(shù)f?x??x?⑵設(shè)F?x???
??f?x?,x?2
，若對(duì)?x1??2,???，總存在x2????,2?，使得
??g?x?,x?2
F?xF?2?x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1??
19．（本題滿分16分） 設(shè)集合A,An,1,A2,A3,
中元素的個(gè)數(shù)分別為1,2,3,,n,
．現(xiàn)從集合
An,An?1,An?2,An?3中各取一個(gè)元素，記不同取法種數(shù)為f(n)． ⑴求f(1)；
⑵是否存在常數(shù)a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)對(duì)任
*
意n?N總成立？若存在，請(qǐng)求出a,b的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理
由． 20．（本題滿分16分）
已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且(a1x?d)5的展開(kāi)式中x與x的系數(shù)之比為2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的項(xiàng)； ⑵設(shè)[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
2
3
?b2n(x?2)2n，n?N*，求
a1b1?a2b2??a2nb2n；
an?1
⑶當(dāng)n?2時(shí)，求證：(an?1)
?11?16n?8n4．
2014～2015學(xué)年度第二學(xué)期期末聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案
1．四 2．?x?R，2sinx?1總成立 3．1 4．若b?0，則abc?0
1
2222
7．若x1?2y1?1，則過(guò)點(diǎn)?x1,y1?的直線與橢圓x?2y?1有兩個(gè)公共點(diǎn) 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50
k?1
10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷
?,y0?)，則 15．解：⑴設(shè)P(x0,y0)為圓C上的任意一點(diǎn)，在伸壓變換下變?yōu)榱硪稽c(diǎn)P?(x0
5．12 6．
???20??x0??x0
?y????01??y?，
??0??0??x????2x0?x0?x0?0
即?，所以，?2
??y0?y0???y0?y0
?2x0
?2?1． ?y0又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222
?y2?1．…………4分 即圓C：x?y?1在矩陣M對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)闄E圓：4
?xy??20??xy??10?
⑵設(shè)矩陣M的逆矩陣為??，則?01??zw???01?，
zw????????
1?x??2
?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0
?
?w?1?1?
0?1
?． …………8分 從而所求的逆矩陣M??2?01???
??20
⑶矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(?)??(??2)(??1)，
0??1
令f(?)?0，解得矩陣M的特征值?1?2，?2?1． …………10分
?(??2)x?0?y?0
將?1?2代入二元一次方程組?
?0?x?(??1)y?0
解得y?0，x可以為任何非零實(shí)數(shù)，不妨記x?k,k?R，且k?0．
?1?
于是，矩陣M的屬于特征值2的一個(gè)特征向量為??． …………12分
?0?
?(??2)x?0?y?0
將?2?1代入二元一次方程組?
?0?x?(??1)y?0
解得x?0，y可以為任何非零實(shí)數(shù)，不妨記y?m,m?R，且m?0．
?0?
于是，矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為??．
?1?
?1??20?
??2??1因此，矩陣M??的特征值為，，分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量是，12???
?0??01?
2
2
2
020
?0?
?1?． …………14分 ??
16．解：⑴設(shè)直線l上任意一點(diǎn)為Q(?,?)， 如圖，在?POQ中，由正弦定理得
OQOP
?
sin?OPQsin?OQP
3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直線的極坐標(biāo)；12⑵應(yīng)用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋；直線l的普通標(biāo)方程是x?y?4；設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)記作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直
--------------------------------------------------------------------------------
3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44
3???)?22． …………7分 所以，直線的極坐標(biāo)方程是?sin(4
12⑵應(yīng)用代入消元法，得x?(2y)， 8
因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋物線．
直線l的普通標(biāo)方程是x?y?4
設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)記作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8聯(lián)立成方程組，得?，?或?，
?x?y?4?y1?2?y2??4
AB?(8?2)2?(?4?2)2?62
所以，直線l被曲線截得的弦長(zhǎng)為62． …………14分
17．解⑴記“從中取出兩個(gè)球，恰好有一個(gè)紅球”為事件A
113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67
故n?4． …………2分
①事件“從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”是事件“從盒子中取出3個(gè)球都是白球”的對(duì)立事件，記“從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”為事件B，則記“從盒子中取出3個(gè)球都是白球”為B．
3C44P(B)?3?， C735
31． 35
31答：從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為． …………6分 35
②用隨機(jī)變量X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布H(4,3,7)． 隨機(jī)變量X的可能值有4種，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根據(jù)對(duì)立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)?
4C41 P(X?0)?4?C735
13C3C412P(X?1)?? 435C7
2C32C418 P(X?2)??435C7
6
31C3C44 P(X?3)??435C7
隨機(jī)變量X
1?1??2??3???． 從而E(X)?0?35353535357
n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1
2414424???． 49749
1224答：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為，方差為 …………10分 749
11C3Cn3n6n6???⑵證法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n
63?記f(n)?n?,n?N當(dāng)n=2或3時(shí)取最小值為5，P?． …………14分 n5
證法二：反證法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65
33*因?yàn)閚?N，所以不存在正整數(shù)n，滿足P?．因此，P?． …………14分 55假設(shè)P?
18．⑴命題p:不等式x?
2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，
即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2
即a?0． …………2分 命題q:函數(shù)g?x??x?2ax?2在?2,???上單調(diào)遞增 2
即a?2．
若p和q都是真命題，則0?a?2．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?0,2?． …………4分
a在x??2,???上的值域記作集合M， x
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域記作集合N，
由題意可得，M?N． ⑵f(x)?x?
7
（?。┊?dāng)a?0時(shí)，滿足M?N， …………5分 （ⅱ）當(dāng)a?0或0?a?2時(shí)，x??2,???f?(x)?0， a在x??2,???上單調(diào)遞增， x
?a?集合M???2,???， ?2?
g?x??x2?2ax?2在???,a?上單調(diào)遞減，在?a,2?上單調(diào)遞增， 則f(x)?x?
集合N??a2?2,??， ??
a1?2，即a?0或a?? 22
1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2
（ⅲ）當(dāng)2?a?4時(shí)，x??2,???時(shí)f?(x)?0， a?a?則f(x)?x?在x??2,???上單調(diào)遞增，集合M???2,???， x?2?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減，集合N??6?4a,???， 因?yàn)镸?N，所以?a?2?2
4??2?a?a因?yàn)镸?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?
（ⅳ）當(dāng)a
?4時(shí)，x??時(shí)f
?(x)?0，x???時(shí)f?(x)?0 ??
則f
(x)的單調(diào)減區(qū)間是?，單調(diào)增區(qū)間是??，集合M????， ?
?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減，集合N??6?4a,???， ??
因?yàn)镸?N，所以?
綜上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2
19．解：⑴從A1中取一個(gè)元素，有1種取法；從A2中取一個(gè)元素，有2種取法，依次類(lèi)推，不同取法種數(shù)為4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)
1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n?1時(shí)，左邊?f(1)?24，右邊?1534?3?3??3?24 55
8
左邊?右邊，所以當(dāng)n?1時(shí)命題成立； …………9分 ②假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)命題成立，即
14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55
則當(dāng)n?k?1時(shí)，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)
14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55
1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5
1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
從而當(dāng)n?k?1時(shí)，命題也成立． f(1)?f(2)?
綜上可知，原命題成立． …………16分
323220．解：(a1x?d)5的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C5a1dx?10a12d3x2，含x的項(xiàng)為23
10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123
解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6，
則(x?3)的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的項(xiàng)為T(mén)4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，則[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n
01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?
01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n
n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333
?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
∴b1?b3?b5?
∴a1b1?a2b2?
12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn?
0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 則S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?
9
nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?
012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1
n?Cn)?2
∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1
2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)
∵n?2
∴2n?4
∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22
5?42n?C2
52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4
2?11?16n?8n4
10 16分 …………