一．知識(shí)歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合（集）．其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無(wú)序性（{a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無(wú)限集，空集。
4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1）子集：若對(duì)x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）補(bǔ)集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，則? A ；
②若 ， ，則 ；
③若 且 ，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，特別要注意以下的符號(hào)：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，則A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)非空子集，2n－2個(gè)非空真子集。
二．例題講解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對(duì)于集合M：{x|x= ,m∈Z}；對(duì)于集合N：{x|x= ,n∈Z}
對(duì)于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點(diǎn)評(píng)：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
當(dāng) 時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個(gè)數(shù)為
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：確定集合A*B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個(gè)元素，故A*B的子集共有22個(gè)。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為
A）5個(gè) B）6個(gè) C）7個(gè) D）8個(gè)
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評(píng)析 本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有 個(gè) .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡(jiǎn)集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點(diǎn)評(píng)：在解有關(guān)不等式解集一類集合問(wèn)題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來(lái)解之。
變式2：設(shè)M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M
①當(dāng) 時(shí)，ax-1=0無(wú)解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼，若P∩Q≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí)，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答：
點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)問(wèn)題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問(wèn)題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問(wèn)題的關(guān)鍵。 三.隨堂演練
選擇題
1． 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）5個(gè) （B）6個(gè) （C）7個(gè) （D）8個(gè)
3．集合A={x } B={ } C={ }又 則有
（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一個(gè)
4．設(shè)A、B是全集U的兩個(gè)子集，且A B，則下列式子成立的是
（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U
（C）A CUB= （D）CUA B=
5．已知集合A={ }， B={ }則A =
（A）R （B）{ }
（C）{ } （D）{ }
6．下列語(yǔ)句：（1）0與{0}表示同一個(gè)集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是
（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）
（C）只有（2） （D）以上語(yǔ)句都不對(duì)
7．設(shè)S、T是兩個(gè)非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=
（A）X （B）T （C）Φ （D）S
8設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式ax2+bx+c 0的解集為
（A）R （B） （C）{ } （D）{ }
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，則x=
11.若A={x } B={x },全集U=R，則A =
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合A={ },B={x },且A B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集U={x 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，則A B=
解答題
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)A= ， B= ，
其中x R,如果A B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四.習(xí)題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C B C D D
填空題
9．{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A
（Ⅰ）B= 時(shí)， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}時(shí)， 0 得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合（集）．其中每一個(gè)對(duì)象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無(wú)序性（{a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號(hào)條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無(wú)限集，空集。
4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1）子集：若對(duì)x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）補(bǔ)集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，則? A ；
②若 ， ，則 ；
③若 且 ，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，特別要注意以下的符號(hào)：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，則A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)非空子集，2n－2個(gè)非空真子集。
二．例題講解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對(duì)于集合M：{x|x= ,m∈Z}；對(duì)于集合N：{x|x= ,n∈Z}
對(duì)于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點(diǎn)評(píng)：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
當(dāng) 時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個(gè)數(shù)為
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：確定集合A*B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來(lái)求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個(gè)元素，故A*B的子集共有22個(gè)。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為
A）5個(gè) B）6個(gè) C）7個(gè) D）8個(gè)
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評(píng)析 本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有 個(gè) .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡(jiǎn)集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點(diǎn)評(píng)：在解有關(guān)不等式解集一類集合問(wèn)題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來(lái)解之。
變式2：設(shè)M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M
①當(dāng) 時(shí)，ax-1=0無(wú)解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼，若P∩Q≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí)，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答：
點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)問(wèn)題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問(wèn)題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問(wèn)題的關(guān)鍵。 三.隨堂演練
選擇題
1． 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）5個(gè) （B）6個(gè) （C）7個(gè) （D）8個(gè)
3．集合A={x } B={ } C={ }又 則有
（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一個(gè)
4．設(shè)A、B是全集U的兩個(gè)子集，且A B，則下列式子成立的是
（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U
（C）A CUB= （D）CUA B=
5．已知集合A={ }， B={ }則A =
（A）R （B）{ }
（C）{ } （D）{ }
6．下列語(yǔ)句：（1）0與{0}表示同一個(gè)集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是
（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）
（C）只有（2） （D）以上語(yǔ)句都不對(duì)
7．設(shè)S、T是兩個(gè)非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=
（A）X （B）T （C）Φ （D）S
8設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式ax2+bx+c 0的解集為
（A）R （B） （C）{ } （D）{ }
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，則x=
11.若A={x } B={x },全集U=R，則A =
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合A={ },B={x },且A B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集U={x 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，則A B=
解答題
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)A= ， B= ，
其中x R,如果A B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四.習(xí)題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C B C D D
填空題
9．{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A
（Ⅰ）B= 時(shí)， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}時(shí)， 0 得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實(shí)數(shù)a=1 或a -1