2017年高考數(shù)學(xué)模擬題及答案：三角函數(shù)、解三角形

高考數(shù)學(xué)模擬題及答案：三角函數(shù)、解三角形
    1．(2015·湖北卷)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<2(π在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
    

ωx＋φ	0	2π	π	23π	2π
x		3π		65π
Asin(ωx＋φ)	0	5		－5	0

    (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；
    (2)將y＝f(x)圖像上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y＝g(x)的圖像，若y＝g(x)圖像的一個對稱中心為，0(5π，求θ的最小值。
    解　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－6(π。
    數(shù)據(jù)補全如下表：
    

ωx＋φ	0	2π	π	23π	2π
x	12π	3π	127π	65π	1213π
Asin(ωx＋φ)	0	5	0	－5	0

    且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin6(π。
    (2)由(1)知f(x)＝5sin6(π，
    得g(x)＝5sin6(π。
    因為y＝sin x的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z。
    令2x＋2θ－6(π＝kπ，解得x＝2(kπ＋12(π－θ，k∈Z。
    由于函數(shù)y＝g(x)的圖像關(guān)于點，0(5π成中心對稱，令2(kπ＋12(π－θ＝12(5π，解得θ＝2(kπ－3(π，k∈Z。
    由θ>0可知，當(dāng)k＝1時，θ取得最小值6(π。
    2．(2015·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知tan＋A(π＝2。
    (1)求sin 2A＋cos2A(sin 2A的值；
    (2)若B＝4(π，a＝3，求△ABC的面積。
    解　(1)由tan＋A(π＝2，得tan A＝3(1，
    所以sin 2A＋cos2A(sin 2A＝2tan A＋1(2tan A＝5(2。
    (2)由tan A＝3(1，A∈(0，π)，得sin A＝10(10，cos A＝10(10。
    又由a＝3，B＝4(π及正弦定理sin A(a＝sin B(b，得b＝3。
    由sin C＝sin(A＋B)＝sin4(π得sin C＝5(5。
    設(shè)△ABC的面積為S，則S＝2(1absin C＝9。
    3．(2016·濰坊3月模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx－6(π－4sin²ωx＋2(ω>0)，其圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為2(π。
    (1)求函數(shù)f(x)的解析式；
    (2)若將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個長度單位得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，0(π，求當(dāng)m取得最小值時，g(x)在12(7π上的單調(diào)遞增區(qū)間。
    解　(1)函數(shù)f(x)＝sin6(π－4sin²ωx＋2＝2(3sin 2ωx－2(1cos 2ωx－4×2(1－cos 2ωx＋2＝2(3sin 2ωx＋2(3cos 2ωx＝sin3(π(ω>0)，
    根據(jù)函數(shù)f(x)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為2(π，可得函數(shù)f(x)的最小正周期為2×2(π＝2ω(2π，得ω＝1。
    故函數(shù)f(x)＝sin3(π。
    (2)將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個長度單位得到函數(shù)g(x)＝sin3(π＝sin2x＋2m＋3(π的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，0(π，
    可得sin3(π＝0，
    即sin3(π＝0，
    所以2m－3(π＝kπ(k∈Z)，m＝2(kπ＋6(π(k∈Z)，
    因為m>0，所以當(dāng)k＝0時，m取得最小值，且最小值為6(π。
    此時，g(x)＝sin3(2π。
    令2kπ－2(π≤2x＋3(2π≤2kπ＋2(π，k∈Z，得kπ－12(7π≤x≤kπ－12(π，k∈Z，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ－12(7π，kπ－12(π，k∈Z。
    結(jié)合x∈127π，可得g(x)在12(7π上的單調(diào)遞增區(qū)間為12(π和12(7π。
    4．(2015·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝2(，n＝(sinx，cos x)，x∈2(π。
    (1)若m⊥n，求tan x的值；
    (2)若m與n的夾角為3(π，求x的值。
    解　(1)∵m＝2(，n＝(sin x，cos x)，且m⊥n，
    ∴m·n＝2(·(sin x，cos x)
    ＝2(2sin x－2(2cos x＝sin4(π＝0。
    又x∈2π，∴x－4(π∈4π。
    ∴x－4(π＝0，即x＝4(π。∴tan x＝tan 4(π＝1。
    (2)由(1)和已知得cos 3(π＝|m|·|n|(m·n
    ＝2(
    ＝sin4(π＝2(1，
    又x－4(π∈4π，∴x－4(π＝6(π，即x＝12(5π。
    5．(2015·杭州一檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。已知cos 2A＋2(3＝2cos A。
    (1)求角A的大??；
    (2)若a＝1，求△ABC的周長l的取值范圍。
    解　(1)根據(jù)二倍角公式：cos 2x＝2cos²x－1，得
    2cos²A＋2(1＝2cos A，即4cos²A－4cos A＋1＝0，
    所以(2cos A－1)²＝0，所以cos A＝2(1。
    因為0<A<π，所以A＝3(π。
    (2)根據(jù)正弦定理：sin A(a＝sin B(b＝sin C(c，得
    b＝3(2sin B，c＝3(2sin C，
    所以l＝1＋b＋c＝1＋3(2(sin B＋sin C)。
    因為A＝3(π，所以B＋C＝3(2π，
    所以l＝1＋3(2－B(2π＝1＋2sin6(π。
    因為0<B<3(2π，所以l∈(2,3]。
    6．(2015·山東卷)設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos²4(π。
    (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
    (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若f2(A＝0，a＝1，求△ABC面積的值。
    解　(1)由題意知f(x)＝2(sin 2x－2(
    ＝2(sin 2x－2(1－sin 2x＝sin 2x－2(1。
    由－2(π＋2kπ≤2x≤2(π＋2kπ，k∈Z，可得－4(π＋kπ≤x≤4(π＋kπ，k∈Z；
    由2(π＋2kπ≤2x≤2(3π＋2kπ，k∈Z，可得4(π＋kπ≤x≤4(3π＋kπ，k∈Z。所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是－4(π＋kπ，4(π＋kπ(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是＋kπ(3π(k∈Z)。
    (2)由f2(A＝sin A－2(1＝0，得sin A＝2(1，
    由題意知A為銳角，所以cos A＝2(3。
    由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccos A，
    可得1＋bc＝b²＋c²≥2bc，
    即bc≤2＋，且當(dāng)b＝c時取等號。
    因此2(1bcsin A≤4(3，
    所以△ABC面積的值為4(3。