一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）
1．下列標(biāo)志中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是( )
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，解答時(shí)要注意：
判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部沿對(duì)稱軸疊后可重合；判斷中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．在下列各組條件中，不能說(shuō)明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF
【考點(diǎn)】全等三角形的判定．
【分析】根據(jù)題目所給的條件結(jié)合判定三角形全等的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；
B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)符合題意；
C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；
D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
3．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是( )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1， ，3
【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．
【專題】計(jì)算題．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以構(gòu)成直角三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以構(gòu)成直角三角形，故B選項(xiàng)正確；
C、22+32=13≠42，不可以構(gòu)成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、12+（ ）2=3≠32，不可以構(gòu)成直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm，則△DEB的周長(zhǎng)是( )
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC=DE，AC=AE，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB的周長(zhǎng)=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，如果把△ABC的頂點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A′點(diǎn)，連接A′B，則線段A′B與線段AC的關(guān)系是( )
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
【考點(diǎn)】平移的性質(zhì)；勾股 定理．
【專題】網(wǎng)格型．
【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷線段A′B與線段AC的關(guān)系．
【解答】解：如圖，將點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A′點(diǎn)，連接A′B，與線段AC交于點(diǎn)O．
∵A′O=OB= ，AO=OC=2 ，
∴線段A′B與線段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴線段A′B與線段AC互相垂直平分．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，勾股定理，正確利用網(wǎng)格求邊長(zhǎng)長(zhǎng)度及角度是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②△PMN為等邊三角形；下面判斷正確是( )
A．①正確 B．②正確 C．①②都正確 D．①②都不正確
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等邊三角形的判定．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷②正確．
【解答】解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，
∴PM= BC，PN= BC，
∴PM=PN，正確；
②∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；
所以①②都正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．一等腰三角形底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng)為5cm，則腰上的高為( )
A．3cm B． cm C． cm D． cm
【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD，由勾股定理求出AD，由三角形面積的計(jì)算方法即可求出腰上的高．
【解答】解：如圖所示：
作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，
則∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD= BC=4cm，
∴AD= = =3（cm），
∵△ABC的面積= AB•CE= BC•AD，
∴AB•CE=BC•AD，
即5×CE=8×3，
解得：CE= ，
即腰上的高為 ；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)三角形面積的計(jì)算；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理求出AD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，連接CD，給出四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正確的結(jié)論有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．
【分析】過(guò)E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CE=EQ，DF=DH，根據(jù)勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE，即可求出③；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CND=45°，證△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；證△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④．
【解答】解：如圖，
過(guò)E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴③正確；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN= AE，
∵AN=BD，
∴BD= AE，
∴①正確，②正確；
過(guò)D作DH⊥AB于H，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，
∴DF=DH，
在△DCF和△DBH中
，
∴△DCF≌△DBH，
∴BH=CF，
由勾股定理得：AF=AH，
∴ = = = =2，
∴AC+AB=2AF，
AC+AB=2AC+2CF，
AB﹣AC=2CF，
∵AC=CB，
∴AB﹣CB=2CF，
∴④正確．
故選D
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共11小題，每空2分，共22分．）
9．如圖，在△ABC與△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一個(gè)條件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定．
【專題】開(kāi)放型．
【分析】添加DC=BC，利用SSS即可得到兩三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到兩三角形全等．
【解答】解：添加條件為DC=BC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加條件為∠DAC=∠BAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案為：DC=BC或∠DA C=∠BAC
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等 三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是50°．
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得∠C=∠ABC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案為：50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并用∠A表示出△ABC的另兩個(gè)角，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD=6，DE=5，則CD的長(zhǎng)等于8．
【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．
【專題】計(jì)算題．
【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得
CD= = =8．
故答案是：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長(zhǎng)度是解題的難點(diǎn)．
12．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=3cm，BC=4cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD= cm．
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．
【分析】先利用勾股定理求得AB=5，然后由翻折的性質(zhì)得到AE=AC=3，CD=DE，則EB=2，設(shè)CD=EC=x，則BD=4﹣x，然后在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB= =5，
由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，CD=DE，則BE=2．
設(shè)CD=DE=x，則BD=4﹣x．
Rt△DEB中，由勾股定理得：DB2=DE2+EB2，即（4﹣x）2=x2+22，
解得：x= ．
∴CD= ．
故答案為： cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，利用翻折的性質(zhì)和勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．
13．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為10cm．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．
【分析】題中沒(méi)有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．
【解答】解：（1）當(dāng)三邊是2cm，2cm，4cm時(shí)，2+2=4cm，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；
（2）當(dāng)三邊是2cm，4cm，4cm時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)是10cm；
所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是10cm．
故填10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
14．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角為80°，則它的頂角的度數(shù)是80°或20°．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】等腰三角形一內(nèi)角為80°，沒(méi)說(shuō)明是頂角還是底角，所以有兩種情況．
【解答】解：（1）當(dāng)80°角為頂角，頂角度數(shù)即為80°；
（2）當(dāng)80°為底角時(shí)，頂角=180°﹣2×80°=20°．
故答案為：80°或20°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．直角三角形斜邊上的高與中線分別是5cm和6cm，則它的面積是30cm2．
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．
【分析】由于直角三角形斜邊上的中線是6cm，因而斜邊是12cm，而高線已知，因而可以根據(jù)面積公式求出三角形的面積．
【解答】解：∵直角三角形斜邊上的中線是6cm，
∴斜邊是12cm，
∴S△= ×5×12=30cm2
∴它的面積是30cm2．
故填：30cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半．
16．△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且到△ABC三邊 的距離相等，∠A=40°，則∠BOC=110°．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)O到三角形三邊距離相等，得到O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念即可求出∠BOC的度數(shù)．
【解答】解：∵O到三角形三邊距離相等，
∴O是內(nèi)心，
∴AO，BO，CO都是角平分線，
∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，∠BCO=∠ACO= ∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，
∠OBC+∠OCB=70°，
∠BOC=180°﹣70°=110°．
故答案為：110°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的定義和三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PN+PM+MN的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是30°．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題．
【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如 圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故答案為：30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問(wèn)題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)， 證明三角形是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為63°或27°．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】分類討論．
【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù)．
【解答】解：在三角形ABC中，設(shè)AB=AC，BD⊥AC于D．
①若是銳角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，
底角=（180°﹣54°）÷2=63°；
②若三角形是鈍角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，
此時(shí)底角=（180°﹣126°）÷2=27°．
所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°．
故答案為：63°或27°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．
19．如圖，在△ABC中AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長(zhǎng)為21．
【考點(diǎn)】勾股定理．
【專題】計(jì)算題．
【分析】在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由CD+BD求出BC的長(zhǎng)即可．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，
根據(jù)勾股定理得：CD= =6，
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，
根據(jù)勾股定理得：BD= =15，
則BC=6+15=21，
故答案為：21
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
三、簡(jiǎn)答題：（本大題共7小題，共54分）
20．如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A′B′C′；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P（在答題紙上圖中標(biāo)出），使PB+PC的長(zhǎng)最短，這個(gè)最短長(zhǎng)度的平方值是13．
【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換．
【分析】（1）分別找到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接可得△A′B′C′．
（2）連接B'C，則B'C與l的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，求出PB+PC的值即可．
【解答】解：（1）如圖所示：
．
（2）如圖所示：
PB+PC=PB'+PC=B'C= = ．
則這個(gè)最短長(zhǎng)度的平方值是13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱作圖及最短路線問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，難度一般．
21．如圖，已知△ABC，AC＜AB．
（1）用直尺和圓規(guī)作出一條過(guò)點(diǎn)A的直線l，使得點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在邊AB上（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）設(shè)直線l與邊BC的交點(diǎn)為D，且∠C=2∠B，請(qǐng)你通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
【專題】作圖題．
【分析】（1）先作∠BAC的平分線l，再過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l交AB于F，則可得到點(diǎn)C和F點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，所以l為所作；
（2）連結(jié)DF，如圖，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，則AD垂直平分CF，所以DF=DC，則∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性質(zhì)得∠BDF=2∠DCF，接著證明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，則FB=FD=CD，則易得AB=AF+FB=AC+CD．
【解答】解：（1）如圖，直線l為所作；
（2）AB=AC+CD．理由如下：
連結(jié)DF，如圖，
∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，
∴AF=AC，
∴AD垂直平分CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，
∵∠AFC=∠ACF，
∵∠AFC=∠B+∠BCF，
∴∠ACF=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=2∠B，
∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF，
∴∠B=2∠BCF，
∴∠B=∠BDF，
∴FB=FD，
∴FB=CD，
∴AB=AF+FB=AC+CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)．
22．如圖，E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求證：
（1）△ABF≌△DCE．
（2）AF∥DE．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】證明題．
【分析】（1）由等式的性質(zhì)就可以得出BF=CE，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠B=∠C，根據(jù)SAS就可以得出結(jié)論；
（2）由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出結(jié)論．
【解答】證明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C ．
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴AF∥DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
23．如圖，某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問(wèn)用該草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？
【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出區(qū)域的面積，即可求出答案．
【解答】解：連結(jié)AC，如圖所示：
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，
由勾股定理得：AC= =10（米），
∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴該區(qū)域面積S=S△ACB﹣S△ADC= ×10×24﹣ ×6×8=96（平方米），
∴鋪滿這塊空地共需花費(fèi)=96×100=9600元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形面積，勾股定理的逆定理的應(yīng)用；解此題的關(guān)鍵是求出區(qū)域的面積．
24．如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上．
（1）折疊后，DC的對(duì)應(yīng)線段是BC′，CF的對(duì)應(yīng)線段是FC′；
（2）若AB=8，DE=10，求CF的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．
【分析】（1）根據(jù)翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定出對(duì)應(yīng)線段即可；
（2）在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE=6，從而得到AD=16，然后證明BE=BF=10，從而可求得FC=16﹣10=6．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上，
∴DC的對(duì)應(yīng)線段是BC′，CF的對(duì)應(yīng)線段是FC′．
故答案為：BC′；FC′．
（2）由翻折的性質(zhì)可知：DE=BE=10，∠2=∠BEF．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1．
∴∠1=∠BEF．
∴BE=BF=10．
在Rt△A BE中，由勾股定理得：AE= = =6，
∴AD=AE+ED=6+10=16．
∴CF=CB﹣BF=16﹣10=6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，證得BE=BF=10是解題的關(guān)鍵．
25．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證 明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2
證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a（b﹣a）
∴ b2+ ab= c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a2+b2=c2．
【考點(diǎn)】勾股定理的證明．
【分析】首先連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證．
【解答】證明：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，
∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab，
又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出五邊形ACBED的面積是解本題的關(guān)鍵．
26．如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B →C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
（2）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】計(jì)算題；動(dòng)點(diǎn)型．
【分析】（1）根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長(zhǎng)，然后就知AP的長(zhǎng)，利用勾股定理求得PB的長(zhǎng)，最后即可求得周長(zhǎng)．
（2）因?yàn)锳B與CB，由勾股定理得AC=4 因?yàn)锳B為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．
（3）分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
【解答】解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，
∴出發(fā)2秒后，則CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB= = ，
∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=2+5+ =7 ．
（2）①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，
此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：
i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，
所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點(diǎn)D，
在Rt△PCD中，PD = = =1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P運(yùn)動(dòng)的路程為9﹣3.6=5.4cm，
則用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm
則所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時(shí)，△BCP為等腰三角形
（3）如圖6，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t+2t﹣3=3，
∴t=2；
如圖7，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t﹣4+2t﹣8=6，
∴t=6，
∴當(dāng)t為2或6秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于初二學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，尤其是第（2）由兩種情況，△BCP為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．
1．下列標(biāo)志中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是( )
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，解答時(shí)要注意：
判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部沿對(duì)稱軸疊后可重合；判斷中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．在下列各組條件中，不能說(shuō)明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF
【考點(diǎn)】全等三角形的判定．
【分析】根據(jù)題目所給的條件結(jié)合判定三角形全等的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；
B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)符合題意；
C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；
D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
3．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是( )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1， ，3
【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．
【專題】計(jì)算題．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以構(gòu)成直角三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以構(gòu)成直角三角形，故B選項(xiàng)正確；
C、22+32=13≠42，不可以構(gòu)成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、12+（ ）2=3≠32，不可以構(gòu)成直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm，則△DEB的周長(zhǎng)是( )
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC=DE，AC=AE，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB的周長(zhǎng)=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，如果把△ABC的頂點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A′點(diǎn)，連接A′B，則線段A′B與線段AC的關(guān)系是( )
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
【考點(diǎn)】平移的性質(zhì)；勾股 定理．
【專題】網(wǎng)格型．
【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷線段A′B與線段AC的關(guān)系．
【解答】解：如圖，將點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A′點(diǎn)，連接A′B，與線段AC交于點(diǎn)O．
∵A′O=OB= ，AO=OC=2 ，
∴線段A′B與線段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴線段A′B與線段AC互相垂直平分．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，勾股定理，正確利用網(wǎng)格求邊長(zhǎng)長(zhǎng)度及角度是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②△PMN為等邊三角形；下面判斷正確是( )
A．①正確 B．②正確 C．①②都正確 D．①②都不正確
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等邊三角形的判定．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷②正確．
【解答】解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，
∴PM= BC，PN= BC，
∴PM=PN，正確；
②∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；
所以①②都正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．一等腰三角形底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng)為5cm，則腰上的高為( )
A．3cm B． cm C． cm D． cm
【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD，由勾股定理求出AD，由三角形面積的計(jì)算方法即可求出腰上的高．
【解答】解：如圖所示：
作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，
則∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD= BC=4cm，
∴AD= = =3（cm），
∵△ABC的面積= AB•CE= BC•AD，
∴AB•CE=BC•AD，
即5×CE=8×3，
解得：CE= ，
即腰上的高為 ；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)三角形面積的計(jì)算；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理求出AD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，連接CD，給出四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正確的結(jié)論有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．
【分析】過(guò)E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CE=EQ，DF=DH，根據(jù)勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE，即可求出③；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CND=45°，證△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；證△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④．
【解答】解：如圖，
過(guò)E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴③正確；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN= AE，
∵AN=BD，
∴BD= AE，
∴①正確，②正確；
過(guò)D作DH⊥AB于H，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，
∴DF=DH，
在△DCF和△DBH中
，
∴△DCF≌△DBH，
∴BH=CF，
由勾股定理得：AF=AH，
∴ = = = =2，
∴AC+AB=2AF，
AC+AB=2AC+2CF，
AB﹣AC=2CF，
∵AC=CB，
∴AB﹣CB=2CF，
∴④正確．
故選D
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共11小題，每空2分，共22分．）
9．如圖，在△ABC與△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一個(gè)條件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定．
【專題】開(kāi)放型．
【分析】添加DC=BC，利用SSS即可得到兩三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到兩三角形全等．
【解答】解：添加條件為DC=BC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加條件為∠DAC=∠BAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案為：DC=BC或∠DA C=∠BAC
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等 三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是50°．
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得∠C=∠ABC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案為：50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并用∠A表示出△ABC的另兩個(gè)角，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD=6，DE=5，則CD的長(zhǎng)等于8．
【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．
【專題】計(jì)算題．
【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得
CD= = =8．
故答案是：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長(zhǎng)度是解題的難點(diǎn)．
12．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=3cm，BC=4cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD= cm．
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．
【分析】先利用勾股定理求得AB=5，然后由翻折的性質(zhì)得到AE=AC=3，CD=DE，則EB=2，設(shè)CD=EC=x，則BD=4﹣x，然后在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB= =5，
由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，CD=DE，則BE=2．
設(shè)CD=DE=x，則BD=4﹣x．
Rt△DEB中，由勾股定理得：DB2=DE2+EB2，即（4﹣x）2=x2+22，
解得：x= ．
∴CD= ．
故答案為： cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，利用翻折的性質(zhì)和勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．
13．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為10cm．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．
【分析】題中沒(méi)有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．
【解答】解：（1）當(dāng)三邊是2cm，2cm，4cm時(shí)，2+2=4cm，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；
（2）當(dāng)三邊是2cm，4cm，4cm時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)是10cm；
所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是10cm．
故填10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
14．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角為80°，則它的頂角的度數(shù)是80°或20°．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．
【分析】等腰三角形一內(nèi)角為80°，沒(méi)說(shuō)明是頂角還是底角，所以有兩種情況．
【解答】解：（1）當(dāng)80°角為頂角，頂角度數(shù)即為80°；
（2）當(dāng)80°為底角時(shí)，頂角=180°﹣2×80°=20°．
故答案為：80°或20°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．直角三角形斜邊上的高與中線分別是5cm和6cm，則它的面積是30cm2．
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．
【分析】由于直角三角形斜邊上的中線是6cm，因而斜邊是12cm，而高線已知，因而可以根據(jù)面積公式求出三角形的面積．
【解答】解：∵直角三角形斜邊上的中線是6cm，
∴斜邊是12cm，
∴S△= ×5×12=30cm2
∴它的面積是30cm2．
故填：30cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半．
16．△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且到△ABC三邊 的距離相等，∠A=40°，則∠BOC=110°．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)O到三角形三邊距離相等，得到O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念即可求出∠BOC的度數(shù)．
【解答】解：∵O到三角形三邊距離相等，
∴O是內(nèi)心，
∴AO，BO，CO都是角平分線，
∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，∠BCO=∠ACO= ∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，
∠OBC+∠OCB=70°，
∠BOC=180°﹣70°=110°．
故答案為：110°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的定義和三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PN+PM+MN的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是30°．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題．
【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如 圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故答案為：30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問(wèn)題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)， 證明三角形是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為63°或27°．
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】分類討論．
【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù)．
【解答】解：在三角形ABC中，設(shè)AB=AC，BD⊥AC于D．
①若是銳角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，
底角=（180°﹣54°）÷2=63°；
②若三角形是鈍角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，
此時(shí)底角=（180°﹣126°）÷2=27°．
所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°．
故答案為：63°或27°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．
19．如圖，在△ABC中AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長(zhǎng)為21．
【考點(diǎn)】勾股定理．
【專題】計(jì)算題．
【分析】在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由CD+BD求出BC的長(zhǎng)即可．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，
根據(jù)勾股定理得：CD= =6，
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，
根據(jù)勾股定理得：BD= =15，
則BC=6+15=21，
故答案為：21
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
三、簡(jiǎn)答題：（本大題共7小題，共54分）
20．如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A′B′C′；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P（在答題紙上圖中標(biāo)出），使PB+PC的長(zhǎng)最短，這個(gè)最短長(zhǎng)度的平方值是13．
【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換．
【分析】（1）分別找到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接可得△A′B′C′．
（2）連接B'C，則B'C與l的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，求出PB+PC的值即可．
【解答】解：（1）如圖所示：
．
（2）如圖所示：
PB+PC=PB'+PC=B'C= = ．
則這個(gè)最短長(zhǎng)度的平方值是13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱作圖及最短路線問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，難度一般．
21．如圖，已知△ABC，AC＜AB．
（1）用直尺和圓規(guī)作出一條過(guò)點(diǎn)A的直線l，使得點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在邊AB上（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）設(shè)直線l與邊BC的交點(diǎn)為D，且∠C=2∠B，請(qǐng)你通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
【專題】作圖題．
【分析】（1）先作∠BAC的平分線l，再過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l交AB于F，則可得到點(diǎn)C和F點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，所以l為所作；
（2）連結(jié)DF，如圖，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，則AD垂直平分CF，所以DF=DC，則∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性質(zhì)得∠BDF=2∠DCF，接著證明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，則FB=FD=CD，則易得AB=AF+FB=AC+CD．
【解答】解：（1）如圖，直線l為所作；
（2）AB=AC+CD．理由如下：
連結(jié)DF，如圖，
∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，
∴AF=AC，
∴AD垂直平分CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，
∵∠AFC=∠ACF，
∵∠AFC=∠B+∠BCF，
∴∠ACF=∠B+∠BCF，
∵∠ACB=2∠B，
∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF，
∴∠B=2∠BCF，
∴∠B=∠BDF，
∴FB=FD，
∴FB=CD，
∴AB=AF+FB=AC+CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)．
22．如圖，E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求證：
（1）△ABF≌△DCE．
（2）AF∥DE．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】證明題．
【分析】（1）由等式的性質(zhì)就可以得出BF=CE，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠B=∠C，根據(jù)SAS就可以得出結(jié)論；
（2）由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出結(jié)論．
【解答】證明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C ．
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴AF∥DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
23．如圖，某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問(wèn)用該草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？
【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出區(qū)域的面積，即可求出答案．
【解答】解：連結(jié)AC，如圖所示：
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，
由勾股定理得：AC= =10（米），
∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴該區(qū)域面積S=S△ACB﹣S△ADC= ×10×24﹣ ×6×8=96（平方米），
∴鋪滿這塊空地共需花費(fèi)=96×100=9600元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形面積，勾股定理的逆定理的應(yīng)用；解此題的關(guān)鍵是求出區(qū)域的面積．
24．如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上．
（1）折疊后，DC的對(duì)應(yīng)線段是BC′，CF的對(duì)應(yīng)線段是FC′；
（2）若AB=8，DE=10，求CF的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．
【分析】（1）根據(jù)翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定出對(duì)應(yīng)線段即可；
（2）在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE=6，從而得到AD=16，然后證明BE=BF=10，從而可求得FC=16﹣10=6．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上，
∴DC的對(duì)應(yīng)線段是BC′，CF的對(duì)應(yīng)線段是FC′．
故答案為：BC′；FC′．
（2）由翻折的性質(zhì)可知：DE=BE=10，∠2=∠BEF．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1．
∴∠1=∠BEF．
∴BE=BF=10．
在Rt△A BE中，由勾股定理得：AE= = =6，
∴AD=AE+ED=6+10=16．
∴CF=CB﹣BF=16﹣10=6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，證得BE=BF=10是解題的關(guān)鍵．
25．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證 明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2
證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a（b﹣a）
∴ b2+ ab= c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a2+b2=c2．
【考點(diǎn)】勾股定理的證明．
【分析】首先連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證．
【解答】證明：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，
∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab，
又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出五邊形ACBED的面積是解本題的關(guān)鍵．
26．如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B →C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
（2）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】計(jì)算題；動(dòng)點(diǎn)型．
【分析】（1）根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長(zhǎng)，然后就知AP的長(zhǎng)，利用勾股定理求得PB的長(zhǎng)，最后即可求得周長(zhǎng)．
（2）因?yàn)锳B與CB，由勾股定理得AC=4 因?yàn)锳B為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．
（3）分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
【解答】解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，
∴出發(fā)2秒后，則CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB= = ，
∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=2+5+ =7 ．
（2）①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，
此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：
i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，
所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點(diǎn)D，
在Rt△PCD中，PD = = =1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P運(yùn)動(dòng)的路程為9﹣3.6=5.4cm，
則用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm
則所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時(shí)，△BCP為等腰三角形
（3）如圖6，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t，BQ=2t﹣3，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t+2t﹣3=3，
∴t=2；
如圖7，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴t﹣4+2t﹣8=6，
∴t=6，
∴當(dāng)t為2或6秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于初二學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，尤其是第（2）由兩種情況，△BCP為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．