1.若xy>0，則對 xy+yx說法正確的是( )
A.有值-2 B.有最小值2
C.無值和最小值 D.無法確定
答案：B
2.設x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數(shù)，則xy的值是( )
A.400 B.100
C.40 D.20
答案：A
3.已知x≥2，則當x=____時，x+4x有最小值____.
答案：2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)當x>0時，求f(x)的最小值;
(2)當x<0 時，求f(x)的值.
解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.
∴12x+4x≥212x•4x=83.
當且僅當12x=4x，即x=3時取最小值83，
∴當x>0時，f(x)的最小值為83.
(2)∵x<0，∴-x>0.
則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83，
當且僅當12-x=-4x時，即x=-3時取等號.
∴當x<0時，f(x)的值為-83.
一、選擇題
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A.x+12x B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案：C
2.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是( )
A.32-3 B.-3
C.62 D.62-3
解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R，mn=100，則m2+n2的最小值是( )
A.200 B.100
C.50 D.20
解析：選A.m2+n2≥2mn=200，當且僅當m=n時等號成立.
4.給出下面四個推導過程：
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba•ab=2;
②∵x，y∈(0，+∞)，∴l(xiāng)gx+lgy≥2lgx•lgy;
③∵a∈R，a≠0，∴4a+a ≥24a•a=4;
④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.
其中正確的推導過程為( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;
②雖然x，y∈(0，+∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數(shù)，y∈(0,1)時，lgy是負數(shù)，∴②的推導過程是錯誤的;
③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a+a≥24a•a=4是錯誤的;
④由xy<0得xy，yx均為負數(shù)，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后，(-xy)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確.
5.已知a>0，b>0，則1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2 B.22
C.4 D.5
解析：選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.6.已知x、y均為正數(shù)，xy=8x+2y，則xy有( )
A.值64 B.值164
C.最小值64 D.最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數(shù)，
∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy，
當且僅當8x=2y時等號成立.
∴xy≥64.
二、填空題
7.函數(shù)y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.
解析：1=x+4y≥2x•4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大 116
9.(2010年高考山東卷)已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的值為________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
當且僅當x3=y4時取等號.
答案：3
三、解答題
10.(1)設x>-1，求函數(shù)y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函數(shù)y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2 x+1•4x+1+5=9，
當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.
∴x=1時，函數(shù)的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.
當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
當且僅當a=b=c時取等號.
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).
問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.
解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米.
總造價f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x•225x+12000
=36000(元)
當且僅當x=225x(x>0)，
即x=15時等號成立.
A.有值-2 B.有最小值2
C.無值和最小值 D.無法確定
答案：B
2.設x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數(shù)，則xy的值是( )
A.400 B.100
C.40 D.20
答案：A
3.已知x≥2，則當x=____時，x+4x有最小值____.
答案：2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)當x>0時，求f(x)的最小值;
(2)當x<0 時，求f(x)的值.
解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.
∴12x+4x≥212x•4x=83.
當且僅當12x=4x，即x=3時取最小值83，
∴當x>0時，f(x)的最小值為83.
(2)∵x<0，∴-x>0.
則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83，
當且僅當12-x=-4x時，即x=-3時取等號.
∴當x<0時，f(x)的值為-83.
一、選擇題
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A.x+12x B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案：C
2.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是( )
A.32-3 B.-3
C.62 D.62-3
解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R，mn=100，則m2+n2的最小值是( )
A.200 B.100
C.50 D.20
解析：選A.m2+n2≥2mn=200，當且僅當m=n時等號成立.
4.給出下面四個推導過程：
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba•ab=2;
②∵x，y∈(0，+∞)，∴l(xiāng)gx+lgy≥2lgx•lgy;
③∵a∈R，a≠0，∴4a+a ≥24a•a=4;
④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.
其中正確的推導過程為( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;
②雖然x，y∈(0，+∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數(shù)，y∈(0,1)時，lgy是負數(shù)，∴②的推導過程是錯誤的;
③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a+a≥24a•a=4是錯誤的;
④由xy<0得xy，yx均為負數(shù)，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后，(-xy)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確.
5.已知a>0，b>0，則1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2 B.22
C.4 D.5
解析：選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.6.已知x、y均為正數(shù)，xy=8x+2y，則xy有( )
A.值64 B.值164
C.最小值64 D.最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數(shù)，
∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy，
當且僅當8x=2y時等號成立.
∴xy≥64.
二、填空題
7.函數(shù)y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.
解析：1=x+4y≥2x•4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大 116
9.(2010年高考山東卷)已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的值為________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
當且僅當x3=y4時取等號.
答案：3
三、解答題
10.(1)設x>-1，求函數(shù)y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函數(shù)y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2 x+1•4x+1+5=9，
當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.
∴x=1時，函數(shù)的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.
當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
當且僅當a=b=c時取等號.
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).
問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.
解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米.
總造價f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x•225x+12000
=36000(元)
當且僅當x=225x(x>0)，
即x=15時等號成立.