(a) (b)
圖2-1
四、直桿內(nèi)力圖的特征
在直桿中，根據(jù)荷載集度q，彎矩M、剪力V之間的微分關(guān)系dV/dx=q，dM/dx=V、d2M/dx2=q，可推出荷載與內(nèi)力圖的一些對應(yīng)關(guān)系，這些對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成了彎矩圖與剪力圖的形狀特征(表2—1)。
表2—1
|
梁上情況 |
無外力區(qū)段 |
均布力q作用區(qū)段 |
集中力P作用處 |
集小力偶M。作用處 |
鉸處 | ||
|
剪力圖 |
水平線 |
斜直線 |
為零處 |
有突變(突變值＝P) |
如變號 |
無變化 |
|
|
彎矩圖 |
一般為斜直線 |
拋物線(凸出方向同q指向) |
有極值 |
有尖角(尖角指向同P指向) |
有極值 |
有突變(突變值—M。) |
為零 |
注意到截面上軸力與剪力是互相垂直的，只要根據(jù)剪力圖的特征，并結(jié)合桿件上的荷載情況，就可得到軸力圖的特征。熟悉掌握內(nèi)力圖的特征，便于繪制和校核內(nèi)力圖。
五、靜定多跨梁
(一)靜定多跨梁的組成
由中間鉸將若干根單跨梁相連，并用若干支座與地基連接而成的靜定梁，稱為靜定多跨梁。圖2—2(a)、圖2—3(a)所示為靜定多跨梁的兩種基本形式，也可由這兩種基本形式組成混合形式。
圖2—2(a)中的AB桿與基礎(chǔ)組成的幾何不變體能單獨承受荷載，稱為基本部分。而其余的CD、EF部分，則必須依靠基本部分才能保持為幾何不變，稱為附屬部分。圖11—2-2(b)為表示這種基本部分與附屬部分關(guān)系的層疊圖。
圖2-2
圖2—3(a)所示的梁，在豎向荷載作用下，AB、EF部分為基本部分，CD則為附屬部分，其層疊圖如圖2—3(b)所示。
圖2-3
靜定多跨梁的支座反力數(shù)等于三個整體靜力平衡方程數(shù)與連接桿件的單鉸數(shù)之和。
(二)靜定多跨梁的計算
因為作用在基本部分上的荷載對附屬部分的內(nèi)力不產(chǎn)生影響，而作用在附屬部分上的荷載，對支撐它的基本部分要產(chǎn)生內(nèi)力，因此，靜定多跨梁的內(nèi)力計算，一般可按以下步驟計算。
1.區(qū)分基本部分和附屬部分，繪出層疊圖。
2.根據(jù)層疊圖，從最上層的附屬部分開始，依次計算各單跨梁的支座反力井繪制內(nèi)力圖。在計算中要將附屬部分的反力傳至支撐它的基本部分。
3.對反力和內(nèi)力圖進行校核。
支座反力一般可根據(jù)靜定多跨梁的整體平衡條件校核。彎矩圖、剪力圖一般可根據(jù)表2-1中M圖與y圖的形狀特征進行校核，也可以從梁中截取任一隔離體由平衡條件校核。
[例2-1] 求作圖2-4(a)所示靜定多跨梁的彎矩圖和剪力圖。
圖2-4
[解] 層疊圖如圖2-4(b)所示。各附屬部分、基本部分的計算過程如圖2-4(c)所示。彎矩圖和剪力圖分別如圖2-4(d)所示。其中剪力圖的正、負號規(guī)定與材料力學中的規(guī)定相同。
容易看出，當跨度和荷載均相同時，靜定多跨梁的彎矩比簡支梁的彎矩小，并且只要調(diào)整靜定多跨梁中間鉸的位置，就可使梁的各截面彎矩值的相對比值發(fā)生變化，這是靜定多跨梁的優(yōu)點。但由于中間鉸的存在，構(gòu)造就復(fù)雜一些。
六、靜定平面剛架
部分結(jié)點或全部結(jié)點是剛性連接的結(jié)構(gòu)稱為剛架。各桿軸線、支座及荷載均在同一平面內(nèi)的靜定剛架稱為靜定平面剛架。
靜定平面剛架的內(nèi)力計算，通常是先求出支座反力及鉸接處的約束力，再由截面法求 出各桿端截面的內(nèi)力，然后根據(jù)荷載情況及內(nèi)力圖的特征，逐桿繪制內(nèi)力圖。
[例2-2] 繪制圖2-5(a)所示剛架的彎矩、剪力、軸力圖。
圖2-5
[解] (1)計算支座反力
根據(jù)剛架的整體平衡條件，由
ΣX=0，得HA=4qa;
ΣMA=0，得VB=2qa;
ΣY=0，得VA=2qa。
(2)計算各桿端截面的彎矩、剪力、軸力。由截面法可得各桿端截面的內(nèi)力值為：
AC桿：MAC=0，MCA=16qa2(左側(cè)受拉);VAC=4qa，VCA=—12qa;NAC=2qa，
NCA=2qa(軸力以拉力為正)。
BE桿：MBD=0，MDB=18qa2(右側(cè)受拉);VBD=—1.2qa，VDB=8.4qa;NBD=—1.6qa，NDB=—8.8qa。
CD桿：MCD=16qa2(上側(cè)受拉)，MDC=24qa2(上側(cè)受拉);VCD=—2qa，VDC=—2qa;
NCD=—12qa，NDC=—12qa。
(3)作彎矩、剪力、軸力圖
根據(jù)上述計算結(jié)果及各桿的荷載情況，應(yīng)用直桿彎矩圖的疊加法，并按照內(nèi)力圖的特 征，就可作出剛架的M、V、N圖，分別如圖2—5(b)、(c)、(d)所示。
(4)校核
為校核平衡條件，可任取剛架的某些局部為隔離體，如圖2-5(e)所示的隔離體，滿 足平面一般力系的三個平衡條件：
ΣX=0;
ΣM=0;
ΣY=0。
圖2—5(f)所示結(jié)點D隔離體，滿足平面一般力系的三個平衡條件：
ΣX=0;
ΣMD=0;
ΣY=0。
七、三鉸拱和三鉸剛架的內(nèi)力計算
圖2—6(a)所示由曲桿組成的結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下將產(chǎn)生水平反力，這種結(jié)構(gòu)稱為 拱形結(jié)構(gòu)。而圖2—6(b)所示的結(jié)構(gòu)，在豎向荷載作用下其水平支座反力等于零，這種結(jié) 構(gòu)稱為曲梁。圖2—6(c)所示為兩個曲桿由三個不共線的鉸與地基兩兩相連的三鉸拱，它 是工程中常用的靜定拱形結(jié)構(gòu)，由于它的支座產(chǎn)生水平推力，基礎(chǔ)應(yīng)具有相應(yīng)的抗力，故 有時做成圖2—6(d)所示的拉桿拱，水平推力由拉桿來承擔。
圖2-6
三鉸拱由于存在水平推力，故拱軸截面中的彎矩比相同跨度相同荷載的簡支梁的彎矩要小，使拱成為主要是承受壓力的結(jié)構(gòu)，可采用受壓性能強而受拉性能差的材料建造。與簡支梁相比，拱形結(jié)構(gòu)可以跨越更大的跨度。
三鉸拱的有關(guān)術(shù)語表示在圖2—6(c)中，工程中常用的矢跨比f/l=0.5～1，常用的拱軸方程有二次拋物線，圓弧線，懸鏈曲線等。
(一)三鉸平拱在豎向荷載作用下的支座反力及內(nèi)力計算
拱腳鉸在同一水平線上的三鉸拱稱為三鉸平拱。
支座反力
由圖2—7(a)所示三鉸拱的整體平衡條件及頂鉸C處彎矩為零的條件，可得支座反力的計算公式為
VA=VA0 (2—1)
VB=VB0 (2—2)
HA=HB=H=MC0 /f (2—3)
式中VA0、VB0、MC0分別為與三鉸拱相同跨度、相同荷載簡支梁(簡稱為三鉸拱的代 梁，圖2—7b)支座A、B處的支座反力及截面C的彎矩。
式(2—3)表明，在給定的豎向荷載作用下，三鉸拱的水平推力只與三個鉸的位置有關(guān)，而與拱軸線的形狀無關(guān)。當荷載與拱跨不變時，推力H與矢高f成反比，f愈大即拱愈高時H愈小，f愈小即拱愈平時H愈大。若f=0，則H為無窮大，這時三鉸已共線，體系為瞬變體系。
取圖2—7c所示的隔離體，并由隔離體的平衡條件，可得任意截面D的彎矩、剪力、軸力計算公式為
MD=MD0—HyD (2—4)
VD=VD0cosφD-HsinφD (2—5)
ND=VD0sinφD+HcosφD (2—6)
式中MD、VD、ND的正方向如圖2—7c所示，MD0、VD0為代梁D截面的彎矩、剪力，yD、φD的含意如圖2—7a所示。在圖示坐標系中，φD在左半拱內(nèi)為正，在右半拱內(nèi)為負。
三鉸拱的內(nèi)力計算，除上述數(shù)解法外，還可用圖解法進行，可通過繪制三鉸拱的力多 邊形及壓力線(索多邊形)來確定其內(nèi)力。
圖2-7
(二)三鉸拱的合理拱軸
在某種固定荷載作用下，拱的所有截面的彎矩均為零的軸線稱為合理拱軸。
圖2-8
三鉸拱在豎向荷載作用下合理拱軸的一般表達式，可根據(jù)合理拱軸的定義，令式 (2—4)等于零，得合理拱軸方程為
y=M0/H (2—7)
圖2—8a所示三鉸拱承受滿跨均布荷載q作用，其具體的合理拱軸方程可按式(2-7)推導如下：
按圖2—8a所示坐標系，將代梁(圖2—8b)的彎矩方程
M0=qx(l-x)/2
及拱的水平推力
H=MC0/f=ql2/8f
代人式(2—7)得拱的合理拱軸方程為
y=4fx(l-x)/l2 (2—8)
順便指出，三鉸拱在滿跨填料重量作用下的合理拱軸為懸鏈曲線;在徑向均布荷載作用下的合理拱軸為圓弧線。
(三)三鉸剛架的內(nèi)力計算
分析圖2—9a所示的三鉸剛架，繪制其彎矩、剪力、軸力圖。
1.計算支座反力
計算三鉸剛架的支座反力與三鉸拱是類似的，除了應(yīng)用三個整體平衡條件外，還需要利用鉸C處彎矩等于零的條件。經(jīng)計算得
HA=1.33qa;VA=24qa
HB=13.33qa;VB=46qa
2.計算各桿端截面內(nèi)力并繪制內(nèi)力圖
支座反力求出后，各桿端截面內(nèi)力計算及各內(nèi)力圖的繪制方法，與前述簡支剛架的方 法都是相同的，得出的M、V、N圖，分別如圖2-9b、c、d所示。
( d )
圖2-9八、靜定平面桁架
(一)理想平面桁架的假定及其按幾何組成的分類。
理想桁架應(yīng)滿足下面三個假定：1.各結(jié)點均為無摩擦的理想鉸;2.各桿件軸線均為 直桿，且各通過鉸的幾何中心;3.荷載都作用在結(jié)點上。如圖2—l0a、b、c所示平面桁架均為理想桁架。
符合上述假定的理想桁架的各桿只承受軸向力，橫截面上只產(chǎn)生均勻的法向應(yīng)力，與梁相比，受力合理，用料經(jīng)濟，自重較輕，可跨越較大的跨度。
不符合上述假定的桁架，在桿件中會產(chǎn)生彎曲次應(yīng)力，理論分析和實驗表明，當桁架的桿件比較細長時，這種次應(yīng)力與由軸力引起的應(yīng)力相比所占比例不大。
桁架按其幾何組成可分為：
簡單桁架——從僅由三根桿件組成的三角形鉸接單元出發(fā)，根據(jù)兩元片規(guī)則，逐次擴展形成的桁架，如圖2-10a所示。
聯(lián)合桁架——由兩個或兩個以上的簡單桁架聯(lián)合組成的桁架，如圖2-10b所示。
復(fù)雜桁架——不屬于上述兩類的桁架，如圖2-10c所示。
桁架的有關(guān)術(shù)語表示在圖2-10a中。
(c )
圖2-10
(二)平面桁架的內(nèi)力計算
1.節(jié)點法
取桁架的節(jié)點為隔離體，由平面匯交力系的平衡條件求解各桿內(nèi)力的方法。從理論上講，任何靜定平面桁架都可利用節(jié)點法求出全部桿件的內(nèi)力，但為了避免求解聯(lián)立方程，在每次截取的節(jié)點上不應(yīng)超過兩個未知內(nèi)力。在簡單桁架中，只要按兩元片規(guī)則，循著各節(jié)點形成的順序或相反的順序，逐次應(yīng)用節(jié)點法，在每個結(jié)點的平衡方程中，最多不會超過兩個未知力。
在計算中，有時可利用下面幾種節(jié)點平衡的特殊情況。
(1)兩桿節(jié)點上無荷載，兩桿內(nèi)力均為零(圖2—11a);
(2)三桿節(jié)點上無荷載，其中在同一直線上的兩桿內(nèi)力相等而方向相反，另一桿內(nèi)力為零(圖2—11b);
(3)四桿節(jié)點上無荷載，且四桿相交成兩直線，則處在同一直線上的兩桿內(nèi)力相等，但方向相反(圖2—11c);
(4)四桿節(jié)點上無荷載，其中兩桿共線而另兩桿處于此線的同側(cè)且傾角相同，則處于共線桿同側(cè)的兩桿內(nèi)力等值而反向(圖2—11d)。
圖2-11
應(yīng)用上述識別零桿的方法，容易看出圖2—12a所示桁架中虛線所示的各桿均為零桿。
圖2—12b、c分別為對稱桁架承受對稱荷載和反對稱荷載作用。根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載(或反對稱荷載)作用下，其內(nèi)力為對稱(或反對稱)的特點，再根據(jù)上述識別零桿的方法，可知圖中虛線所示的桿件為零桿。
[解]
(1)求支座反力
由整體平衡條件，得VA=80kN，HA=0，VB=100kN。
(2)求桁架各桿軸力
從只含兩個未知力的節(jié)點A(或節(jié)點B)開始，再依次分析鄰近節(jié)點。
節(jié)點A(圖2—13b)，設(shè)未知軸力為拉力，并采用NA2的水平分力XA2或豎向分力YA2作為未知數(shù)，則由
ΣY=0，得YA2=-VA=—80kN
再由式(2—9)得
XA2=-60kN
NA2=—100kN
再由ΣX=0，得NAl=60kN
節(jié)點1(圖2—13c)，由該節(jié)點的平衡條件可得N14=60kN(拉力)，N12=40kN(拉力)。
依次再考慮節(jié)點2、3、4、5、6、7，每—結(jié)點不超過兩個未知力。至最后節(jié)點B時，各桿軸力均為已知，可據(jù)此節(jié)點是否滿足平衡條件作為內(nèi)力計算的校核。各桿軸力計算的結(jié)果標注在圖2—13a上，拉力為正，壓力為負。
2.截面法
截取包含兩個節(jié)點以上的隔離體，利用平面一般力系的平衡條件求解各桿軸力的方法。截面法中的一個隔離體，一般只能求解三個未知內(nèi)力，但如果在一個截面中，除一桿外，其余各桿均相交于一點或相互平行，則該桿軸力仍可在該隔離體中求出。
[例2-4] 用截面法求圖2—14a所示桁架中a、b、c、d、e各桿的內(nèi)力。
[解]
(1)求支座反力
由桁架的整體平衡條件得VA=VB=1.5P，HA=0。
(2)求Na、Nb
作截面I—I，取圖2—14b所示隔離體，由ΣY=0，得Na=—0.5P(壓力);由ΣM2=0，得Nb=2.25P(拉力)。
(3)求NC
在結(jié)間34內(nèi)作豎向截面，取右隔離體，由ΣY=0，得YC=0.5P，即NC=0.625P(拉力)。
(4)求Nd、Ne。
作截面Ⅱ—Ⅱ，取圖2—14c所示隔離體，由ΣMk=0，得Nd=0.25P(拉力)。再由ΣM4=0，得Ne=—2.37P(壓力)。
圖2-15
對于圖2—15a所示的桁架，求出支座反力后，再根據(jù)其幾何組成關(guān)系，可知EDCB與E'D'C'A兩部分之間，由三根不相交于一點的鏈桿AE、BE'、CC'相連，故可通過該三桿作截面取圖2—15b所示隔離體，由力矩平衡方程先求出NEA(或NBE'或NCC')，進而再求其他各桿軸力。
3.節(jié)點法與截面法的聯(lián)合應(yīng)用
在桁架內(nèi)力計算中，有時聯(lián)合應(yīng)用節(jié)點法和截面法，可使計算得到簡化。
圖2-16
如擬求圖2—16所示桁架斜桿軸力N1，求出支座反力后，可先由節(jié)點C的ΣX=0，得N1與N1'的第一關(guān)系式。再用截面法，由I—I截面一側(cè)隔離體的ΣY=0，得N1與N1'的第二關(guān)系式。聯(lián)立求解兩個關(guān)系式就可求出Nl。
九、靜定組合結(jié)構(gòu)由軸力桿和受彎桿組成的結(jié)構(gòu)稱為組合結(jié)構(gòu)。
計算組合結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，應(yīng)注意區(qū)分軸力桿和受彎桿。在隔離體上，軸力桿的截面上只有軸力，受彎桿的截面上，一般有彎矩、剪力和軸力。
[例2-5] 求作圖2—17a所示組合結(jié)構(gòu)的彎矩、剪力、軸力圖。
圖2-17
[解] 此組合結(jié)構(gòu)中，除AC、BC桿為受彎桿件外，其余均為軸力桿。
(1)求支座反力
由整體平衡條件，得VA=VB=75kN，HA=0。
(2)通過鉸C作I—I截面，由該截面左邊隔離體的平衡條件ΣMc=0，得NDE=135kN(拉力);由ΣY=0，Qc=—15kN;由ΣX=0，得NC=—135kN(壓力)。
(3)分別由結(jié)點D、E的平衡條件，得NDA=NEB=151kN(拉力)，NDF=NEG=67.5kN(壓力)。
(4)根據(jù)鉸C處的剪力Qc及軸力Nc，并按直桿彎矩圖的疊加法就可繪出受彎桿AFC、BGC的彎矩圖。
(5)M、Q、N圖分別如圖2—17b、c、d所示。
十、靜定結(jié)構(gòu)的特性
各種形式的靜定結(jié)構(gòu)，具有下述五點共同的特性。
(一)滿足靜力平衡條件的靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力解答是的。
(二)溫度改變、支座位移、構(gòu)件制造誤差、材料收縮等因素，在靜定結(jié)構(gòu)中均不引起反力和內(nèi)力。
(三)平衡力系作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一內(nèi)部幾何不變部分時，只在該幾何不變部分產(chǎn)生反力和內(nèi)力，在其余部分都不產(chǎn)生反力和內(nèi)力。
圖2-18
如在圖2—18a所示簡支梁的內(nèi)部幾何不變部分CD上作用一平衡力系，只在CD部分產(chǎn)生彎矩和剪力，而在AC、BD部分不產(chǎn)生反力和內(nèi)力。又如在圖2—18b所示靜定桁架的內(nèi)部幾何不變部分CDE上作用一平衡力系，只在CDE部分的三桿內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)力，而其余各桿內(nèi)力及支座反力均等于零。
(四)靜定結(jié)構(gòu)的某一內(nèi)部幾何不變部分上的荷載作等效變換時，只有該部分的內(nèi)力產(chǎn)生變化，而其余部分的反力和內(nèi)力均保持不變。
圖2-19
例如在圖2—19a所示的內(nèi)部幾何不變部分內(nèi)將荷載作等效變換(圖2—19b)，則只有在CD部分內(nèi)的內(nèi)力(如彎矩)有變化，而其余部分AC、DB內(nèi)的反力和內(nèi)力均不發(fā)生變化。
(五)靜定結(jié)構(gòu)的一個內(nèi)部幾何不變部分作構(gòu)造上的局部改變時，只有該部分的內(nèi)力發(fā)生變化，而其余部分的反力和內(nèi)力均保持不變。
如圖2—20a中的CD桿變換成圖2—20b中的小桁架CD，而作用的荷載及端部C、D的約束性質(zhì)不變，則在作這種構(gòu)造的局部改變后，只對CD部分的內(nèi)力發(fā)生變化，其余部分的反力和內(nèi)力均保持不變。
