一般地，如果一個(gè)數(shù)列[1]從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列(Geometric Sequences)。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。在運(yùn)用等比數(shù)列[2]的前n和時(shí)，一定要注意討論公比q是否為1。
另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
等比中項(xiàng)定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。
(1)無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：
無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和。
(2)由等比數(shù)列組成的新的等比數(shù)列的公比：
{an}是公比為q的等比數(shù)列
1、若A=a1+a2+……+an
等比數(shù)列公式
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
則，A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比Q=q^n
2、若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
則，A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比Q=q
2公式性質(zhì)
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq;
(2)在等比數(shù)列中，依次每 k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。
(3)“G是a、b的等比中項(xiàng)”“G^2=ab(G≠0)”.
(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an*bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比數(shù)列中，連續(xù)的，等長的，間隔相等的片段和為等比。
(6)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為q，則(log以a為底an的對數(shù))成等差，公差為log以a為底q的對數(shù)。
(7) 等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由于首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成an=(a1/q)*q^n，它的指數(shù)函數(shù)y=a^x有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。
3求通項(xiàng)法
1、待定系數(shù)法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an構(gòu)造等比數(shù)列a(n+1)+x=2(an+x)
a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
所以(a(n+1)+3)/(an+3)=2
∴{an+3}為首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
2、定義法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通項(xiàng)公式。
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1
另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
等比中項(xiàng)定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。
(1)無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：
無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和。
(2)由等比數(shù)列組成的新的等比數(shù)列的公比：
{an}是公比為q的等比數(shù)列
1、若A=a1+a2+……+an
等比數(shù)列公式
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
則，A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比Q=q^n
2、若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
則，A、B、C構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比Q=q
2公式性質(zhì)
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq;
(2)在等比數(shù)列中，依次每 k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。
(3)“G是a、b的等比中項(xiàng)”“G^2=ab(G≠0)”.
(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an*bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比數(shù)列中，連續(xù)的，等長的，間隔相等的片段和為等比。
(6)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為q，則(log以a為底an的對數(shù))成等差，公差為log以a為底q的對數(shù)。
(7) 等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由于首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成an=(a1/q)*q^n，它的指數(shù)函數(shù)y=a^x有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。
3求通項(xiàng)法
1、待定系數(shù)法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an構(gòu)造等比數(shù)列a(n+1)+x=2(an+x)
a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
所以(a(n+1)+3)/(an+3)=2
∴{an+3}為首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
2、定義法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通項(xiàng)公式。
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1