1.拋物線是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱軸為直線x = -b/2a.對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P.特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）
頂點(diǎn)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P ( -b/2a ,4ac-b^2/4a ) 當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2;-4ac=0時(shí),P在x軸上.
開口
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a＞0時(shí),拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí),拋物線向下開口.|a|越大,則拋物線的開口越小.
決定對(duì)稱軸位置的因素
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0）,對(duì)稱軸在y軸左； 因?yàn)閷?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào) 可簡(jiǎn)單記憶為左同右異,即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0）,對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí) （即ab＜ 0 ）,對(duì)稱軸在y軸右.事實(shí)上,b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值.可通過對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到.
決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0,c）
拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac＞0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn).Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)._______ Δ= b^2-4ac＜0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù),乘上 虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a） 當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變 當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸,這時(shí),函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式 ①當(dāng)x=1時(shí) y=a+b+c ②當(dāng)x=-1時(shí) y=a-b+c ③當(dāng)x=2時(shí) y=4a+2b+c ④當(dāng)x=-2時(shí) y=4a-2b+c
二次函數(shù)的性質(zhì)
8.定義域：R 值域：（對(duì)應(yīng)解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a,正無窮）；②[t,正無窮） 奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù) .周期性：無 解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0,則拋物線開口朝上；a＜0,則拋物線開口朝下； ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)：（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ＝0,圖象與x軸交于一點(diǎn)：（-b/2a,0）； Δ＜0,圖象與x軸無交點(diǎn)； ②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式] 此時(shí),對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0） 對(duì)稱軸X=(X1+X2)/2 當(dāng)a>0 且X≥(X1+X2)/2時(shí),Y隨X的增大而增大,當(dāng)a>0且X≤（X1+X2）/2時(shí)Y隨X 的增大而減小 此時(shí),x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連 用）.交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式.兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1 X2值.
兩圖像對(duì)稱
①y=ax^2+bx+c與y=ax^2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對(duì)稱； ②y=ax^2+bx+c與y=-ax^2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對(duì)稱； ③y=ax^2+bx+c與y=-a(x-h)^2+k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱； ④y=ax^2+bx+c與y=-a(x+h)^2-k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
編輯本段二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c,當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）,即ax^2+bx+c=0 此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根.函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.1．二次函數(shù)y=ax²;,y=a(x-h)²;,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì) 稱 軸 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a,4ac-b²/4a) x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,當(dāng)h0,k>0時(shí),將拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k
頂點(diǎn)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P ( -b/2a ,4ac-b^2/4a ) 當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2;-4ac=0時(shí),P在x軸上.
開口
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a＞0時(shí),拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí),拋物線向下開口.|a|越大,則拋物線的開口越小.
決定對(duì)稱軸位置的因素
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0）,對(duì)稱軸在y軸左； 因?yàn)閷?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào) 可簡(jiǎn)單記憶為左同右異,即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0）,對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí) （即ab＜ 0 ）,對(duì)稱軸在y軸右.事實(shí)上,b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值.可通過對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到.
決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0,c）
拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac＞0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn).Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)._______ Δ= b^2-4ac＜0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù),乘上 虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a） 當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變 當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸,這時(shí),函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式 ①當(dāng)x=1時(shí) y=a+b+c ②當(dāng)x=-1時(shí) y=a-b+c ③當(dāng)x=2時(shí) y=4a+2b+c ④當(dāng)x=-2時(shí) y=4a-2b+c
二次函數(shù)的性質(zhì)
8.定義域：R 值域：（對(duì)應(yīng)解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a,正無窮）；②[t,正無窮） 奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù) .周期性：無 解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0,則拋物線開口朝上；a＜0,則拋物線開口朝下； ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)：（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ＝0,圖象與x軸交于一點(diǎn)：（-b/2a,0）； Δ＜0,圖象與x軸無交點(diǎn)； ②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式] 此時(shí),對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0） 對(duì)稱軸X=(X1+X2)/2 當(dāng)a>0 且X≥(X1+X2)/2時(shí),Y隨X的增大而增大,當(dāng)a>0且X≤（X1+X2）/2時(shí)Y隨X 的增大而減小 此時(shí),x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連 用）.交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式.兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1 X2值.
兩圖像對(duì)稱
①y=ax^2+bx+c與y=ax^2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對(duì)稱； ②y=ax^2+bx+c與y=-ax^2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對(duì)稱； ③y=ax^2+bx+c與y=-a(x-h)^2+k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱； ④y=ax^2+bx+c與y=-a(x+h)^2-k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
編輯本段二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c,當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）,即ax^2+bx+c=0 此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根.函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.1．二次函數(shù)y=ax²;,y=a(x-h)²;,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì) 稱 軸 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a,4ac-b²/4a) x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,當(dāng)h0,k>0時(shí),將拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k