教學(xué)目標(biāo)：1.通過(guò)畫(huà)不同面積的正方形，靈活掌握求組合圖形面積的計(jì)算方法，并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提高認(rèn)識(shí)能力。2.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，打破原有的思維定勢(shì)，提升思維的靈活性。3.感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的興趣。
教學(xué)難點(diǎn)：畫(huà)出非平方數(shù)的正方形，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
教學(xué)重點(diǎn)：畫(huà)出各種形狀的正方形，并求出面積。
教學(xué)過(guò)程：
一、談話導(dǎo)入：
事先寫(xiě)好板書(shū)：畫(huà)正方形
問(wèn)：看了這個(gè)板書(shū)，你們有什么想法？
預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)覺(jué)得特別的簡(jiǎn)單，早就會(huì)。關(guān)于正方形你已經(jīng)知道了哪些？介紹正方形的特征。（4個(gè)直角、4條邊都相等）
介紹在方格紙上畫(huà)正方形的要求：4個(gè)頂點(diǎn)都要畫(huà)在相交的交點(diǎn)處。
二、亮題：
老師請(qǐng)你們畫(huà)5個(gè)正方形，面積分別是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米、4平方厘米、5平方厘米?？辞宄}目要求了嗎？
1. 哪個(gè)你已經(jīng)在腦子里畫(huà)出來(lái)了？怎么畫(huà)得？（1平方厘米和4平方厘米）
簡(jiǎn)單交流：邊長(zhǎng)是1厘米、邊長(zhǎng)是2厘米。板書(shū)：12=1平方厘米
22=4平方厘米
交流：像這樣畫(huà)下去，還能畫(huà)哪些面積的正方形？
指出：正好是某一個(gè)數(shù)的平方數(shù)，畫(huà)這樣的正方形難不倒。板書(shū)：平方數(shù)
2.現(xiàn)在還剩下3個(gè)正方形，大家要?jiǎng)幽X了。請(qǐng)自己先嘗試，畫(huà)出來(lái)之后，可以把自己的想法與同桌交流。
3.全班交流：
（1）面積是2平方厘米。
交流算法：a.看成4個(gè)三角形，其中2個(gè)合起來(lái)是就是一個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，算式12＋12=2
b.看成一個(gè)邊長(zhǎng)2厘米的正方形，再除以2.算式22÷2=2
c.看成兩個(gè)大的三角形。
d.看成4個(gè)小三角形。
測(cè)量：這個(gè)面積是2的正方形，邊長(zhǎng)有多長(zhǎng)呢？
學(xué)生量一量，發(fā)現(xiàn)如果看成是1.4厘米的話，1.4×1.4=1.96；如果看成1.5厘米的話，1.5×1.5=2.25，感受：這個(gè)長(zhǎng)度介于1.4和1.5之間，并不能太精確的表示。指出：這個(gè)長(zhǎng)度的精確值，要到中學(xué)里才會(huì)知道。
像這樣的畫(huà)法，還可以畫(huà)出很多，演示，讓學(xué)生分別算一算面積。
【設(shè)計(jì)意圖】面積是2的正方形，教學(xué)目標(biāo)如下：1.突破思維定勢(shì)，認(rèn)識(shí)“斜”的正方形。2.用不同的方法算出“2”，體會(huì)算法的靈活性與多樣性，靈活掌握求平面圖形面積的方法。3.在測(cè)量邊長(zhǎng)的環(huán)節(jié)，初步體會(huì)無(wú)理數(shù)，豐富對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；同時(shí)也確認(rèn)，原來(lái)的面積計(jì)算方法同樣適用。4.在練習(xí)中，熟練掌握這類圖形的面積算法，并為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。
（2）面積是5平方厘米。
交流算法：a.從面積是9的正方形中，去掉4個(gè)面積是1的三角形，剩下的面積就是5平方厘米。
b.這種畫(huà)法，第一條邊很重要， 這條邊是在1×2的長(zhǎng)方形內(nèi)，有了第一條邊，后面的3天邊就容易畫(huà)了。
猜想：面積5和長(zhǎng)2、寬1有什么關(guān)系呢？
板書(shū)：2 ＋ 1 = 5
預(yù)設(shè)：22＋ 12 = 5
驗(yàn)證12＋22：通過(guò)課件演示，發(fā)現(xiàn)可以轉(zhuǎn)化成右圖，理解12＋22。
猜想：是不是第一筆在任意一個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)的對(duì)角線都能畫(huà)出一個(gè)正方形？畫(huà)出的正方形面積與第一筆所在的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬有怎樣的關(guān)系？
獨(dú)立嘗試，并與同桌交流分享。
全班交流（實(shí)物展臺(tái)）
【設(shè)計(jì)意圖】這類圖形很難畫(huà)，所以要清清楚楚講明白第一條邊所在的位置，它既是畫(huà)的需要，又是發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律的需要。給學(xué)生一些時(shí)間，能產(chǎn)生更豐富的資源，并不斷確認(rèn)之前的猜想，強(qiáng)化后產(chǎn)生結(jié)論性的認(rèn)識(shí)。
（3）回頭看：（此時(shí)的板書(shū)應(yīng)該如下：
12＋12=2 12＋22=5
22＋22=8 12＋32=10
32＋32=18 22＋32=13
…… ……
觀察兩組算式，它們有什么不同？為什么？
【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)的方法越單一，越是有利于學(xué)生的掌握，所以有必要把兩類計(jì)算方法統(tǒng)整，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。
（4）面積是3平方厘米。
交流算法：邊長(zhǎng)3厘米的正方形面積是9平方厘米，外面一周有4個(gè)完全相同的三角形，面積是3×1÷2×4=6平方厘米，9－6=3平方厘米。
評(píng)價(jià)：這是一種以退為進(jìn)的算法。當(dāng)無(wú)法直接從正方形的邊長(zhǎng)計(jì)算的時(shí)候，就可以根據(jù)特點(diǎn)，把正方形面積減去三角形面積。
【設(shè)計(jì)意圖】這種三角形學(xué)生根本想不到，所以應(yīng)直接呈現(xiàn)，把教學(xué)目標(biāo)定位于“計(jì)算”，使學(xué)生明白這種面積也是確實(shí)存在的。
三、交流學(xué)習(xí)體會(huì)：
通過(guò)學(xué)習(xí)，你對(duì)畫(huà)正方形有什么體會(huì)？
繼續(xù)畫(huà)一些不同面積的正方形，可能你還能有更多的發(fā)現(xiàn)哦。
設(shè)計(jì)理念：
1.課例的由來(lái)。6、7年前，我和兒子閑聊，說(shuō)是來(lái)畫(huà)畫(huà)正方形吧。當(dāng)時(shí)想的就是面積是2、3、4、5、……這些面積都能畫(huà)嗎？在畫(huà)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)需要從不同的角度去構(gòu)思，才能完成這個(gè)看上去很簡(jiǎn)單實(shí)際很挑戰(zhàn)的想法。后來(lái)把整個(gè)過(guò)程成文，發(fā)表在一份省報(bào)上。3年前，我校自編校本教材，我又想到了這個(gè)課例，把它編進(jìn)去，試用下來(lái)，學(xué)生很感興趣。10多天前，參加了南京的現(xiàn)代與經(jīng)典活動(dòng)，北京的劉德武大師就是上了這個(gè)內(nèi)容，豁然開(kāi)朗，原來(lái)這樣的數(shù)學(xué)課也可以搬到正兒八經(jīng)的課堂上，而且，學(xué)生愛(ài)學(xué)。
2.課例想表達(dá)的思想。
（1）打破思維定勢(shì)。這個(gè)內(nèi)容的思維定勢(shì)，首先是畫(huà)的方面。學(xué)生習(xí)慣的是橫平豎直的正方形，而我們呈現(xiàn)的卻是傾斜的正方形。其次是算的方法，學(xué)生習(xí)慣的是用邊長(zhǎng)去算，而我們呈現(xiàn)的是以退為進(jìn)的算法。以此來(lái)開(kāi)闊學(xué)生的思路，提高思維的靈活性。
（2）找規(guī)律。傾斜的正方形，可以把之當(dāng)成一個(gè)組合圖形，通過(guò)正方形的面積減去三角形的面積來(lái)算；也可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，只看第一條邊所在長(zhǎng)方形的大小來(lái)想，并進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。用成人視角來(lái)看，這個(gè)規(guī)律其實(shí)就是勾股定理的運(yùn)用，但因?yàn)槊鎸?duì)的是小學(xué)生，我們不必去告訴他這是勾股定理，但卻能運(yùn)用規(guī)律，更方便的找到其它的一些面積，提高的是學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
（3）探究永無(wú)止境。初的話題，看似很簡(jiǎn)單，但隨著研究的深入，會(huì)覺(jué)得很有挑戰(zhàn)，學(xué)生很容易在課后會(huì)繼續(xù)研究，并有新的發(fā)現(xiàn)。這樣的一種學(xué)習(xí)狀態(tài)，我們要精心呵護(hù)、培養(yǎng)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的習(xí)得是一種創(chuàng)造，一種源于自身的探究愿望的創(chuàng)造。作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)努力尋找這樣的好話題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力。
教學(xué)難點(diǎn)：畫(huà)出非平方數(shù)的正方形，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
教學(xué)重點(diǎn)：畫(huà)出各種形狀的正方形，并求出面積。
教學(xué)過(guò)程：
一、談話導(dǎo)入：
事先寫(xiě)好板書(shū)：畫(huà)正方形
問(wèn)：看了這個(gè)板書(shū)，你們有什么想法？
預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)覺(jué)得特別的簡(jiǎn)單，早就會(huì)。關(guān)于正方形你已經(jīng)知道了哪些？介紹正方形的特征。（4個(gè)直角、4條邊都相等）
介紹在方格紙上畫(huà)正方形的要求：4個(gè)頂點(diǎn)都要畫(huà)在相交的交點(diǎn)處。
二、亮題：
老師請(qǐng)你們畫(huà)5個(gè)正方形，面積分別是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米、4平方厘米、5平方厘米?？辞宄}目要求了嗎？
1. 哪個(gè)你已經(jīng)在腦子里畫(huà)出來(lái)了？怎么畫(huà)得？（1平方厘米和4平方厘米）
簡(jiǎn)單交流：邊長(zhǎng)是1厘米、邊長(zhǎng)是2厘米。板書(shū)：12=1平方厘米
22=4平方厘米
交流：像這樣畫(huà)下去，還能畫(huà)哪些面積的正方形？
指出：正好是某一個(gè)數(shù)的平方數(shù)，畫(huà)這樣的正方形難不倒。板書(shū)：平方數(shù)
2.現(xiàn)在還剩下3個(gè)正方形，大家要?jiǎng)幽X了。請(qǐng)自己先嘗試，畫(huà)出來(lái)之后，可以把自己的想法與同桌交流。
3.全班交流：
（1）面積是2平方厘米。
交流算法：a.看成4個(gè)三角形，其中2個(gè)合起來(lái)是就是一個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，算式12＋12=2
b.看成一個(gè)邊長(zhǎng)2厘米的正方形，再除以2.算式22÷2=2
c.看成兩個(gè)大的三角形。
d.看成4個(gè)小三角形。
測(cè)量：這個(gè)面積是2的正方形，邊長(zhǎng)有多長(zhǎng)呢？
學(xué)生量一量，發(fā)現(xiàn)如果看成是1.4厘米的話，1.4×1.4=1.96；如果看成1.5厘米的話，1.5×1.5=2.25，感受：這個(gè)長(zhǎng)度介于1.4和1.5之間，并不能太精確的表示。指出：這個(gè)長(zhǎng)度的精確值，要到中學(xué)里才會(huì)知道。
像這樣的畫(huà)法，還可以畫(huà)出很多，演示，讓學(xué)生分別算一算面積。
【設(shè)計(jì)意圖】面積是2的正方形，教學(xué)目標(biāo)如下：1.突破思維定勢(shì)，認(rèn)識(shí)“斜”的正方形。2.用不同的方法算出“2”，體會(huì)算法的靈活性與多樣性，靈活掌握求平面圖形面積的方法。3.在測(cè)量邊長(zhǎng)的環(huán)節(jié)，初步體會(huì)無(wú)理數(shù)，豐富對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；同時(shí)也確認(rèn)，原來(lái)的面積計(jì)算方法同樣適用。4.在練習(xí)中，熟練掌握這類圖形的面積算法，并為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。
（2）面積是5平方厘米。
交流算法：a.從面積是9的正方形中，去掉4個(gè)面積是1的三角形，剩下的面積就是5平方厘米。
b.這種畫(huà)法，第一條邊很重要， 這條邊是在1×2的長(zhǎng)方形內(nèi)，有了第一條邊，后面的3天邊就容易畫(huà)了。
猜想：面積5和長(zhǎng)2、寬1有什么關(guān)系呢？
板書(shū)：2 ＋ 1 = 5
預(yù)設(shè)：22＋ 12 = 5
驗(yàn)證12＋22：通過(guò)課件演示，發(fā)現(xiàn)可以轉(zhuǎn)化成右圖，理解12＋22。
猜想：是不是第一筆在任意一個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)的對(duì)角線都能畫(huà)出一個(gè)正方形？畫(huà)出的正方形面積與第一筆所在的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬有怎樣的關(guān)系？
獨(dú)立嘗試，并與同桌交流分享。
全班交流（實(shí)物展臺(tái)）
【設(shè)計(jì)意圖】這類圖形很難畫(huà)，所以要清清楚楚講明白第一條邊所在的位置，它既是畫(huà)的需要，又是發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律的需要。給學(xué)生一些時(shí)間，能產(chǎn)生更豐富的資源，并不斷確認(rèn)之前的猜想，強(qiáng)化后產(chǎn)生結(jié)論性的認(rèn)識(shí)。
（3）回頭看：（此時(shí)的板書(shū)應(yīng)該如下：
12＋12=2 12＋22=5
22＋22=8 12＋32=10
32＋32=18 22＋32=13
…… ……
觀察兩組算式，它們有什么不同？為什么？
【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)的方法越單一，越是有利于學(xué)生的掌握，所以有必要把兩類計(jì)算方法統(tǒng)整，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。
（4）面積是3平方厘米。
交流算法：邊長(zhǎng)3厘米的正方形面積是9平方厘米，外面一周有4個(gè)完全相同的三角形，面積是3×1÷2×4=6平方厘米，9－6=3平方厘米。
評(píng)價(jià)：這是一種以退為進(jìn)的算法。當(dāng)無(wú)法直接從正方形的邊長(zhǎng)計(jì)算的時(shí)候，就可以根據(jù)特點(diǎn)，把正方形面積減去三角形面積。
【設(shè)計(jì)意圖】這種三角形學(xué)生根本想不到，所以應(yīng)直接呈現(xiàn)，把教學(xué)目標(biāo)定位于“計(jì)算”，使學(xué)生明白這種面積也是確實(shí)存在的。
三、交流學(xué)習(xí)體會(huì)：
通過(guò)學(xué)習(xí)，你對(duì)畫(huà)正方形有什么體會(huì)？
繼續(xù)畫(huà)一些不同面積的正方形，可能你還能有更多的發(fā)現(xiàn)哦。
設(shè)計(jì)理念：
1.課例的由來(lái)。6、7年前，我和兒子閑聊，說(shuō)是來(lái)畫(huà)畫(huà)正方形吧。當(dāng)時(shí)想的就是面積是2、3、4、5、……這些面積都能畫(huà)嗎？在畫(huà)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)需要從不同的角度去構(gòu)思，才能完成這個(gè)看上去很簡(jiǎn)單實(shí)際很挑戰(zhàn)的想法。后來(lái)把整個(gè)過(guò)程成文，發(fā)表在一份省報(bào)上。3年前，我校自編校本教材，我又想到了這個(gè)課例，把它編進(jìn)去，試用下來(lái)，學(xué)生很感興趣。10多天前，參加了南京的現(xiàn)代與經(jīng)典活動(dòng)，北京的劉德武大師就是上了這個(gè)內(nèi)容，豁然開(kāi)朗，原來(lái)這樣的數(shù)學(xué)課也可以搬到正兒八經(jīng)的課堂上，而且，學(xué)生愛(ài)學(xué)。
2.課例想表達(dá)的思想。
（1）打破思維定勢(shì)。這個(gè)內(nèi)容的思維定勢(shì)，首先是畫(huà)的方面。學(xué)生習(xí)慣的是橫平豎直的正方形，而我們呈現(xiàn)的卻是傾斜的正方形。其次是算的方法，學(xué)生習(xí)慣的是用邊長(zhǎng)去算，而我們呈現(xiàn)的是以退為進(jìn)的算法。以此來(lái)開(kāi)闊學(xué)生的思路，提高思維的靈活性。
（2）找規(guī)律。傾斜的正方形，可以把之當(dāng)成一個(gè)組合圖形，通過(guò)正方形的面積減去三角形的面積來(lái)算；也可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，只看第一條邊所在長(zhǎng)方形的大小來(lái)想，并進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。用成人視角來(lái)看，這個(gè)規(guī)律其實(shí)就是勾股定理的運(yùn)用，但因?yàn)槊鎸?duì)的是小學(xué)生，我們不必去告訴他這是勾股定理，但卻能運(yùn)用規(guī)律，更方便的找到其它的一些面積，提高的是學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
（3）探究永無(wú)止境。初的話題，看似很簡(jiǎn)單，但隨著研究的深入，會(huì)覺(jué)得很有挑戰(zhàn)，學(xué)生很容易在課后會(huì)繼續(xù)研究，并有新的發(fā)現(xiàn)。這樣的一種學(xué)習(xí)狀態(tài)，我們要精心呵護(hù)、培養(yǎng)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的習(xí)得是一種創(chuàng)造，一種源于自身的探究愿望的創(chuàng)造。作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)努力尋找這樣的好話題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力。