組合
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的性質用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關系；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；
（4）通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學生學習興趣和思維深刻性，學生具有嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。
教學建議
一、知識結構
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質。難點是解組合的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應用，并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決組合應用題當中。
組合與組合數(shù)，也有上面類似的關系。從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。所有這些不同的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的一個集合（無序集），相當于一個組合，而這種集合的個數(shù)，就是相應的組合數(shù)。
解排列組合應用題時主要應抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步．切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）．
三、教法設計
1．對于基礎較好的學生，建議把排列與組合的概念進行對比的進行學習，這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系．
2．學生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔任班長、副班長、體委、學委、生委有多少種選法？”這是兩個相近問題，同學們會根據(jù)自己身邊的實際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導學生辨認哪個是排列問題，哪個是組合問題．這樣既調動了學生學習的積極性，又在編題辨題中澄清了概念．
為了理解排列與組合的概念，建議大家學會畫排列與組合的樹圖．如，從a,b,c,d 4個元素中取出3個元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：
排列樹圖
由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個元素的所有排列有24個，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.
組合樹圖
由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個元素的組合有4個，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).
從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個都有在第一位的機會，哪一個都有在第二位的機會，哪一個都有在第三位的機會，而組合只考慮字母不考慮順序，為實現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖．
學會畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導組合數(shù)的計算公式．
3．排列組合的應用問題，教師應從簡單問題問題入手，逐步到有一個附加條件的單純排列問題或組合問題，后在設及排列與組合的綜合問題．
對于每一道題目，教師必須先讓學生獨立思考，在進行全班討論，對于學生的每一種解法，教師要先讓學生判斷正誤，在給予點播．對于排列、組合應用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學生的分析問題解決問題的能力，在學生的多種解法基礎上教師要引導學生選擇佳方案，總結解題規(guī)律．對于學生解題中的常見錯誤，教師一定要講明道理，認真分析錯誤原因，使學生在是非的判斷得以提高．
4．兩個性質定理教學時，對定理1，可以用下例來說明：從4個不同的元素a，b，c，d里每次取出3個元素的組合及每次取出1個元素的組合分別是
這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的組合與從4個元素里每次取出1個元素的組合是—一對應的．
對定理2，可啟發(fā)學生從下面問題的討論得出．從n個不同元素 ， ，…， 里每次取出m個不同的元素（ ），問：（1）可以組成多少個組合；（2）在這些組合里，有多少個是不含有 的； （3）在這些組合里，有多少個是含有 的；（4）從上面的結果，可以得出一個怎樣的公式．在此基礎上引出定理2．
對于 ，和 一樣，是一種規(guī)定．而學生常常誤以為是推算出來的，因此，教學時要講清楚．
教學設計示例
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數(shù)的計算公式；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式；
難點是解組合的應用題．
教學過程設計
（－）導入新課
（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕．
［字幕］一條鐵路線上有6個火車站，（1）需準備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？
（學生活動）討論并回答．
答案提示：（1）排列；（2）組合．
［評述］問題（1）是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題；（2）是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題．這節(jié)課著重研究組合問題．
設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的．上面設計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題．
（二）新課講授
［提出問題 創(chuàng)設情境］
（教師活動）指導學生帶著問題閱讀課文．
［字幕］1．排列的定義是什么？
2．舉例說明一個組合是什么？
3．一個組合與一個排列有何區(qū)別？
（學生活動）閱讀回答．
（教師活動）對照課文，逐一評析．
設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環(huán)境．
【歸納概括 建立新知】
（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識．
［字幕］模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合．如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合．
組合數(shù)：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數(shù)為 .
［評述］區(qū)分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題．
（學生活動）傾聽、思索、記錄．
（教師活動）提出思考問題．
［投影］ 與 的關系如何？
（師生活動）共同探討．求從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù)為 ；
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)為 ．
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到
［字幕］公式1：
公式2：
（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票．
設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去．
【例題示范 探求方法】
（教師活動）打出字幕，給出示范，指導訓練．
［字幕］例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合．
例2 計算：（1） ；（2） ．
（學生活動）板演、示范.
（教師活動）講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題．
［字幕］例3 已知 ，求 的所有值.
（學生活動）思考分析．
解 首先，根據(jù)組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
［點評］這是組合數(shù)公式的應用，關鍵是公式的選擇．
設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養(yǎng)學生的綜合分析能力．
【反饋練習 學會應用】
（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評．
［課堂練習］課本P99練習第2，5，6題．
［補充練習］
［字幕］1．計算：
2．已知 ，求 .
（學生活動）板演、解答．
設計意圖：課堂教學體現(xiàn)以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數(shù)公式的結構、特征及應用．
【點評矯正 交流提高】
（教師活動）依照學生的板演，給予指正并總結．
補充練習答案：
1．解：原式：
2．解：由題設得
整理化簡得 ，
解之，得 或 （因 ，舍去），
所以 ，所求
［字幕］小結：
1．前一個公式主要用于計算具體的組合數(shù)，而后一個公式則主要用于對含有字母的式子進行化簡和論證．
2．在解含組合數(shù)的方程或不等式時，一定要注意組合數(shù)的上、下標的限制條件．
（學生活動）交流討論，總結記錄．
設計意圖：由“實踐——認識——一實踐”的認識論，教學時抓住“學習—一練習——反饋———小結”這些環(huán)節(jié)，使教學目標得以強化和落實．
（三）小結
（師生活動）共同小結．
本節(jié)主要內容有
1．組合概念．
2．組合數(shù)計算的兩個公式．
（四）布置作業(yè)
1．課本作業(yè)：習題10 3第1（1）、（4），3題．
2．思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人？
3．研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？
（五）課后點評
在學習了排列知識的基礎上，本節(jié)課引進了組合概念，并推導出組合數(shù)公式，同時調控進行訓練，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．
作業(yè)參考答案
2．解；設有男同學 人，則有女同學 人，依題意有 ，由此解得 或 或2．即男同學有5人或6人，女同學相應為3人或2人．
3．能組成 （注意不能用 點為頂點）個四邊形， 個三角形．
探究活動
同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？
解 設四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解．
解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：
甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．
甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．
甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．
由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種．
解法二 可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮．這時還存在正向與逆向兩種思考途徑．
正向思考，即從滿足題設條件出發(fā)，分步完成分配．先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法．根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有 （種）．
逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法．不滿足題設條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時即為4人均拿自己制作的賀卡）．其取法分別為 1．故符合題設要求的取法共有 （種）．
說明（1）對一類元素不太多而利用排列或組合計算公式計算比較復雜，且容易重復遺漏計算的排列組合問題，?？刹捎弥苯臃诸惡笥眉臃ㄔ磉M行計算，如本例采用解法一的做法．
（2）設集合 ，如果S中元素的一個排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個錯位排列．本例就屬錯位排列問題．如將S的所有錯位排列數(shù)記為 ，則 有如下三個計算公式（李宇襄編著《組合數(shù)學》，北京師范大學出版社出版）：
①
②
③
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的性質用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關系；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；
（4）通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學生學習興趣和思維深刻性，學生具有嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。
教學建議
一、知識結構
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質。難點是解組合的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應用，并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決組合應用題當中。
組合與組合數(shù)，也有上面類似的關系。從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。所有這些不同的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的一個集合（無序集），相當于一個組合，而這種集合的個數(shù)，就是相應的組合數(shù)。
解排列組合應用題時主要應抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步．切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）．
三、教法設計
1．對于基礎較好的學生，建議把排列與組合的概念進行對比的進行學習，這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系．
2．學生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔任班長、副班長、體委、學委、生委有多少種選法？”這是兩個相近問題，同學們會根據(jù)自己身邊的實際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導學生辨認哪個是排列問題，哪個是組合問題．這樣既調動了學生學習的積極性，又在編題辨題中澄清了概念．
為了理解排列與組合的概念，建議大家學會畫排列與組合的樹圖．如，從a,b,c,d 4個元素中取出3個元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：
排列樹圖
由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個元素的所有排列有24個，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.
組合樹圖
由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個元素的組合有4個，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).
從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個都有在第一位的機會，哪一個都有在第二位的機會，哪一個都有在第三位的機會，而組合只考慮字母不考慮順序，為實現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖．
學會畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導組合數(shù)的計算公式．
3．排列組合的應用問題，教師應從簡單問題問題入手，逐步到有一個附加條件的單純排列問題或組合問題，后在設及排列與組合的綜合問題．
對于每一道題目，教師必須先讓學生獨立思考，在進行全班討論，對于學生的每一種解法，教師要先讓學生判斷正誤，在給予點播．對于排列、組合應用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學生的分析問題解決問題的能力，在學生的多種解法基礎上教師要引導學生選擇佳方案，總結解題規(guī)律．對于學生解題中的常見錯誤，教師一定要講明道理，認真分析錯誤原因，使學生在是非的判斷得以提高．
4．兩個性質定理教學時，對定理1，可以用下例來說明：從4個不同的元素a，b，c，d里每次取出3個元素的組合及每次取出1個元素的組合分別是
這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的組合與從4個元素里每次取出1個元素的組合是—一對應的．
對定理2，可啟發(fā)學生從下面問題的討論得出．從n個不同元素 ， ，…， 里每次取出m個不同的元素（ ），問：（1）可以組成多少個組合；（2）在這些組合里，有多少個是不含有 的； （3）在這些組合里，有多少個是含有 的；（4）從上面的結果，可以得出一個怎樣的公式．在此基礎上引出定理2．
對于 ，和 一樣，是一種規(guī)定．而學生常常誤以為是推算出來的，因此，教學時要講清楚．
教學設計示例
教學目標
（1）使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；
（2）使學生掌握組合數(shù)的計算公式；
（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式；
難點是解組合的應用題．
教學過程設計
（－）導入新課
（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕．
［字幕］一條鐵路線上有6個火車站，（1）需準備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？
（學生活動）討論并回答．
答案提示：（1）排列；（2）組合．
［評述］問題（1）是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題；（2）是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題．這節(jié)課著重研究組合問題．
設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的．上面設計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題．
（二）新課講授
［提出問題 創(chuàng)設情境］
（教師活動）指導學生帶著問題閱讀課文．
［字幕］1．排列的定義是什么？
2．舉例說明一個組合是什么？
3．一個組合與一個排列有何區(qū)別？
（學生活動）閱讀回答．
（教師活動）對照課文，逐一評析．
設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環(huán)境．
【歸納概括 建立新知】
（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識．
［字幕］模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合．如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合．
組合數(shù)：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數(shù)為 .
［評述］區(qū)分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題．
（學生活動）傾聽、思索、記錄．
（教師活動）提出思考問題．
［投影］ 與 的關系如何？
（師生活動）共同探討．求從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù)為 ；
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)為 ．
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到
［字幕］公式1：
公式2：
（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票．
設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去．
【例題示范 探求方法】
（教師活動）打出字幕，給出示范，指導訓練．
［字幕］例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合．
例2 計算：（1） ；（2） ．
（學生活動）板演、示范.
（教師活動）講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題．
［字幕］例3 已知 ，求 的所有值.
（學生活動）思考分析．
解 首先，根據(jù)組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
［點評］這是組合數(shù)公式的應用，關鍵是公式的選擇．
設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養(yǎng)學生的綜合分析能力．
【反饋練習 學會應用】
（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評．
［課堂練習］課本P99練習第2，5，6題．
［補充練習］
［字幕］1．計算：
2．已知 ，求 .
（學生活動）板演、解答．
設計意圖：課堂教學體現(xiàn)以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數(shù)公式的結構、特征及應用．
【點評矯正 交流提高】
（教師活動）依照學生的板演，給予指正并總結．
補充練習答案：
1．解：原式：
2．解：由題設得
整理化簡得 ，
解之，得 或 （因 ，舍去），
所以 ，所求
［字幕］小結：
1．前一個公式主要用于計算具體的組合數(shù)，而后一個公式則主要用于對含有字母的式子進行化簡和論證．
2．在解含組合數(shù)的方程或不等式時，一定要注意組合數(shù)的上、下標的限制條件．
（學生活動）交流討論，總結記錄．
設計意圖：由“實踐——認識——一實踐”的認識論，教學時抓住“學習—一練習——反饋———小結”這些環(huán)節(jié)，使教學目標得以強化和落實．
（三）小結
（師生活動）共同小結．
本節(jié)主要內容有
1．組合概念．
2．組合數(shù)計算的兩個公式．
（四）布置作業(yè)
1．課本作業(yè)：習題10 3第1（1）、（4），3題．
2．思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人？
3．研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？
（五）課后點評
在學習了排列知識的基礎上，本節(jié)課引進了組合概念，并推導出組合數(shù)公式，同時調控進行訓練，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．
作業(yè)參考答案
2．解；設有男同學 人，則有女同學 人，依題意有 ，由此解得 或 或2．即男同學有5人或6人，女同學相應為3人或2人．
3．能組成 （注意不能用 點為頂點）個四邊形， 個三角形．
探究活動
同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？
解 設四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解．
解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：
甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．
甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．
甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．
由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種．
解法二 可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮．這時還存在正向與逆向兩種思考途徑．
正向思考，即從滿足題設條件出發(fā)，分步完成分配．先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法．根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有 （種）．
逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法．不滿足題設條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時即為4人均拿自己制作的賀卡）．其取法分別為 1．故符合題設要求的取法共有 （種）．
說明（1）對一類元素不太多而利用排列或組合計算公式計算比較復雜，且容易重復遺漏計算的排列組合問題，?？刹捎弥苯臃诸惡笥眉臃ㄔ磉M行計算，如本例采用解法一的做法．
（2）設集合 ，如果S中元素的一個排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個錯位排列．本例就屬錯位排列問題．如將S的所有錯位排列數(shù)記為 ，則 有如下三個計算公式（李宇襄編著《組合數(shù)學》，北京師范大學出版社出版）：
①
②
③