在一年級的數(shù)學教學中，二十以內進位加法和退位減法既是教學的重點，又是教學的難點。一般的孩子在幼兒園大班時就學會了十以內加減法，進入小學后，二十以內不進位不退位的加減法稍加練習也能熟練掌握。但是，孩子學習進位加法和退位減法就不是那么輕松了，部分學生的計算速度大大下滑，計算的準確率也降低了，兩極分化初露端倪。有的學生由于計算速度跟不上，開始拖拉作業(yè)，成為數(shù)學學習困難者。
在20以內進位加法與退位減法的檢測中，四年級44名智力正常的學生每做對一題的平均用時是3秒；慢的學生每做對一題平均用時6.8秒，是速度快的學生的6倍多；后9名學生每做對一題的用時5.6秒，是前9名學生的近3倍?？梢?，即使到了四年級，多數(shù)學生計算20以內進位加法和退位減法的速度還沒能達到脫口而出的程度。
那么，到底是什么原因造成了孩子學習20以內進位加法以及退位減法的困難呢？
我認為，這和我們運用的計算進位加法和退位減法的算法有關。我查閱了原浙教版的教材以及人教版和北師大版的新課標教材，發(fā)現(xiàn)這幾種教材所展示的算法不外乎數(shù)數(shù)法和數(shù)字推理法。數(shù)數(shù)法就是通過數(shù)數(shù)來計算，包括借助實物數(shù)數(shù)和單純數(shù)數(shù)兩種。數(shù)字推理法指的是包含湊十法、拆分法等的運用數(shù)字進行推算的方法。例如要算“9加6的和”，先算“10+6=16”，再算“16－1=15”，就是運用了數(shù)字推理的方法。新教材中有多種進位加法和退位減法的算法就是運用了各種數(shù)字推理的策略。
然而，數(shù)字推理法對學生的思維要求高，需要的思維步驟也多，并不利于學生熟練掌握終到達脫口而出的地步。以運用為廣泛的湊十法為例，求9加3等于幾，學生在解決問題之前就需要這幾個思考過程：一、判定該題是不是進位加法；二、如果是進位加法，怎樣才能湊成10。這樣確定方法后才能進行下面的運算：
9+3
=9+（1+2）
=（9+1）+2
=10+2
=12
從上面的運算中可以看出，這是一個運用加法結合律進行簡便計算的一個過程，而且屬于不能直接運用題中數(shù)據(jù)，需要拆分才能進行簡便運算的一類。所以，看似簡單的湊十法，其思維是不簡單的，包含著一系列邏輯推理過程，它的認知基礎與一年級學生所具有的知識結構和思維能力之間存在一定的距離，一定程度上造成了學生計算的困難。
那么，怎樣的方法才能更好地解決這一難題呢？我認為，用數(shù)的組成來教學20以內的進位加法和退位減法是一種可行而且有效的方法。
“數(shù)的組成法”是利用數(shù)的組成來計算“和是該數(shù)的加法和相應的減法”的方法。就是把一個數(shù)分成和是該數(shù)的兩個數(shù)（0除外），窮盡所有的分法，并把這些分法羅列出來，讓學生在理解的基礎上誦讀記憶，從而提高學生的計算速度。
“數(shù)的組成法”對于從事小學低段數(shù)學教學的老師來說可能不陌生，一般在教學“10以內的加減法”的時候用的就是數(shù)的組成法。例如教學“和是9的加減法”的時候都會讓學生說一說：9可以分成1和8；9可以分成2和7；9可以分成3和6；9可以分成4和5。學生熟知了數(shù)的組成，計算速度比之數(shù)數(shù)法就有了很大的提高。
也就是說，我們在教學10以內的加減法的時候，運用數(shù)數(shù)法給學生搭了一級臺階后，就用數(shù)的組成法讓學生熟練計算。例如3+4為什么等于7，讓學生數(shù)一數(shù)就知道了；但是在計算時，卻需要學生在大腦提取相關7的組成的信息，這樣才能使計算更加迅速。那么，我們在教學20以內進位加法和退位減法的時候，同樣可以采取這樣的方法：先運用數(shù)數(shù)法或數(shù)字推理法為學生做好鋪墊，然后用數(shù)的組成法來讓學生熟練計算。
以11的組成為例，11有下面幾種非零自然數(shù)的分法：11可以分成1和10，11可以分成2和9，11可以分成3和8，11可以分成4和7，11可以分成5和6。其中，11分成1和10是把11分成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)，轉換成加減法后不屬于進位加法和退位減法一類，多數(shù)學生能熟練掌握；其它四組則是由兩個一位數(shù)組成11，屬于進位加法和退位減法一類，也是學生計算的難點，是數(shù)的組成法中要求學生重點掌握的。12至19的數(shù)也一樣，如果分成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)的組合，那么轉化成的加減法不屬于進位退位的一類；而如果分成兩個一位數(shù)，轉化成的加減法則一定屬于進位加法和退位減法的一類。也就是說，在運用數(shù)的組成教學進位加法和退位減法的時候，我們只需要選擇11至19各數(shù)的一位數(shù)組成。
在對11至19各數(shù)的進一步拆分中可以看出，隨著數(shù)的增大，這些數(shù)的一位數(shù)組成的對數(shù)卻越來越少。例如17只能分成8和9，18只能分成9和9，而19則不能由兩個一位數(shù)組成，也就是說，不存在和為19的進位加法，或是被減數(shù)為19的退位減法。這樣，在11至18各數(shù)的一位數(shù)組成中，11、12各有4組，13、14各有3組，15、16各有2組，17、18各有1組，一共20組，比2至10的組成還少了5組。而這20組，包含了20以內（不包括20）所有的進位加法和退位減法。也就是說，單從數(shù)量上看，學生掌握11至18各數(shù)的一位數(shù)組成是沒有問題的。
那么，從11至18各數(shù)的組成中的每一組兩個數(shù)的大小來看，是不是在一年級學生所能掌握的范圍之內呢？
從日常經驗可知，5、6個物體雜亂擺放，我們的大腦能立刻反映出準確的個數(shù)，但是7個以上的物體雜亂擺放，普通的成人也必須經過數(shù)的過程才能知道準確的個數(shù)。這是受注意力廣度的限制。心理學研究表明，在1/10秒的時間內，成年人一般能夠注意到6—8個排列不規(guī)則的黑點。兒童的注意力范圍則更小。也就是說，7至10的加減法學生已經很難直接運用具體形象思維來解決，而需記憶力和邏輯推理能力的幫助。既然學生能借助記憶力和邏輯思維的幫助掌握7至10的組成，那么，只要給予適當?shù)闹笇Ш鸵欢ǖ木毩?，學生同樣能循序漸進地掌握11至18的一位數(shù)組成，因為組成的元素是一樣的，都是一位數(shù)。只不過學習10以內數(shù)的組成的時候兩個一位數(shù)加起來不超過10，而學習11-18各數(shù)的一位數(shù)組成的時候，兩個一位數(shù)加起來超過了10。其實，這兩部分內容合起來就是一位數(shù)加一位數(shù)的計算，只不過教科書中沒有采用這種說法而已。
而一旦學生掌握了11至18的一位數(shù)組成，解決20以內進位加法和退位減法的思維過程也就等同于10以內的加減法的思維過程，計算速度就理所當然地得到提升了。
我們知道，在小學階段的數(shù)的運算中，無論是多位數(shù)的加減乘除，還是小數(shù)、分數(shù)的計算，基本的類別只有兩類：一位數(shù)加一位數(shù)和一位數(shù)乘一位數(shù)。一位數(shù)加一位數(shù)中不進位的部分（也就是10以內加減法），多數(shù)學生能熟練掌握；一位數(shù)乘一位數(shù)因為有著乘法口訣的幫助，絕大多數(shù)學生也能脫口而出。而一位數(shù)加一位數(shù)中有進位和退位的部分對多數(shù)學生來說，還需要一系列思維過程才能得到計算結果，成為這部分學生學習后面的計算的攔路虎。而“數(shù)的組成法”改變了舊有的思維方式，從而解決了“進位加法和退位減法”這個計算上的難題。
可以說，“數(shù)的組成法” 是計算進位加法和退位減法的全新的思維方式，是學生加減法思維的重大變革。它將解決多數(shù)學生計算學習中的一個重大障礙，從此進位和退位只是計算中的一種表現(xiàn)形式，而無需原有的復雜的思維過程。這對提高學生計算速度，減低學生兩極分化的程度，減少數(shù)學學困生的數(shù)量，減輕學生的學業(yè)負擔都有著重要的意義。
在20以內進位加法與退位減法的檢測中，四年級44名智力正常的學生每做對一題的平均用時是3秒；慢的學生每做對一題平均用時6.8秒，是速度快的學生的6倍多；后9名學生每做對一題的用時5.6秒，是前9名學生的近3倍?？梢?，即使到了四年級，多數(shù)學生計算20以內進位加法和退位減法的速度還沒能達到脫口而出的程度。
那么，到底是什么原因造成了孩子學習20以內進位加法以及退位減法的困難呢？
我認為，這和我們運用的計算進位加法和退位減法的算法有關。我查閱了原浙教版的教材以及人教版和北師大版的新課標教材，發(fā)現(xiàn)這幾種教材所展示的算法不外乎數(shù)數(shù)法和數(shù)字推理法。數(shù)數(shù)法就是通過數(shù)數(shù)來計算，包括借助實物數(shù)數(shù)和單純數(shù)數(shù)兩種。數(shù)字推理法指的是包含湊十法、拆分法等的運用數(shù)字進行推算的方法。例如要算“9加6的和”，先算“10+6=16”，再算“16－1=15”，就是運用了數(shù)字推理的方法。新教材中有多種進位加法和退位減法的算法就是運用了各種數(shù)字推理的策略。
然而，數(shù)字推理法對學生的思維要求高，需要的思維步驟也多，并不利于學生熟練掌握終到達脫口而出的地步。以運用為廣泛的湊十法為例，求9加3等于幾，學生在解決問題之前就需要這幾個思考過程：一、判定該題是不是進位加法；二、如果是進位加法，怎樣才能湊成10。這樣確定方法后才能進行下面的運算：
9+3
=9+（1+2）
=（9+1）+2
=10+2
=12
從上面的運算中可以看出，這是一個運用加法結合律進行簡便計算的一個過程，而且屬于不能直接運用題中數(shù)據(jù)，需要拆分才能進行簡便運算的一類。所以，看似簡單的湊十法，其思維是不簡單的，包含著一系列邏輯推理過程，它的認知基礎與一年級學生所具有的知識結構和思維能力之間存在一定的距離，一定程度上造成了學生計算的困難。
那么，怎樣的方法才能更好地解決這一難題呢？我認為，用數(shù)的組成來教學20以內的進位加法和退位減法是一種可行而且有效的方法。
“數(shù)的組成法”是利用數(shù)的組成來計算“和是該數(shù)的加法和相應的減法”的方法。就是把一個數(shù)分成和是該數(shù)的兩個數(shù)（0除外），窮盡所有的分法，并把這些分法羅列出來，讓學生在理解的基礎上誦讀記憶，從而提高學生的計算速度。
“數(shù)的組成法”對于從事小學低段數(shù)學教學的老師來說可能不陌生，一般在教學“10以內的加減法”的時候用的就是數(shù)的組成法。例如教學“和是9的加減法”的時候都會讓學生說一說：9可以分成1和8；9可以分成2和7；9可以分成3和6；9可以分成4和5。學生熟知了數(shù)的組成，計算速度比之數(shù)數(shù)法就有了很大的提高。
也就是說，我們在教學10以內的加減法的時候，運用數(shù)數(shù)法給學生搭了一級臺階后，就用數(shù)的組成法讓學生熟練計算。例如3+4為什么等于7，讓學生數(shù)一數(shù)就知道了；但是在計算時，卻需要學生在大腦提取相關7的組成的信息，這樣才能使計算更加迅速。那么，我們在教學20以內進位加法和退位減法的時候，同樣可以采取這樣的方法：先運用數(shù)數(shù)法或數(shù)字推理法為學生做好鋪墊，然后用數(shù)的組成法來讓學生熟練計算。
以11的組成為例，11有下面幾種非零自然數(shù)的分法：11可以分成1和10，11可以分成2和9，11可以分成3和8，11可以分成4和7，11可以分成5和6。其中，11分成1和10是把11分成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)，轉換成加減法后不屬于進位加法和退位減法一類，多數(shù)學生能熟練掌握；其它四組則是由兩個一位數(shù)組成11，屬于進位加法和退位減法一類，也是學生計算的難點，是數(shù)的組成法中要求學生重點掌握的。12至19的數(shù)也一樣，如果分成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)的組合，那么轉化成的加減法不屬于進位退位的一類；而如果分成兩個一位數(shù)，轉化成的加減法則一定屬于進位加法和退位減法的一類。也就是說，在運用數(shù)的組成教學進位加法和退位減法的時候，我們只需要選擇11至19各數(shù)的一位數(shù)組成。
在對11至19各數(shù)的進一步拆分中可以看出，隨著數(shù)的增大，這些數(shù)的一位數(shù)組成的對數(shù)卻越來越少。例如17只能分成8和9，18只能分成9和9，而19則不能由兩個一位數(shù)組成，也就是說，不存在和為19的進位加法，或是被減數(shù)為19的退位減法。這樣，在11至18各數(shù)的一位數(shù)組成中，11、12各有4組，13、14各有3組，15、16各有2組，17、18各有1組，一共20組，比2至10的組成還少了5組。而這20組，包含了20以內（不包括20）所有的進位加法和退位減法。也就是說，單從數(shù)量上看，學生掌握11至18各數(shù)的一位數(shù)組成是沒有問題的。
那么，從11至18各數(shù)的組成中的每一組兩個數(shù)的大小來看，是不是在一年級學生所能掌握的范圍之內呢？
從日常經驗可知，5、6個物體雜亂擺放，我們的大腦能立刻反映出準確的個數(shù)，但是7個以上的物體雜亂擺放，普通的成人也必須經過數(shù)的過程才能知道準確的個數(shù)。這是受注意力廣度的限制。心理學研究表明，在1/10秒的時間內，成年人一般能夠注意到6—8個排列不規(guī)則的黑點。兒童的注意力范圍則更小。也就是說，7至10的加減法學生已經很難直接運用具體形象思維來解決，而需記憶力和邏輯推理能力的幫助。既然學生能借助記憶力和邏輯思維的幫助掌握7至10的組成，那么，只要給予適當?shù)闹笇Ш鸵欢ǖ木毩?，學生同樣能循序漸進地掌握11至18的一位數(shù)組成，因為組成的元素是一樣的，都是一位數(shù)。只不過學習10以內數(shù)的組成的時候兩個一位數(shù)加起來不超過10，而學習11-18各數(shù)的一位數(shù)組成的時候，兩個一位數(shù)加起來超過了10。其實，這兩部分內容合起來就是一位數(shù)加一位數(shù)的計算，只不過教科書中沒有采用這種說法而已。
而一旦學生掌握了11至18的一位數(shù)組成，解決20以內進位加法和退位減法的思維過程也就等同于10以內的加減法的思維過程，計算速度就理所當然地得到提升了。
我們知道，在小學階段的數(shù)的運算中，無論是多位數(shù)的加減乘除，還是小數(shù)、分數(shù)的計算，基本的類別只有兩類：一位數(shù)加一位數(shù)和一位數(shù)乘一位數(shù)。一位數(shù)加一位數(shù)中不進位的部分（也就是10以內加減法），多數(shù)學生能熟練掌握；一位數(shù)乘一位數(shù)因為有著乘法口訣的幫助，絕大多數(shù)學生也能脫口而出。而一位數(shù)加一位數(shù)中有進位和退位的部分對多數(shù)學生來說，還需要一系列思維過程才能得到計算結果，成為這部分學生學習后面的計算的攔路虎。而“數(shù)的組成法”改變了舊有的思維方式，從而解決了“進位加法和退位減法”這個計算上的難題。
可以說，“數(shù)的組成法” 是計算進位加法和退位減法的全新的思維方式，是學生加減法思維的重大變革。它將解決多數(shù)學生計算學習中的一個重大障礙，從此進位和退位只是計算中的一種表現(xiàn)形式，而無需原有的復雜的思維過程。這對提高學生計算速度，減低學生兩極分化的程度，減少數(shù)學學困生的數(shù)量，減輕學生的學業(yè)負擔都有著重要的意義。