1.松下問童子，言師采藥去，只在此山中，云深不知處。這首古詩中的最后兩句就是中值定理結論的描述。
2.公元13世紀，在意大利有一位天才的數(shù)學家名字叫斐波納奇，他在一本《算盤之書》的著作里記載了這樣一道數(shù)學題：有一對兔子，每一個月可以生下一對小兔子，而且假定小兔子在出生的第二個月便有生育能力，那么過一年后，問一共能有多少對兔子？假設每產一對必須是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能進行相互交配，所生下來的兔子都能保證成活率。究竟有多少對呢？我們不妨計算一下，一對兔子，在一個月后生出了一對，總數(shù)是兩對。而在這兩對當中，只有第一對兔子有生育能力，因而兩個月后一共有三對兔子，三個月后第一第二對兔子都有生育能力，因此又新出生兩對兔子，總共有五對兔子，這樣依此類推，經(jīng)過一年（十二個月）后，兔子總數(shù)為233對。 即兔子的對數(shù)依次為：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，研究一下這個數(shù)列，我們會驚奇地發(fā)現(xiàn)它有許多有趣的性質：從第三項起，每一項的數(shù)都是緊挨著它前面的兩項的數(shù)字之和。即
3＝2＋1；5＝2＋3；8＝3＋5；……233＝89+144，這個數(shù)列的發(fā)現(xiàn)對人類數(shù)學及自然科學的發(fā)展具有重大的意義，人們?yōu)榱思o念大數(shù)學家斐波納奇，因而把此數(shù)列命名為斐波納奇數(shù)列。
3.近代科學，最的科學家家族可能要算伯努利家族了。伯努利家庭是瑞士的一個曾產生過11位科學家的家族。其中的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟約翰·伯努利、約翰的次子丹尼爾·伯努利等。 這個家族人的脾氣都不太好，最奇怪的他們是開始都不是從事數(shù)學，可是到后來全部迷上了數(shù)學。父親因為兒子得了數(shù)學大獎，嫉妒之下竟然一腳從窗戶把兒子踹到了室外。貝努力家族對數(shù)學的貢獻還不是在數(shù)學本身，而是發(fā)現(xiàn)了歐拉。在數(shù)學發(fā)展起步時期，業(yè)余數(shù)學家取得了驕人的成績。
4。依我看，費爾馬（Femart）應該是自古以來沒有與之相比的，估計今后也不會有超越他的業(yè)余數(shù)學家了。費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的業(yè)余數(shù)學家，他最初學習法律并以當律師謀生，后來成為議會議員，數(shù)學只不過是他的業(yè)余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認真注意數(shù)學，但費馬對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻。費馬提出了光線沿最快的路徑行進的原理，進而揭示了隱藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原來只有服從折射定律，才能保證光線從一點到達另一點用的時間最短。費馬在數(shù)論上為我們留下了大量的定理和猜想，其中相當一部分未給出證明。
5。德國數(shù)學家外爾斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算業(yè)余高手，后來走上了職業(yè)數(shù)學家的道路。他開始是學習法律和財經(jīng)，一度在在中學任教。這大概是中學數(shù)學教師中最杰出的一位了。德國是一個多出哲學家的國度，德國人又以嚴格認真見長，外爾斯特拉斯也是一樣，他的品性最能體現(xiàn)德國人對待真理的態(tài)度了。他的貢獻是在微積分嚴格化上作出了杰出的貢獻。1851年，大數(shù)學家高斯最得意的弟子黎曼，在博士論文中提出了一個原理：（Dirichlet）原理，利用這個‘原理'，可以美妙的解決變分中提出的一系列問題，并且在數(shù)學物理上有著廣泛的應用。按照微積分理論，狄利赫來原理應該算是理所當然成立的。可是外爾斯特拉斯卻說："不加證明的使用狄利赫來原理，是不嚴格的。"黎曼也是很謙虛的，便回應到："您說的對，不過這個原理肯定是正確的，很快我就會證明出來。"但是黎曼直到去世也沒有證明出來，又是這個中學教師，舉出了一個反例，徹底*了狄利赫來原理。于是黎曼博士論文中的一切結果都是值得懷疑的了。因此數(shù)學家卡爾.諾依曼嘆息道："如此美妙而又有廣泛應用前景的原理，已經(jīng)永遠從我們視野中消失了。"1899年，曠世奇才希爾伯特（Hilbert）用了不到6頁紙，通過附加一個條件，就消除了黎曼理論的缺陷，從而挽救了這個原理。更神奇的是，還挽救了黎曼的名聲，因為用這個改造的原理發(fā)現(xiàn)黎曼所得的其它結果又都是正確的了。阿貝爾(Abel)1802年出生在挪威的一個小村莊。阿貝爾幸運的碰到了一個有數(shù)學頭腦卻無多大數(shù)學成果的老師，老師很快發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學才能，使得他很早就接觸到了微積分。在中學的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數(shù)學界幾百年的五次方程問題。在19歲那年，他證明了一般五次方程求解公式不存在，就是說，不能用方程系數(shù)和開根號的有限多次運算來表示方程的根。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給國內外的一些數(shù)學家，包括數(shù)學王子的高斯，希望能得到一些反應。可惜他的文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界的問題???連他還沒法子解決的問題。他看都沒看一眼，就把它扔在書堆里了。阿貝爾的另一篇論文是他在歐洲旅行時通過別人轉交給大數(shù)學家柯西（Cauchy）手里，柯西連看都沒看就扔到紙簍里。阿貝爾饑寒交迫的回到了挪威，還欠了一身債，最后在絕望中死去，年僅27歲。他活著的理想是在大學里當一個講師，可是到死都沒有實現(xiàn)?？纯船F(xiàn)在大學里教授成堆，博士成群，可是這個群體再也沒有瘋瘋癲癲的學者，沒有目光深邃的思想者，沒有瘋狂的怪癖人物了。
6。在印度有一個古老的傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人——宰相西薩·班·達依爾。國王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!”國王覺得這要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒。當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢?可千百年后的今天，我們都知道了答案：國王無法實現(xiàn)自己的承諾，因為這是一個長達20位的天文數(shù)字。
7。老早以前的一個故事，好像說的是一個旅店里面有可數(shù)間房間，在一個分雨交加的夜晚，每個房間都住滿了客人，這時候來了一個住店的客人，店主人古道熱腸，說我們想想辦法，于是叫醒所有的客人，以號房間的人住到二號房間去，二號房間的人住到三號房間去，......以此類推，于是所有的人都能夠有一個溫暖的房間了，這種故事的基礎是房間數(shù)十可數(shù)個，生活中沒有辦法做到。
2.公元13世紀，在意大利有一位天才的數(shù)學家名字叫斐波納奇，他在一本《算盤之書》的著作里記載了這樣一道數(shù)學題：有一對兔子，每一個月可以生下一對小兔子，而且假定小兔子在出生的第二個月便有生育能力，那么過一年后，問一共能有多少對兔子？假設每產一對必須是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能進行相互交配，所生下來的兔子都能保證成活率。究竟有多少對呢？我們不妨計算一下，一對兔子，在一個月后生出了一對，總數(shù)是兩對。而在這兩對當中，只有第一對兔子有生育能力，因而兩個月后一共有三對兔子，三個月后第一第二對兔子都有生育能力，因此又新出生兩對兔子，總共有五對兔子，這樣依此類推，經(jīng)過一年（十二個月）后，兔子總數(shù)為233對。 即兔子的對數(shù)依次為：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，研究一下這個數(shù)列，我們會驚奇地發(fā)現(xiàn)它有許多有趣的性質：從第三項起，每一項的數(shù)都是緊挨著它前面的兩項的數(shù)字之和。即
3＝2＋1；5＝2＋3；8＝3＋5；……233＝89+144，這個數(shù)列的發(fā)現(xiàn)對人類數(shù)學及自然科學的發(fā)展具有重大的意義，人們?yōu)榱思o念大數(shù)學家斐波納奇，因而把此數(shù)列命名為斐波納奇數(shù)列。
3.近代科學，最的科學家家族可能要算伯努利家族了。伯努利家庭是瑞士的一個曾產生過11位科學家的家族。其中的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟約翰·伯努利、約翰的次子丹尼爾·伯努利等。 這個家族人的脾氣都不太好，最奇怪的他們是開始都不是從事數(shù)學，可是到后來全部迷上了數(shù)學。父親因為兒子得了數(shù)學大獎，嫉妒之下竟然一腳從窗戶把兒子踹到了室外。貝努力家族對數(shù)學的貢獻還不是在數(shù)學本身，而是發(fā)現(xiàn)了歐拉。在數(shù)學發(fā)展起步時期，業(yè)余數(shù)學家取得了驕人的成績。
4。依我看，費爾馬（Femart）應該是自古以來沒有與之相比的，估計今后也不會有超越他的業(yè)余數(shù)學家了。費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的業(yè)余數(shù)學家，他最初學習法律并以當律師謀生，后來成為議會議員，數(shù)學只不過是他的業(yè)余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認真注意數(shù)學，但費馬對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻。費馬提出了光線沿最快的路徑行進的原理，進而揭示了隱藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原來只有服從折射定律，才能保證光線從一點到達另一點用的時間最短。費馬在數(shù)論上為我們留下了大量的定理和猜想，其中相當一部分未給出證明。
5。德國數(shù)學家外爾斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算業(yè)余高手，后來走上了職業(yè)數(shù)學家的道路。他開始是學習法律和財經(jīng)，一度在在中學任教。這大概是中學數(shù)學教師中最杰出的一位了。德國是一個多出哲學家的國度，德國人又以嚴格認真見長，外爾斯特拉斯也是一樣，他的品性最能體現(xiàn)德國人對待真理的態(tài)度了。他的貢獻是在微積分嚴格化上作出了杰出的貢獻。1851年，大數(shù)學家高斯最得意的弟子黎曼，在博士論文中提出了一個原理：（Dirichlet）原理，利用這個‘原理'，可以美妙的解決變分中提出的一系列問題，并且在數(shù)學物理上有著廣泛的應用。按照微積分理論，狄利赫來原理應該算是理所當然成立的。可是外爾斯特拉斯卻說："不加證明的使用狄利赫來原理，是不嚴格的。"黎曼也是很謙虛的，便回應到："您說的對，不過這個原理肯定是正確的，很快我就會證明出來。"但是黎曼直到去世也沒有證明出來，又是這個中學教師，舉出了一個反例，徹底*了狄利赫來原理。于是黎曼博士論文中的一切結果都是值得懷疑的了。因此數(shù)學家卡爾.諾依曼嘆息道："如此美妙而又有廣泛應用前景的原理，已經(jīng)永遠從我們視野中消失了。"1899年，曠世奇才希爾伯特（Hilbert）用了不到6頁紙，通過附加一個條件，就消除了黎曼理論的缺陷，從而挽救了這個原理。更神奇的是，還挽救了黎曼的名聲，因為用這個改造的原理發(fā)現(xiàn)黎曼所得的其它結果又都是正確的了。阿貝爾(Abel)1802年出生在挪威的一個小村莊。阿貝爾幸運的碰到了一個有數(shù)學頭腦卻無多大數(shù)學成果的老師，老師很快發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學才能，使得他很早就接觸到了微積分。在中學的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數(shù)學界幾百年的五次方程問題。在19歲那年，他證明了一般五次方程求解公式不存在，就是說，不能用方程系數(shù)和開根號的有限多次運算來表示方程的根。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給國內外的一些數(shù)學家，包括數(shù)學王子的高斯，希望能得到一些反應。可惜他的文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界的問題???連他還沒法子解決的問題。他看都沒看一眼，就把它扔在書堆里了。阿貝爾的另一篇論文是他在歐洲旅行時通過別人轉交給大數(shù)學家柯西（Cauchy）手里，柯西連看都沒看就扔到紙簍里。阿貝爾饑寒交迫的回到了挪威，還欠了一身債，最后在絕望中死去，年僅27歲。他活著的理想是在大學里當一個講師，可是到死都沒有實現(xiàn)?？纯船F(xiàn)在大學里教授成堆，博士成群，可是這個群體再也沒有瘋瘋癲癲的學者，沒有目光深邃的思想者，沒有瘋狂的怪癖人物了。
6。在印度有一個古老的傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人——宰相西薩·班·達依爾。國王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!”國王覺得這要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒。當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數(shù)時，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢?可千百年后的今天，我們都知道了答案：國王無法實現(xiàn)自己的承諾，因為這是一個長達20位的天文數(shù)字。
7。老早以前的一個故事，好像說的是一個旅店里面有可數(shù)間房間，在一個分雨交加的夜晚，每個房間都住滿了客人，這時候來了一個住店的客人，店主人古道熱腸，說我們想想辦法，于是叫醒所有的客人，以號房間的人住到二號房間去，二號房間的人住到三號房間去，......以此類推，于是所有的人都能夠有一個溫暖的房間了，這種故事的基礎是房間數(shù)十可數(shù)個，生活中沒有辦法做到。