孫龐猜數(shù)的手算推理解法:
1)按照龐的第一句話的后半部分，我們肯定龐知道的和S肯定不會大于54。
因?yàn)槿绻?4＜S＜54+99，那么S可以寫為S=53+a，a＜=99。如果鬼谷子選
的兩個數(shù)字恰好是53和a，那么孫知道的積M就是M=53× a，于是孫知道，這原
來兩個數(shù)中至少有一個含有53這個因子，因?yàn)?3是個素?cái)?shù)?？墒切∮?00，又有
53這個因子的，只能是 53本身，所以孫就可以只憑這個積53×a推斷出這兩個
數(shù)術(shù)53和a。所以如果龐知道的 S大于54的話，他就不敢排除兩個數(shù)是53和a這
種可能，也就不敢貿(mào)然說“但是我肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這種話。
如果53+99＜S＜=97+99，那么S可以寫為S=97+a，同以上推理，也不可能。
如果S=98+99，那么龐可以立刻判斷出，這兩個數(shù)只能是98和99，而且M只
能是98×99，
孫也可以知道這兩個術(shù)，所以顯然不可能。
2)按照龐的第一句話的后半部分，我們還可以肯定龐知道的和S不可以表示
為兩個素?cái)?shù)的和。
否則的話，如果鬼谷子選的兩個數(shù)字恰好就是這兩個素?cái)?shù)，那么孫知道積M
后，就可以得到的素因子分解，判斷出結(jié)果。于是龐 還是不敢說“但是我
肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這種話。
根據(jù)哥德巴赫猜想，任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個素?cái)?shù)之和，對54以
下的偶數(shù)，猜想肯定被驗(yàn)證過，所以S一定不能是偶數(shù)。
另外型為S=2+p的奇數(shù)，其中p是奇素?cái)?shù)的那些S也同樣要排除掉。
還有S=51也要排除掉，因?yàn)?1=17+2×17。如果鬼谷子選的是(17,2×17)，
那么孫知道的將是M=2×17×17，他對鬼谷子原來的兩數(shù)的猜想只能是(17,2×
17)。（為什么51要單獨(dú)拿出來，要看下面的推理）
3)于是我們得到S必須在以下數(shù)中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
另外一方面，只要龐的S在上面這些數(shù)中，他就可以說“但是我肯定你也不
知道這兩個數(shù)是什么”，因?yàn)檫@些數(shù)無論怎么拆成兩數(shù)和，都至少有一個數(shù)是
合數(shù)（必是一偶一奇，如果偶的那個大于2，它就是合數(shù)，如果偶的那個等于2
，我們上面的步驟已經(jīng)保證奇的那個是合數(shù)），也就是S只能拆成a) S=2+a×b
或 b) S=a+2^n×b這兩個樣子，其中a和b都是奇數(shù)，n>=1。那么（下面我說
的“至少兩組數(shù)”中的兩組數(shù)都不相同，而且的確存在（也就是那些數(shù)都小于
100）的理由我就不寫了，根據(jù)條件很顯然）
a)或者孫的M=2×a×b，孫就會在(2×a,b)和(2,a×b)至少兩組數(shù)里拿不定
主意（a和b都是奇數(shù)，所以這兩組數(shù)一定不同）；
b)或者M(jìn)=2^n×a×b，
如果n>1，那么孫就會在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少兩組數(shù)里拿
不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孫就會在(2×a,b)和(2b,a)至少兩組數(shù)里拿
不定主 意；
如果n=1，而且a等于b，這意味著S=a+2×a=3a，所以S一定是3的倍數(shù)，我
們只要
討論S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孫拿到的M=9×18，他就
會在
(9，18)和(27,6)至少兩組數(shù)里拿不定主意。
（上面對51的討論就是從這最后一種情況的討論發(fā)現(xiàn)的，我不知道上面的
論證是否
過分煩瑣了，但是看看51這個“特例”，我懷疑嚴(yán)格的論證可能就得這么
煩） 現(xiàn)在我們知道，當(dāng)且僅當(dāng)龐得到的和數(shù)S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35,
37, 41, 47, 53} 中，他才會說出“我雖然不能確定這兩個數(shù)是什么，但是我
肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這句話 孫臏可以和我們得到同樣的結(jié)論
，他還比我們多知道那個M。
4)孫的話“我現(xiàn)在能夠確定這兩個數(shù)字了”表明，他把M分解成素因子后，
然后組合成關(guān)于鬼谷子的那兩個數(shù)的若干個猜想中，有且 僅有一個猜想的和在
C中。否則的話，他還是會在多個猜想之間拿不定主意。
龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結(jié)論，他還比我們多知道那個S。
5)龐的話“我現(xiàn)在也知道這兩個數(shù)字是什么了”表明，他把S拆成兩數(shù)和后
，也得到了關(guān)于鬼谷子的那兩個數(shù)的若干個猜想，但是在 所有這些拆法中，只
有一種滿足4)里的條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫臏推斷出那
兩個數(shù)來。
于是我們可以排除掉C中那些可以用兩種方法表示為S=2^n+p的S，其中n＞1
，p為素?cái)?shù)。因?yàn)槿绻鸖=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是 (2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這
兩種情況，孫臏都可以由M=2^n1×p1或M=2^n2×p2來斷定出正確的結(jié)果，因?yàn)?BR> 由M得到的各種兩數(shù)組合，只有 (2^n,p)這樣的組合，兩數(shù)和才是奇數(shù)，從而在
C中，于是孫臏就可以宣布自己知道了是怎么回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)
還是(2^n2, p2)這 兩種情況犯愁。
因?yàn)?1=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，
37=8+29=32+5，47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在17 29 41 53中。讓我們
繼續(xù)縮小這個表。
29不可能，因?yàn)?9=2+27=4+25。無論是(2,27)和(4,25)，孫臏都可以正確
判斷出來：
a)如果是(2,27)，M=2×27=2×3×3×3，那么孫可以猜的組合是(2,27)
(3,18)(6,9)，
后面兩種對應(yīng)的S為21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4×25=2×2×5×5，那么孫可以猜的組合是(2,50)
(4,25)(5,20) (10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是龐涓卻要為孫臏的M到底是2×27還是4×25苦惱。
41不可能，因?yàn)?1=4+37=10+31。后面推理略。
53不可能，因?yàn)?3=6+47=16+37。后面推理略。
研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數(shù)和拆法：
(2,15)：那么M=2×15=2×3×5=6×5，而6+5=11也在C中，所以一定不是這
個M，否則4)的條件不能滿足，孫“我現(xiàn)在能夠確定這兩 個數(shù)字了”的話說不
出來。
(3,14)：那么M=3×14=2×3×7=2×21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4×13=2×2×13。那么孫可以猜的組合是(2,26)(4,13)，
只有(4,13)的和在C中，所以這種情況孫臏可以說4)中的話。
(5,12)：那么M=5×12=2×2×3×5=3×20，而3+20=23也在C中。后面推理
略。
(6,11)：那么M=6×11=2×3×11=2×33，而2+33=35也在C中。后面推理略
。
(7,10)：那么M=7×10=2×5×7=2×35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8×9=2×2×2×3×3=3×24，而3+24=27也在C中。后面推理
略。
于是在S=17時，只有(4,13)這種情況，孫臏才可以猜出那兩數(shù)是什么，既
然如此，龐涓就知道這兩個數(shù)是什么，說出“我現(xiàn) 在也知道這兩個數(shù)字是什么
了”。聽了龐涓的話，于是我們也知道，這兩數(shù)該是(4,13)。
1)按照龐的第一句話的后半部分，我們肯定龐知道的和S肯定不會大于54。
因?yàn)槿绻?4＜S＜54+99，那么S可以寫為S=53+a，a＜=99。如果鬼谷子選
的兩個數(shù)字恰好是53和a，那么孫知道的積M就是M=53× a，于是孫知道，這原
來兩個數(shù)中至少有一個含有53這個因子，因?yàn)?3是個素?cái)?shù)?？墒切∮?00，又有
53這個因子的，只能是 53本身，所以孫就可以只憑這個積53×a推斷出這兩個
數(shù)術(shù)53和a。所以如果龐知道的 S大于54的話，他就不敢排除兩個數(shù)是53和a這
種可能，也就不敢貿(mào)然說“但是我肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這種話。
如果53+99＜S＜=97+99，那么S可以寫為S=97+a，同以上推理，也不可能。
如果S=98+99，那么龐可以立刻判斷出，這兩個數(shù)只能是98和99，而且M只
能是98×99，
孫也可以知道這兩個術(shù)，所以顯然不可能。
2)按照龐的第一句話的后半部分，我們還可以肯定龐知道的和S不可以表示
為兩個素?cái)?shù)的和。
否則的話，如果鬼谷子選的兩個數(shù)字恰好就是這兩個素?cái)?shù)，那么孫知道積M
后，就可以得到的素因子分解，判斷出結(jié)果。于是龐 還是不敢說“但是我
肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這種話。
根據(jù)哥德巴赫猜想，任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個素?cái)?shù)之和，對54以
下的偶數(shù)，猜想肯定被驗(yàn)證過，所以S一定不能是偶數(shù)。
另外型為S=2+p的奇數(shù)，其中p是奇素?cái)?shù)的那些S也同樣要排除掉。
還有S=51也要排除掉，因?yàn)?1=17+2×17。如果鬼谷子選的是(17,2×17)，
那么孫知道的將是M=2×17×17，他對鬼谷子原來的兩數(shù)的猜想只能是(17,2×
17)。（為什么51要單獨(dú)拿出來，要看下面的推理）
3)于是我們得到S必須在以下數(shù)中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
另外一方面，只要龐的S在上面這些數(shù)中，他就可以說“但是我肯定你也不
知道這兩個數(shù)是什么”，因?yàn)檫@些數(shù)無論怎么拆成兩數(shù)和，都至少有一個數(shù)是
合數(shù)（必是一偶一奇，如果偶的那個大于2，它就是合數(shù)，如果偶的那個等于2
，我們上面的步驟已經(jīng)保證奇的那個是合數(shù)），也就是S只能拆成a) S=2+a×b
或 b) S=a+2^n×b這兩個樣子，其中a和b都是奇數(shù)，n>=1。那么（下面我說
的“至少兩組數(shù)”中的兩組數(shù)都不相同，而且的確存在（也就是那些數(shù)都小于
100）的理由我就不寫了，根據(jù)條件很顯然）
a)或者孫的M=2×a×b，孫就會在(2×a,b)和(2,a×b)至少兩組數(shù)里拿不定
主意（a和b都是奇數(shù)，所以這兩組數(shù)一定不同）；
b)或者M(jìn)=2^n×a×b，
如果n>1，那么孫就會在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少兩組數(shù)里拿
不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孫就會在(2×a,b)和(2b,a)至少兩組數(shù)里拿
不定主 意；
如果n=1，而且a等于b，這意味著S=a+2×a=3a，所以S一定是3的倍數(shù)，我
們只要
討論S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孫拿到的M=9×18，他就
會在
(9，18)和(27,6)至少兩組數(shù)里拿不定主意。
（上面對51的討論就是從這最后一種情況的討論發(fā)現(xiàn)的，我不知道上面的
論證是否
過分煩瑣了，但是看看51這個“特例”，我懷疑嚴(yán)格的論證可能就得這么
煩） 現(xiàn)在我們知道，當(dāng)且僅當(dāng)龐得到的和數(shù)S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35,
37, 41, 47, 53} 中，他才會說出“我雖然不能確定這兩個數(shù)是什么，但是我
肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么”這句話 孫臏可以和我們得到同樣的結(jié)論
，他還比我們多知道那個M。
4)孫的話“我現(xiàn)在能夠確定這兩個數(shù)字了”表明，他把M分解成素因子后，
然后組合成關(guān)于鬼谷子的那兩個數(shù)的若干個猜想中，有且 僅有一個猜想的和在
C中。否則的話，他還是會在多個猜想之間拿不定主意。
龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結(jié)論，他還比我們多知道那個S。
5)龐的話“我現(xiàn)在也知道這兩個數(shù)字是什么了”表明，他把S拆成兩數(shù)和后
，也得到了關(guān)于鬼谷子的那兩個數(shù)的若干個猜想，但是在 所有這些拆法中，只
有一種滿足4)里的條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫臏推斷出那
兩個數(shù)來。
于是我們可以排除掉C中那些可以用兩種方法表示為S=2^n+p的S，其中n＞1
，p為素?cái)?shù)。因?yàn)槿绻鸖=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是 (2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這
兩種情況，孫臏都可以由M=2^n1×p1或M=2^n2×p2來斷定出正確的結(jié)果，因?yàn)?BR> 由M得到的各種兩數(shù)組合，只有 (2^n,p)這樣的組合，兩數(shù)和才是奇數(shù)，從而在
C中，于是孫臏就可以宣布自己知道了是怎么回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)
還是(2^n2, p2)這 兩種情況犯愁。
因?yàn)?1=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，
37=8+29=32+5，47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在17 29 41 53中。讓我們
繼續(xù)縮小這個表。
29不可能，因?yàn)?9=2+27=4+25。無論是(2,27)和(4,25)，孫臏都可以正確
判斷出來：
a)如果是(2,27)，M=2×27=2×3×3×3，那么孫可以猜的組合是(2,27)
(3,18)(6,9)，
后面兩種對應(yīng)的S為21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4×25=2×2×5×5，那么孫可以猜的組合是(2,50)
(4,25)(5,20) (10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是龐涓卻要為孫臏的M到底是2×27還是4×25苦惱。
41不可能，因?yàn)?1=4+37=10+31。后面推理略。
53不可能，因?yàn)?3=6+47=16+37。后面推理略。
研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數(shù)和拆法：
(2,15)：那么M=2×15=2×3×5=6×5，而6+5=11也在C中，所以一定不是這
個M，否則4)的條件不能滿足，孫“我現(xiàn)在能夠確定這兩 個數(shù)字了”的話說不
出來。
(3,14)：那么M=3×14=2×3×7=2×21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4×13=2×2×13。那么孫可以猜的組合是(2,26)(4,13)，
只有(4,13)的和在C中，所以這種情況孫臏可以說4)中的話。
(5,12)：那么M=5×12=2×2×3×5=3×20，而3+20=23也在C中。后面推理
略。
(6,11)：那么M=6×11=2×3×11=2×33，而2+33=35也在C中。后面推理略
。
(7,10)：那么M=7×10=2×5×7=2×35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8×9=2×2×2×3×3=3×24，而3+24=27也在C中。后面推理
略。
于是在S=17時，只有(4,13)這種情況，孫臏才可以猜出那兩數(shù)是什么，既
然如此，龐涓就知道這兩個數(shù)是什么，說出“我現(xiàn) 在也知道這兩個數(shù)字是什么
了”。聽了龐涓的話，于是我們也知道，這兩數(shù)該是(4,13)。