實數(shù)可以用通過收斂于一個實數(shù)的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補全。實數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。這里給出其中一種，其他方法請詳見實數(shù)的構(gòu)造。
公理的方法設(shè) R 是所有實數(shù)的集合，則：
集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。
域 R 是個有序域，即存在全序關(guān)系≥ ，對所有實數(shù) x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。
最后一條是區(qū)分實數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5;但是不存在有理數(shù)上確界(因為 √2 不是有理數(shù))。
實數(shù)通過上述性質(zhì)確定。更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。
相關(guān)性質(zhì)基本運算
實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負(fù)數(shù)(即正數(shù)和0)還可以進行開方運算。實數(shù)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)、平方后結(jié)果還是實數(shù)。任何實數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實數(shù)，只有非負(fù)實數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實數(shù)。
公理的方法設(shè) R 是所有實數(shù)的集合，則：
集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。
域 R 是個有序域，即存在全序關(guān)系≥ ，對所有實數(shù) x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。
最后一條是區(qū)分實數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5;但是不存在有理數(shù)上確界(因為 √2 不是有理數(shù))。
實數(shù)通過上述性質(zhì)確定。更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。
相關(guān)性質(zhì)基本運算
實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負(fù)數(shù)(即正數(shù)和0)還可以進行開方運算。實數(shù)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)、平方后結(jié)果還是實數(shù)。任何實數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實數(shù)，只有非負(fù)實數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實數(shù)。