向量的數(shù)乘運算
計算下列各式：
(1)4(a+b)-3(a-b);
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
思路分析：利用向量的線性運算律計算.
解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=a+b
=0·a+0·b=0+0=0.
計算：(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
向量的數(shù)乘運算類似于實數(shù)運算，先算小括號里面的，再算中括號里面的，將相同的向量看作同類項進行合并.
二、向量共線條件的應用
已知向量e1和e2不共線.
(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點共線.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實數(shù)k的值.
思路分析：(1)要證A，B，D三點共線，可證，共線(或與共線等);(2)當ke1+e2與e1+ke2共線時，由向量共線的條件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，從而求得k的值.
(1)證明：∵=e1+e2，
=+=2e1+8e2+3e1-3e2
=5(e1+e2)=5，
∴∥.又∵AB∩BD=B，
∴A，B，D三點共線.
(2)解：∵ke1+e2與e1+ke2共線，
∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，
則(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1與e2不共線，
只能有
則k=±1.
已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使d=λa+μb與c共線?
解：∵d=λa+μb
=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，
要使d與c共線，則應存在實數(shù)k，使d=kc，
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，
∴∴λ=-2μ.
故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d與c共線.
1.若b=λa(λ∈R)，則b與a共線.由此可以判斷向量共線問題.若b與a(a≠0)共線，則必存在實數(shù)λ，使b=λa.據(jù)此可以求兩個共線向量中的系數(shù)問題.
2.用向量證明三點共線時，關鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使得a=λb(a，b為這三點構(gòu)成的其中任意兩個向量).證明步驟是先證明兩個向量共線，然后再由兩個向量有公共點，證得三點共線.
三、向量線性運算的應用
=a，=b為邊的平行四邊形.又BM=BC，CN=CD，試用a，b表示，，.
思路分析：利用向量加法的平行四邊形法則、三角形法則以及減法的三角形法則對向量進行分解，同時結(jié)合向量的數(shù)乘運算將未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，∴=+=b+a-b=a+b，
==.
∴=+=+=
=(+)=(a+b)=a+b.
=-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中，D是BC邊的中點，用向量，表示向量為________.
答案：+
解析：∵=，
∴-=-，2=+.
∴=+.
2.如圖所示，點E在△ABC的邊BC上，且CE=3EB，設=a，=b，用a，b表示.
解：∵CE=3EB，
∴=.
又∵=-，
∴=+=+
=a+(b-a)=a+b.
在平面幾何圖形中進行向量運算時，一般要把所求向量放在三角形或平行四邊形中，利用向量加減的三角形法則或平行四邊形法則把所求向量表示出來，同時，注意平面幾何中一些定理的應用.
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1.下列計算正確的數(shù)目是( )
①(-3)·2a=-6a ②2(a+b)-(2b-a)=3a?、?a+2b)-(2b+a)=0
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：①②正確，③錯誤，應有(a+2b)-(2b+a)=0.
2.化簡為( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
答案：C
解析：原式=a+b+a-a+b=a+b.
3.下面向量a，b共線的有( )
①a=2e1，b=-2e2;
②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2，b=e1-e2;
④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共線)
A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
答案：A
解析：①中a與e1共線，b與e2共線，而e1，e2不共線，所以a與b不共線;
②中b=-2a，故a與b共線;
③中b=a，故a與b共線;
④中a與b不共線，因為若a與b共線，則必存在實數(shù)λ，使e1+e2=λ(2e1-2e2)，于是λ無解.故a與b不可能共線.
4.已知平行四邊形ABCD中，=a，=b，其對角線交點為O，則等于( )
A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b
答案：C
解析：+=+==2，所以=(a+b)，故選C.
5.已知向量a與b不共線，m=a-b，n=xa+3b，若m與n共線，則x的值等于__________.
答案：-6
解析：依題意存在實數(shù)λ，使m=λn，
即=λ(xa+3b)，
即于是λ=-，x=-6.
計算下列各式：
(1)4(a+b)-3(a-b);
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
思路分析：利用向量的線性運算律計算.
解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=a+b
=0·a+0·b=0+0=0.
計算：(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
向量的數(shù)乘運算類似于實數(shù)運算，先算小括號里面的，再算中括號里面的，將相同的向量看作同類項進行合并.
二、向量共線條件的應用
已知向量e1和e2不共線.
(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點共線.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實數(shù)k的值.
思路分析：(1)要證A，B，D三點共線，可證，共線(或與共線等);(2)當ke1+e2與e1+ke2共線時，由向量共線的條件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，從而求得k的值.
(1)證明：∵=e1+e2，
=+=2e1+8e2+3e1-3e2
=5(e1+e2)=5，
∴∥.又∵AB∩BD=B，
∴A，B，D三點共線.
(2)解：∵ke1+e2與e1+ke2共線，
∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，
則(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1與e2不共線，
只能有
則k=±1.
已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使d=λa+μb與c共線?
解：∵d=λa+μb
=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，
要使d與c共線，則應存在實數(shù)k，使d=kc，
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，
∴∴λ=-2μ.
故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d與c共線.
1.若b=λa(λ∈R)，則b與a共線.由此可以判斷向量共線問題.若b與a(a≠0)共線，則必存在實數(shù)λ，使b=λa.據(jù)此可以求兩個共線向量中的系數(shù)問題.
2.用向量證明三點共線時，關鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使得a=λb(a，b為這三點構(gòu)成的其中任意兩個向量).證明步驟是先證明兩個向量共線，然后再由兩個向量有公共點，證得三點共線.
三、向量線性運算的應用
=a，=b為邊的平行四邊形.又BM=BC，CN=CD，試用a，b表示，，.
思路分析：利用向量加法的平行四邊形法則、三角形法則以及減法的三角形法則對向量進行分解，同時結(jié)合向量的數(shù)乘運算將未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，∴=+=b+a-b=a+b，
==.
∴=+=+=
=(+)=(a+b)=a+b.
=-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中，D是BC邊的中點，用向量，表示向量為________.
答案：+
解析：∵=，
∴-=-，2=+.
∴=+.
2.如圖所示，點E在△ABC的邊BC上，且CE=3EB，設=a，=b，用a，b表示.
解：∵CE=3EB，
∴=.
又∵=-，
∴=+=+
=a+(b-a)=a+b.
在平面幾何圖形中進行向量運算時，一般要把所求向量放在三角形或平行四邊形中，利用向量加減的三角形法則或平行四邊形法則把所求向量表示出來，同時，注意平面幾何中一些定理的應用.
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1.下列計算正確的數(shù)目是( )
①(-3)·2a=-6a ②2(a+b)-(2b-a)=3a?、?a+2b)-(2b+a)=0
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：①②正確，③錯誤，應有(a+2b)-(2b+a)=0.
2.化簡為( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
答案：C
解析：原式=a+b+a-a+b=a+b.
3.下面向量a，b共線的有( )
①a=2e1，b=-2e2;
②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2，b=e1-e2;
④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共線)
A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
答案：A
解析：①中a與e1共線，b與e2共線，而e1，e2不共線，所以a與b不共線;
②中b=-2a，故a與b共線;
③中b=a，故a與b共線;
④中a與b不共線，因為若a與b共線，則必存在實數(shù)λ，使e1+e2=λ(2e1-2e2)，于是λ無解.故a與b不可能共線.
4.已知平行四邊形ABCD中，=a，=b，其對角線交點為O，則等于( )
A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b
答案：C
解析：+=+==2，所以=(a+b)，故選C.
5.已知向量a與b不共線，m=a-b，n=xa+3b，若m與n共線，則x的值等于__________.
答案：-6
解析：依題意存在實數(shù)λ，使m=λn，
即=λ(xa+3b)，
即于是λ=-，x=-6.