難點6 函數值域及求法
函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數的值域解決實際應用問題.
●難點磁場
(★★★★★)設m是實數，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數都有意義；反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則m∈M.
(2)當m∈M時，求函數f(x)的最小值.
(3)求證：對每個m∈M,函數f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最??？
命題意圖：本題主要考查建立函數關系式和求函數最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識.
錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調性容易出錯，其次不易把應用問題轉化為函數的最值問題來解決.
技巧與方法：本題屬于應用問題，關鍵是建立數學模型，并把問題轉化為函數的最值問題來解決.
解：設畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當8=,即λ=<1)時S取得最小值.此時高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm.
如果λ∈［］可設≤λ1<λ2≤,則由S的表達式得：
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內單調遞增.
從而對于λ∈［］,當λ=時，S(λ)取得最小值.
答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當λ=時，所用紙張面積最小.
［例2］已知函數f(x)=,x∈［1,+∞
(1)當a=時，求函數f(x)的最小值.
(2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍.
命題意圖：本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.
知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思想與分類討論的思想.
錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題來解決.
技巧與方法：解法一運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得.
(1)解：當a=時，f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數，
∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=.
(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
設y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞
當a≥0時，函數f(x)的值恒為正；
當a<0時，函數f(x)遞增，故當x=1時，f(x)min=3+a,
當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.
函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數的值域解決實際應用問題.
●難點磁場
(★★★★★)設m是實數，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).
(1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數都有意義；反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則m∈M.
(2)當m∈M時，求函數f(x)的最小值.
(3)求證：對每個m∈M,函數f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最??？
命題意圖：本題主要考查建立函數關系式和求函數最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識.
錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調性容易出錯，其次不易把應用問題轉化為函數的最值問題來解決.
技巧與方法：本題屬于應用問題，關鍵是建立數學模型，并把問題轉化為函數的最值問題來解決.
解：設畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當8=,即λ=<1)時S取得最小值.此時高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm.
如果λ∈［］可設≤λ1<λ2≤,則由S的表達式得：
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內單調遞增.
從而對于λ∈［］,當λ=時，S(λ)取得最小值.
答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當λ=時，所用紙張面積最小.
［例2］已知函數f(x)=,x∈［1,+∞
(1)當a=時，求函數f(x)的最小值.
(2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍.
命題意圖：本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.
知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思想與分類討論的思想.
錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題來解決.
技巧與方法：解法一運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得.
(1)解：當a=時，f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數，
∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=.
(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
設y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞
當a≥0時，函數f(x)的值恒為正；
當a<0時，函數f(x)遞增，故當x=1時，f(x)min=3+a,
當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.