一、圖形運動產(chǎn)生的面積問題
知識點睛
研究_基本_圖形
分析運動狀態(tài)：
①由起點、終點確定t的范圍；
②對t分段，根據(jù)運動趨勢畫圖，找邊與定點，通常是狀態(tài)轉(zhuǎn)折點相交時的特殊位置．
分段畫圖，選擇適當方法表達面積．
二、精講精練
已知，等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點與點重合，點N到達點時運動終止），過點M、N分別作邊的垂線，與△ABC的其他邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為秒．
（1）線段MN在運動的過程中，為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積．
（2）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求四邊形MNQP的面積S隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
1題圖 2題圖
如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，對角線AC、BD交于點H．平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發(fā)，沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G，當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動．記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的面積為，被直線RQ掃過的面積為，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒．
（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；
（2）若，求x．
如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，點P、Q同時從點C出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運動，當點Q到達點B時，點P、Q同時停止運動．過點P作AC的垂線l交AB于點R，連接PQ、RQ，并作△PQR關(guān)于直線l對稱的圖形，得到△PQ'R．設點Q的運動時間為t（s），△PQ'R與△PAR重疊部分的面積為S（cm2）．
（1）t為何值時，點Q' 恰好落在AB上？
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
（3）S能否為？若能，求出此時t的值；
若不能，請說明理由．
如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動．以AP為邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設點P的運動時間為ts，正方形APDE和梯形BCFQ重疊部分的面積為Scm2．
（1）當t=_____s時，點P與點Q重合；
（2）當t=_____s時，點D在QF上；
（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，
求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、D（-2，0），作直線AD并以線段AD為一邊向上作正方形ABCD．
（1）填空：點B的坐標為________，點C的坐標為_________．
（2）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線DA向上平移，直至正方形的頂點C落在y軸上時停止運動．在運動過程中，設正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于平移時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍．
如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l1：y=x與直線l2：y=-x+6相交于點M，直線l2與x軸相交于點N．
（1）求M，N的坐標．
（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動．設矩形ABCD與△OMN重疊部分的面積為S，移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時結(jié)束）．求S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍．
二、二次函數(shù)中的存在性問題
一、知識點睛
解決“二次函數(shù)中存在性問題”的基本步驟：
①畫圖分析．研究確定圖形，先畫圖解決其中一種情形．
②分類討論.先驗證①的結(jié)果是否合理，再找其他分類，類比第一種情形求解．
③驗證取舍.結(jié)合點的運動范圍，畫圖或推理，對結(jié)果取舍．
二、精講精練
如圖，已知點P是二次函數(shù)y=-x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點. 若以AB為直角邊的△PAB與△OAB相似，請求出所有符合條件的點P的坐標．
拋物線與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．點P在拋物線上，直線PQ//BC交x軸于點Q，連接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上（點D不與點Q重合），另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．
如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負半軸上，且OD＝10，
OB＝8．將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C恰好與x軸上的點A重合．
（1）若拋物線經(jīng)過A、B兩點，求該拋物線的解析式：______________；
（2）若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，
作MN⊥x軸于點N．是否存在點M，使△AMN
與△ACD相似？若存在，求出點M的坐標；
若不存在，說明理由．
已知拋物線經(jīng)過A、B、C三點，點P（1，k）在直線BC：y=x3上，若點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
拋物線與y軸交于點C，與直線y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)兩點．如圖，線段MN在直線AB上移動，且，若點M的橫坐標為m，過點M作x軸的垂線與x軸交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q．以P、M、Q、N為頂點的四邊形否為平行四邊形？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．
三、二次函數(shù)與幾何綜合
一、知識點睛
“二次函數(shù)與幾何綜合”思考流程：
整合信息時，下面兩點可為我們提供便利：
①研究函數(shù)表達式．二次函數(shù)關(guān)注四點一線，一次函數(shù)關(guān)注k、b；
②)關(guān)鍵點坐標轉(zhuǎn)線段長．找特殊圖形、特殊位置關(guān)系，尋求邊和角度信息．
二、精講精練
如圖，拋物線y=ax2-5ax+4（a＜0）經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使|MA-MB|？
若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
如圖，已知拋物線y=ax2-2ax-b（a>0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的右側(cè)，且點B的坐標為(-1，0)，與y軸的負半軸交于點C，頂點為D．連接AC、CD，∠ACD=90°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，
且以B、A、F、E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標．
如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．設△PDE的周長為l，
點P的橫坐標為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的值．
已知，拋物線經(jīng)過A(-1，0)，C(2，)兩點，
與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點 （不與點B重合），點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式，
并直接寫出自變量x的取值范圍．
已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A(1，0)，C(0，-3).
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A），
①如圖1，當△PBC的面積與△ABC的面積相等時，求點P的坐標；
②如圖2，當∠PCB =∠BCA時，求直線CP的解析式．
四、中考數(shù)學壓軸題專項訓練
1.如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A(1，1)，B(3，1)．動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過點P作PQ⊥OA，垂足為Q．設點P移動的時間為t秒（0 △OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過O，A，B三點的拋物線解析式．
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
2.如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標．
（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標．
（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q．若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應點為Q′，是否存在點P，使點Q′恰好在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3.（11分）如圖，已知直線與坐標軸交于A，B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線的另一個交點為E．
（1）請直接寫出C，D兩點的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止，設正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上C，E兩點間的拋物線弧所掃過的面積．
4.（11分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A(-3，0)，點B(1，0)，交y軸于點E(0，-3)．點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y=-x+m過點C，交y軸于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線，交直
線CD于點H，交拋物線于點G，求線段HG長度的值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以A，C，M，
N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．
5.（11分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與
拋物線交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A，B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的值．
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點P的運動，
正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，
直接寫出對應的點P的坐標．
6.（11分）如圖1，點A為拋物線C1：的頂點，點B的坐標為
(1，0)，直線AB交拋物線C1于另一點C．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖1，平行于y軸的直線x=3交直線AB于點D，交拋物線C1于點E，平行于y軸的直線x=a交直線AB于點F，交拋物線C1于點G，若FG:DE=4:3，求a的值；
（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m>0）個單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點為P，交x軸負半軸于點M，交射線AB于點N，NQ⊥x軸于點Q，當NP平分∠MNQ時，求m的值．
附：參考答案
一、圖形運動產(chǎn)生的面積問題
1. （1）當t=時，四邊形MNQP恰為矩形．此時，該矩形的面積為平方厘米．
（2） 當0＜t≤1時，；當1＜t≤2時，；
當2＜t＜3時，
2．（1）90°；4 （2）x=2.
3．（1）當t=時，點Q' 恰好落在AB上.
（2）當0＜t≤時，；當＜t≤6時，
（3）由（2）問可得，當0＜t≤時， ；
當＜t≤6時，；
解得，或，此時.
4．（1）1 （2）（3）當1＜t≤時，；
當＜t＜2時，.
5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）當0＜t≤時，；當＜t≤1時，；
當1＜t≤時，.
6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）當0≤t≤1時，；
當1＜t≤4時，；
當4＜t≤5時，；
當5＜t≤6時，；
當6＜t≤7時，
二、二次函數(shù)中的存在性問題
1.解：由題意，設OA=m，則OB=2m；當∠BAP=90°時，
△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；
若△BAP∽△AOB，如圖1，
可知△PMA∽△AOB，相似比為2：1；則P1（5m，2m），
代入，可知，
若△BAP∽△BOA，如圖2，
可知△PMA∽△AOB，相似比為1：2；則P2（2m，），
代入，可知，
當∠ABP=90°時，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；
若△ABP∽△AOB，如圖3，
可知△PMB∽△BOA，相似比為2：1；則P3（4m，4m），
代入，可知，
若△ABP∽△BOA，如圖4，
可知△PMB∽△BOA，相似比為1：2；則P4（m，），
代入，可知，
2.解：（1）由拋物線解析式可得B點坐標（1，3）.
要求直線BQ的函數(shù)解析式，只需求得點Q坐標即可，即求CQ長度.
過點D作DG⊥x軸于點G，過點D作DF⊥QP于點F.
則可證△DCG≌△DEF.則DG=DF，∴矩形DGQF為正方形.
則∠DQG=45°，則△BCQ為等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此時，Q點坐標為（4，0）
可得BQ解析式為y=－x+4.
（2）要求P點坐標，只需求得點Q坐標，然后根據(jù)橫坐標相同來求點P坐標即可.
而題目當中沒有說明∠DCE=30°還是∠DCE=60°，所以分兩種情況來討論.
當∠DCE=30°時，
a）過點D作DH⊥x軸于點H，過點D作DK⊥QP于點K.
則可證△DCH∽△DEK.則，
在矩形DHQK中，DK=HQ，則.
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.則在Rt△BCQ中，∴CQ=，此時，Q點坐標為（1+,0）
則P點橫坐標為1+.代入可得縱坐標.∴P（1+,）.
b）又P、Q為動點，∴可能PQ在對稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對稱軸對稱.
由對稱性可得此時點P坐標為（1－,）
當∠DCE=60°時，
過點D作DM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥QP于點N.
則可證△DCM∽△DEN.則，
在矩形DMQN中，DN=MQ，則.
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.則在Rt△BCQ中，
∴CQ=BC=，此時，Q點坐標為（1+，0）
則P點橫坐標為1+.代入可得縱坐標.∴P（1+,）.
b）又P、Q為動點，∴可能PQ在對稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對稱軸對稱.
由對稱性可得此時點P坐標為（1－,）
綜上所述，P點坐標為（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.
3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）
將A（6，0），B（0，-8）代入拋物線表達式，得，
（2）存在：
如果△AMN與△ACD相似，則或
設M（0 假設點M在x軸下方的拋物線上，如圖1所示：
當時，，
即∴∴
如圖2驗證一下
當時，，即
∴（舍）
2）如果點M在x軸上方的拋物線上：
當時，，即 ∴ ∴M
此時, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M滿足要求
當時，，即 ∴m=10（舍）
綜上M1,M2
4.解：滿足條件坐標為：
思路分析：A、M、N、P四點中點A、點P為頂點，則AP可為平行四邊形邊、對角線；
(1)如圖，當AP為平行四邊形邊時，平移AP；
∵點A、P縱坐標差為2 ∴點M、N縱坐標差為2；
∵點M的縱坐標為0 ∴點N的縱坐標為2或-2
①當點N的縱坐標為2時
解： 得
又∵點A、P橫坐標差為2 ∴點M的坐標為： 、
②當點N的縱坐標為-2時
解： 得
又∵點A、P橫坐標差為2 ∴點M的坐標為： 、
(2)當AP為平行四邊形邊對角線時； 設M5（m,0）
MN一定過AP的中點（0，-1）
則N5（-m，-2），N5在拋物線上 ∴
（負值不符合題意，舍去）
∴ ∴
綜上所述:
符合條件點P的坐標為：
5．解：分析題意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，只需MP=NQ即可。由題知：，，，
故只需表達MP、NQ即可.表達分下列四種情況：
①如圖1，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
②如圖2，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
③如圖3，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
④如圖4，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
綜上，m的值為、、、．
三、二次函數(shù)與幾何綜合
解：（1）令x=0，則y=4， ∴點C的坐標為（0，4），
∵BC∥x軸，∴點B，C關(guān)于對稱軸對稱，
又∵拋物線y=ax2-5ax+4的對稱軸是直線，即直線
∴點B的坐標為（5，4），∴AC=BC=5，
在Rt△ACO中，OA=，∴點A的坐標為A（，0），
∵拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過點A，∴9a+15a+4=0，解得， ∴拋物線的解析式是
（2）存在，M（，）
理由：∵B，C關(guān)于對稱軸對稱，∴MB=MC，∴；
∴當點M在直線AC上時，值，
設直線AC的解析式為，則，解得，∴
令，則，∴M（，）
2、解：（1）∵拋物線過點B（，0），
∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴
令y=0，則x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，
令x=0，則y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a
∵D為拋物線的頂點，∴D（1，4a）
過點D作DM⊥y軸于點M，則∠AOC=∠CMD=90°，
又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°
∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，
∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a
∴，∴，∵a>0，∴a=1
∴拋物線的解析式為：
（2）當AB為平行四邊形的邊時，則BA∥EF，并且EF= BA =4
由于對稱軸為直線x=1，∴點E的橫坐標為1,∴點F的橫坐標為5或者3
將x=5代入得y=12，∴F（5，12）．將x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．
當AB為平行四邊形的對角線時，點F即為點D， ∴F（1，4）．
綜上所述，點F的坐標為（5，12），（3，12）或（1，4）．
3、解：（1）對于，當y=0，x=2；當x=8時，y=.
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為
由拋物線經(jīng)過A、B兩點，得
解得
（2）設直線與y軸交于點M
當x=0時，y=. ∴OM=.
∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2，∴AM=
∴OM：OA：AM=3：4：5.
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.
∴DE：PE：PD=3：4：5
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，
∴PD=
∴
由題意知：
4、解：(1) ∵拋物線y1=ax22axb經(jīng)過A(1，0)，C(0，)兩點，
∴，∴，∴拋物線的解析式為y1= x2x
（2）解法一：過點M作MN⊥AB交AB于點N，連接AM
由y1= x2x可知頂點M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)
∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.
∴△AMN和△BMN為等腰直角三角形.
∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°
∴∠QPB=∠PMA
又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA
∴ 將AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，
可得，即.
∵點P為線段OB上一動點 （不與點B重合）∴0x＜3
則y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)
解法二：
過點M作MN⊥AB交AB于點N.
由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.
根據(jù)勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①，
又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22
由、得y2=x2x.
∵0x<3，∴y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)
5、解：（1）由題意，得，解得
∴拋物線的解析式為.
（2）①令，解得 ∴B（3， 0）
則直線BC的解析式為 當點P在x軸上方時，如圖1，
過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，∴設直線AP的解析式為，
∵直線AP過點A（1，0），∴直線AP的解析式為，交y軸于點.
解方程組，得 ∴點
當點P在x軸下方時，如圖1，
根據(jù)點，可知需把直線BC向下平移2個單位，此時交拋物線于點，
得直線的解析式為，
解方程組，得
∴
綜上所述，點P的坐標為：
，
②過點B作AB的垂線，交CP于點F.如圖2，∵
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°
又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB
∴BF=BA=2，則點F（3，－2）又∵CP過點F，點C ∴直線CP的解析式為.
四、中考數(shù)學壓軸題專項訓練答案
1．（1）；
（2）；
（3）t=1或2．
2．（1），；
（2）；
（3）存在，點P的坐標為．
3．（1），；
（2）；
（3）15．
4．（1）；
（2）；
（3）．
5．（1）；
（2）①，當時，；
②．
6．（1）；
（2）； （3）．
知識點睛
研究_基本_圖形
分析運動狀態(tài)：
①由起點、終點確定t的范圍；
②對t分段，根據(jù)運動趨勢畫圖，找邊與定點，通常是狀態(tài)轉(zhuǎn)折點相交時的特殊位置．
分段畫圖，選擇適當方法表達面積．
二、精講精練
已知，等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點與點重合，點N到達點時運動終止），過點M、N分別作邊的垂線，與△ABC的其他邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為秒．
（1）線段MN在運動的過程中，為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積．
（2）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求四邊形MNQP的面積S隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
1題圖 2題圖
如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，對角線AC、BD交于點H．平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發(fā)，沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G，當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動．記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的面積為，被直線RQ掃過的面積為，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒．
（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；
（2）若，求x．
如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，點P、Q同時從點C出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運動，當點Q到達點B時，點P、Q同時停止運動．過點P作AC的垂線l交AB于點R，連接PQ、RQ，并作△PQR關(guān)于直線l對稱的圖形，得到△PQ'R．設點Q的運動時間為t（s），△PQ'R與△PAR重疊部分的面積為S（cm2）．
（1）t為何值時，點Q' 恰好落在AB上？
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
（3）S能否為？若能，求出此時t的值；
若不能，請說明理由．
如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動．以AP為邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設點P的運動時間為ts，正方形APDE和梯形BCFQ重疊部分的面積為Scm2．
（1）當t=_____s時，點P與點Q重合；
（2）當t=_____s時，點D在QF上；
（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，
求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、D（-2，0），作直線AD并以線段AD為一邊向上作正方形ABCD．
（1）填空：點B的坐標為________，點C的坐標為_________．
（2）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線DA向上平移，直至正方形的頂點C落在y軸上時停止運動．在運動過程中，設正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于平移時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍．
如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l1：y=x與直線l2：y=-x+6相交于點M，直線l2與x軸相交于點N．
（1）求M，N的坐標．
（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動．設矩形ABCD與△OMN重疊部分的面積為S，移動的時間為t（從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時結(jié)束）．求S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍．
二、二次函數(shù)中的存在性問題
一、知識點睛
解決“二次函數(shù)中存在性問題”的基本步驟：
①畫圖分析．研究確定圖形，先畫圖解決其中一種情形．
②分類討論.先驗證①的結(jié)果是否合理，再找其他分類，類比第一種情形求解．
③驗證取舍.結(jié)合點的運動范圍，畫圖或推理，對結(jié)果取舍．
二、精講精練
如圖，已知點P是二次函數(shù)y=-x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點. 若以AB為直角邊的△PAB與△OAB相似，請求出所有符合條件的點P的坐標．
拋物線與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．點P在拋物線上，直線PQ//BC交x軸于點Q，連接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上（點D不與點Q重合），另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．
如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負半軸上，且OD＝10，
OB＝8．將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C恰好與x軸上的點A重合．
（1）若拋物線經(jīng)過A、B兩點，求該拋物線的解析式：______________；
（2）若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，
作MN⊥x軸于點N．是否存在點M，使△AMN
與△ACD相似？若存在，求出點M的坐標；
若不存在，說明理由．
已知拋物線經(jīng)過A、B、C三點，點P（1，k）在直線BC：y=x3上，若點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
拋物線與y軸交于點C，與直線y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)兩點．如圖，線段MN在直線AB上移動，且，若點M的橫坐標為m，過點M作x軸的垂線與x軸交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q．以P、M、Q、N為頂點的四邊形否為平行四邊形？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．
三、二次函數(shù)與幾何綜合
一、知識點睛
“二次函數(shù)與幾何綜合”思考流程：
整合信息時，下面兩點可為我們提供便利：
①研究函數(shù)表達式．二次函數(shù)關(guān)注四點一線，一次函數(shù)關(guān)注k、b；
②)關(guān)鍵點坐標轉(zhuǎn)線段長．找特殊圖形、特殊位置關(guān)系，尋求邊和角度信息．
二、精講精練
如圖，拋物線y=ax2-5ax+4（a＜0）經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使|MA-MB|？
若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
如圖，已知拋物線y=ax2-2ax-b（a>0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的右側(cè)，且點B的坐標為(-1，0)，與y軸的負半軸交于點C，頂點為D．連接AC、CD，∠ACD=90°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，
且以B、A、F、E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標．
如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．設△PDE的周長為l，
點P的橫坐標為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的值．
已知，拋物線經(jīng)過A(-1，0)，C(2，)兩點，
與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點 （不與點B重合），點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式，
并直接寫出自變量x的取值范圍．
已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A(1，0)，C(0，-3).
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A），
①如圖1，當△PBC的面積與△ABC的面積相等時，求點P的坐標；
②如圖2，當∠PCB =∠BCA時，求直線CP的解析式．
四、中考數(shù)學壓軸題專項訓練
1.如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A(1，1)，B(3，1)．動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過點P作PQ⊥OA，垂足為Q．設點P移動的時間為t秒（0
（1）求經(jīng)過O，A，B三點的拋物線解析式．
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
2.如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標．
（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標．
（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q．若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應點為Q′，是否存在點P，使點Q′恰好在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3.（11分）如圖，已知直線與坐標軸交于A，B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線的另一個交點為E．
（1）請直接寫出C，D兩點的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止，設正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上C，E兩點間的拋物線弧所掃過的面積．
4.（11分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A(-3，0)，點B(1，0)，交y軸于點E(0，-3)．點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y=-x+m過點C，交y軸于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線，交直
線CD于點H，交拋物線于點G，求線段HG長度的值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以A，C，M，
N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．
5.（11分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與
拋物線交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A，B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的值．
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點P的運動，
正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，
直接寫出對應的點P的坐標．
6.（11分）如圖1，點A為拋物線C1：的頂點，點B的坐標為
(1，0)，直線AB交拋物線C1于另一點C．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖1，平行于y軸的直線x=3交直線AB于點D，交拋物線C1于點E，平行于y軸的直線x=a交直線AB于點F，交拋物線C1于點G，若FG:DE=4:3，求a的值；
（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m>0）個單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點為P，交x軸負半軸于點M，交射線AB于點N，NQ⊥x軸于點Q，當NP平分∠MNQ時，求m的值．
附：參考答案
一、圖形運動產(chǎn)生的面積問題
1. （1）當t=時，四邊形MNQP恰為矩形．此時，該矩形的面積為平方厘米．
（2） 當0＜t≤1時，；當1＜t≤2時，；
當2＜t＜3時，
2．（1）90°；4 （2）x=2.
3．（1）當t=時，點Q' 恰好落在AB上.
（2）當0＜t≤時，；當＜t≤6時，
（3）由（2）問可得，當0＜t≤時， ；
當＜t≤6時，；
解得，或，此時.
4．（1）1 （2）（3）當1＜t≤時，；
當＜t＜2時，.
5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）當0＜t≤時，；當＜t≤1時，；
當1＜t≤時，.
6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）當0≤t≤1時，；
當1＜t≤4時，；
當4＜t≤5時，；
當5＜t≤6時，；
當6＜t≤7時，
二、二次函數(shù)中的存在性問題
1.解：由題意，設OA=m，則OB=2m；當∠BAP=90°時，
△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；
若△BAP∽△AOB，如圖1，
可知△PMA∽△AOB，相似比為2：1；則P1（5m，2m），
代入，可知，
若△BAP∽△BOA，如圖2，
可知△PMA∽△AOB，相似比為1：2；則P2（2m，），
代入，可知，
當∠ABP=90°時，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；
若△ABP∽△AOB，如圖3，
可知△PMB∽△BOA，相似比為2：1；則P3（4m，4m），
代入，可知，
若△ABP∽△BOA，如圖4，
可知△PMB∽△BOA，相似比為1：2；則P4（m，），
代入，可知，
2.解：（1）由拋物線解析式可得B點坐標（1，3）.
要求直線BQ的函數(shù)解析式，只需求得點Q坐標即可，即求CQ長度.
過點D作DG⊥x軸于點G，過點D作DF⊥QP于點F.
則可證△DCG≌△DEF.則DG=DF，∴矩形DGQF為正方形.
則∠DQG=45°，則△BCQ為等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此時，Q點坐標為（4，0）
可得BQ解析式為y=－x+4.
（2）要求P點坐標，只需求得點Q坐標，然后根據(jù)橫坐標相同來求點P坐標即可.
而題目當中沒有說明∠DCE=30°還是∠DCE=60°，所以分兩種情況來討論.
當∠DCE=30°時，
a）過點D作DH⊥x軸于點H，過點D作DK⊥QP于點K.
則可證△DCH∽△DEK.則，
在矩形DHQK中，DK=HQ，則.
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.則在Rt△BCQ中，∴CQ=，此時，Q點坐標為（1+,0）
則P點橫坐標為1+.代入可得縱坐標.∴P（1+,）.
b）又P、Q為動點，∴可能PQ在對稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對稱軸對稱.
由對稱性可得此時點P坐標為（1－,）
當∠DCE=60°時，
過點D作DM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥QP于點N.
則可證△DCM∽△DEN.則，
在矩形DMQN中，DN=MQ，則.
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.則在Rt△BCQ中，
∴CQ=BC=，此時，Q點坐標為（1+，0）
則P點橫坐標為1+.代入可得縱坐標.∴P（1+,）.
b）又P、Q為動點，∴可能PQ在對稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對稱軸對稱.
由對稱性可得此時點P坐標為（1－,）
綜上所述，P點坐標為（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.
3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）
將A（6，0），B（0，-8）代入拋物線表達式，得，
（2）存在：
如果△AMN與△ACD相似，則或
設M（0
當時，，
即∴∴
如圖2驗證一下
當時，，即
∴（舍）
2）如果點M在x軸上方的拋物線上：
當時，，即 ∴ ∴M
此時, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M滿足要求
當時，，即 ∴m=10（舍）
綜上M1,M2
4.解：滿足條件坐標為：
思路分析：A、M、N、P四點中點A、點P為頂點，則AP可為平行四邊形邊、對角線；
(1)如圖，當AP為平行四邊形邊時，平移AP；
∵點A、P縱坐標差為2 ∴點M、N縱坐標差為2；
∵點M的縱坐標為0 ∴點N的縱坐標為2或-2
①當點N的縱坐標為2時
解： 得
又∵點A、P橫坐標差為2 ∴點M的坐標為： 、
②當點N的縱坐標為-2時
解： 得
又∵點A、P橫坐標差為2 ∴點M的坐標為： 、
(2)當AP為平行四邊形邊對角線時； 設M5（m,0）
MN一定過AP的中點（0，-1）
則N5（-m，-2），N5在拋物線上 ∴
（負值不符合題意，舍去）
∴ ∴
綜上所述:
符合條件點P的坐標為：
5．解：分析題意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，只需MP=NQ即可。由題知：，，，
故只需表達MP、NQ即可.表達分下列四種情況：
①如圖1，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
②如圖2，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
③如圖3，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
④如圖4，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
綜上，m的值為、、、．
三、二次函數(shù)與幾何綜合
解：（1）令x=0，則y=4， ∴點C的坐標為（0，4），
∵BC∥x軸，∴點B，C關(guān)于對稱軸對稱，
又∵拋物線y=ax2-5ax+4的對稱軸是直線，即直線
∴點B的坐標為（5，4），∴AC=BC=5，
在Rt△ACO中，OA=，∴點A的坐標為A（，0），
∵拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過點A，∴9a+15a+4=0，解得， ∴拋物線的解析式是
（2）存在，M（，）
理由：∵B，C關(guān)于對稱軸對稱，∴MB=MC，∴；
∴當點M在直線AC上時，值，
設直線AC的解析式為，則，解得，∴
令，則，∴M（，）
2、解：（1）∵拋物線過點B（，0），
∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴
令y=0，則x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，
令x=0，則y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a
∵D為拋物線的頂點，∴D（1，4a）
過點D作DM⊥y軸于點M，則∠AOC=∠CMD=90°，
又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°
∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，
∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a
∴，∴，∵a>0，∴a=1
∴拋物線的解析式為：
（2）當AB為平行四邊形的邊時，則BA∥EF，并且EF= BA =4
由于對稱軸為直線x=1，∴點E的橫坐標為1,∴點F的橫坐標為5或者3
將x=5代入得y=12，∴F（5，12）．將x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．
當AB為平行四邊形的對角線時，點F即為點D， ∴F（1，4）．
綜上所述，點F的坐標為（5，12），（3，12）或（1，4）．
3、解：（1）對于，當y=0，x=2；當x=8時，y=.
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為
由拋物線經(jīng)過A、B兩點，得
解得
（2）設直線與y軸交于點M
當x=0時，y=. ∴OM=.
∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2，∴AM=
∴OM：OA：AM=3：4：5.
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.
∴DE：PE：PD=3：4：5
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，
∴PD=
∴
由題意知：
4、解：(1) ∵拋物線y1=ax22axb經(jīng)過A(1，0)，C(0，)兩點，
∴，∴，∴拋物線的解析式為y1= x2x
（2）解法一：過點M作MN⊥AB交AB于點N，連接AM
由y1= x2x可知頂點M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)
∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.
∴△AMN和△BMN為等腰直角三角形.
∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°
∴∠QPB=∠PMA
又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA
∴ 將AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，
可得，即.
∵點P為線段OB上一動點 （不與點B重合）∴0x＜3
則y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)
解法二：
過點M作MN⊥AB交AB于點N.
由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.
根據(jù)勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①，
又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22
由、得y2=x2x.
∵0x<3，∴y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)
5、解：（1）由題意，得，解得
∴拋物線的解析式為.
（2）①令，解得 ∴B（3， 0）
則直線BC的解析式為 當點P在x軸上方時，如圖1，
過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，∴設直線AP的解析式為，
∵直線AP過點A（1，0），∴直線AP的解析式為，交y軸于點.
解方程組，得 ∴點
當點P在x軸下方時，如圖1，
根據(jù)點，可知需把直線BC向下平移2個單位，此時交拋物線于點，
得直線的解析式為，
解方程組，得
∴
綜上所述，點P的坐標為：
，
②過點B作AB的垂線，交CP于點F.如圖2，∵
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°
又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB
∴BF=BA=2，則點F（3，－2）又∵CP過點F，點C ∴直線CP的解析式為.
四、中考數(shù)學壓軸題專項訓練答案
1．（1）；
（2）；
（3）t=1或2．
2．（1），；
（2）；
（3）存在，點P的坐標為．
3．（1），；
（2）；
（3）15．
4．（1）；
（2）；
（3）．
5．（1）；
（2）①，當時，；
②．
6．（1）；
（2）； （3）．