江西三校2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題及答案
江西省三校（吉水中學(xué)、崇仁一中、南城一中）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，則滿足A∪B＝{0，1，2}的集合B的個數(shù)為（）
A．3B．4C．7D．82.已知復(fù)數(shù)
，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出的n值為（）
A．4B．5C．6D．7
4.已知正項等差數(shù)列
滿足
，則
的最小值為（）A.1B.2C.2013D.2014
5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點（如圖2），用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）
A. B. C. D.
6.若關(guān)于x的不等式
的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是()A．
B．(-1,0)C．(0,1) D．(1,2)7.設(shè)
則二項式
的展開式的常數(shù)項是（）A．12 B．6 C．4 D．1
8．設(shè)
是
的一個排列，把排在
的左邊且比
小的數(shù)的個數(shù)為
（
=1，2，…，n）的順序數(shù)，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)為1,3的順序數(shù)為0，則在1至8這8個數(shù)的排列中，8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為（）A．48B．120C．144D．192
9.已知函數(shù)
的圖象過點
，若有4個不同的正數(shù)
滿足
，且
，則
等于（）A．12B．20 C．12或20 D．無法確定
10．已知
、
、
均為單位向量，且滿足
·
=0，則（
+
+
）·（
+
）的值是（）A．2+2
B．3+
C．2+
D．1+2
11.如圖，已知雙曲線
的左右焦點分別為F1、F2，|F1F2|=2，P是雙曲線右支上的一點，PF1⊥PF2，F(xiàn)2P與y軸交于點A，△APF1的內(nèi)切圓半徑為
，則雙曲線的離心率是（）A．
B．
C．
D．
12.已知函數(shù)
定義域為
，且函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對稱，當(dāng)
時，
，（其中
是
的導(dǎo)函數(shù)），若
，則
的大小關(guān)系是（）A.
B.
C.
D.
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13．實數(shù)x，y滿足
如果目標(biāo)函數(shù)z=x—y的最小值為-2，則實數(shù)m的值為。14.已知
，
，若同時滿足條件①
，
或
；②
,
.則m的取值范圍是______________.
15.
_____________________.16.已知定義域為
的函數(shù)
滿足：（1）對任意，恒有
成立；（2）當(dāng)
時，
.給出如下結(jié)論：①對任意
，有
；②函數(shù)
的值域為
；③存在
，使得
；④“函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在
，使得
”.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上)
17.(本小題滿分12分)已知集合
⑴
能否相等？若能，求出實數(shù)
的值，若不能，試說明理由？⑵若命題
命題且
是
的充分不必要條件，求實數(shù)
的取值范圍.18.(本小題滿分12分)高考數(shù)學(xué)考試中共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且僅有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“在每小題給出的上個選項中，只有一項是符合題目要求的，答對得5分，不答或答錯得0分”。某考生每道選擇都選出一個答案，能確定其中有8道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個選項錯誤的，有一道題可能判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜。試求出該考生的選擇題：
⑴得60分的概率；
⑵得多少分的概率？
19.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形．已知
．⑴求異面直線
與
所成的角的余弦值；⑵求二面角
的正切值．
20.(本小題滿分12分)已知半橢圓
與半橢圓
組成的曲線稱為“果圓”，其中
。如圖，設(shè)點
，
，
是相應(yīng)橢圓的焦點，
，
和
，
是“果圓”與
，
軸的交點，⑴若三角形
是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；⑵若
，求
的取值范圍；⑶一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數(shù)
，使得斜率為
的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有
的值；若不存在，說明理由。21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)
.⑴求函數(shù)
的最小值；⑵若
≥0對任意的
恒成立，求實數(shù)
的值；⑶在（2）的條件下，證明：
請考生在（22）.（23）.（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右側(cè)的方框涂黑．22．(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講
如圖，直線
為圓
的切線，切點為
，直徑
，連接
交
于點
.⑴證明：
；⑵求證：
．23．(本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
,過點
(-2，-4)的直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），直線
與曲線
相交于
兩點．⑴寫出曲線
的直角坐標(biāo)方程和直線
的普通方程；⑵若
，求的值．24．(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)
.
⑴求使不等式
成立的
的取值范圍；⑵
，
，求實數(shù)
的取值范圍．江西三校2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題答案
一、選擇題：共12小題，每小題5分，滿分60分．
題號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
D |
A |
D |
B |
C |
B |
B |
C |
C |
C |
B |
B |
二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．
13.814．(-4,-2)15．
16．①②④三、解答題：共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17.解析：(1)當(dāng)
時
當(dāng)
時
顯然
故
時，
…………6分（2）
當(dāng)
時，
則
解得
當(dāng)
時，
則
綜上
是
的充分不必要條件，實數(shù)
的取值范圍是
或
…………12分18．解析：（1）要得60分，必須12道選擇題全答對
依題意，易知在其余的四道題中，有兩道題答對的概率各為
，有一道題答對的概率為
，還有一道題答對的概率為
，所以他做選擇題得60分的概率為：
…………5分（2）依題意，該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五種
得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯，于是其概率為：
類似的，可知得分為45分的概率：
得分為50的概率：
得分為55的概率：
得分為60的概率：
該生選擇題得分為45分或50分的可能性。-------------------12分19．解析：（Ⅰ）在
中，由題設(shè)
可得
于是
.在矩形
中，
.又
，所以
平面
．由題設(shè)，
，所以
（或其補角）是異面直線
與
所成的角.
在
中，由余弦定理得
由
平面
，
平面
，所以
，因而
，于是
是直角三角形，故
．所以異面直線
與
所成的角的余弦值為
．…………6分（Ⅱ）過點P做
于H，過點H做
于E，連結(jié)PE因為
平面
，
平面
，所以
.又
，因而
平面
，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，
，從而
是二面角
的平面角。由題設(shè)可得，
于是再
中，
所以二面角
的正切值為
．…………12分（用空間向量坐標(biāo)法或其它方法，可以相應(yīng)給分）
20．解析：⑴
，
，于是
，所求“果圓”方程為
，
…………4分⑵由題意，得
，即
．
，
，得
．又
．
．…………7分⑶設(shè)“果圓”
的方程為
，
．記平行弦的斜率為
．當(dāng)
時，直線
與半橢圓
的交點是
，與半橢圓
的交點是
．
的中點
滿足
得
．
，
．綜上所述，當(dāng)
時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．當(dāng)
時，以
為斜率過
的直線
與半橢圓
的交點是
．由此，在直線
右側(cè)，以
為斜率的平行弦的中點軌跡在直線
上，即不在某一橢圓上．當(dāng)
時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．…………12分21．解析：（1）由題意
，由
得
.當(dāng)
時,
；當(dāng)
時，
.∴
在
單調(diào)遞減，在
單調(diào)遞增.即
在
處取得極小值，且為最小值，其最小值為
………………4分（2）
對任意的
恒成立，即在
上，
.由（1），設(shè)
，所以
.由
得
.易知
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間
上單調(diào)遞減，∴
在
處取得值，而
.因此
的解為
，∴
. ………………8分（3）由（2）知，對任意實數(shù)
均有
，即
.令
，則
.∴
.∴
.……………………12分22．證明：(1)∵直線PA為圓O的切線,切點為A
∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2分∵BC為圓O的直徑，∴∠BAC=90°
∴∠ACB=90°-B
∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4分
又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B
∴PA=PD…………………………………………………5分
(2)連接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO
∵∠OAC=∠ACO
∴ΔPAD∽ΔOCA………………………………………8分
∴OC=AC∴PA×AC=AD×OC………………………………………10分
23.解析：(1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2ax(a>0)………………………2分
直線l的普通方程為y=x-2…………………………………4分
(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y2=2ax中，
得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2
則有t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)……………………………6分
∵|PA|×|PB|=|AB|2
∴t1t2=(t1-t2)2,即(t1+t2)2=5t1t2………………………………8分
∴2=40(4+a)a2+3a-4=0
解之得：a=1或a=-4(舍去)
∴a的值為1…………………………………………………10分
24.解析：(1)由絕對值的幾何意義可知x的取值范圍為（-2，4）………5分
（Ⅱ）
x0ÎR,f(x0)f(x)min……………………………………7分由絕對值的幾何意義知：|x－3|＋|x＋1|可看成數(shù)軸上到3和-1對應(yīng)點的距離和.
∴f(x)min=4…………………………………………………9分
∴a>4
所求a的取值范圍為(4,+∞)…………………………………………10分