一、選擇題
1.已知等比數(shù)列{an}，且a4+a8=
dx，則a6(a2+2a6+a10)的值為( )
A.π2 B.4
C.π D.-9π
答案：A 命題立意：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及定積分的運算，正確地利用定積分的幾何意義求解積分值是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.
解題思路：由于dx表示圓x2+y2=4在第一象限內(nèi)部分的面積，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故選A.
2.(東北三校二次聯(lián)考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21=S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·=( )
A.2 011 B.-2 011
C.0 D.1
答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列前n項和公式與性質(zhì)及平面向量的坐標運算，難度中等.
解題思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，
因此·=2 011+ana2 011=2 011，故選A.
3.以雙曲線-=1的離心率為首項，以函數(shù)f(x)=4x-2的零點為公比的等比數(shù)列的前n項的和Sn=( )
A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)
C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)
答案：B 命題立意：本題考查雙曲線的離心率及函數(shù)的零點與等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，難度較小.
解題思路：由雙曲線方程易得e==，函數(shù)零點為，故由公式可得Sn==3=3-，故選B.
4.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=15，S5=55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為( )
A.4 B.1
C.-4 D.-14
答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和及直線斜率的坐標計算形式，難度較小.
解題思路：由題S5==55，故a1+a5=22，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因為a4=15，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為kPQ===4，故選A.
5.在等比數(shù)列{an}中，對于n∈N*都有an+1·a2n=3n，則a1·a2·…·a6=( )
A.±()11 B.()13
C.±35 D.36
答案：D 命題立意：本題考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的性質(zhì)及整體代換思想，考查考生的運算能力，難度中等.
解題思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故選D.
6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，則下列結(jié)論正確的是( )
A.d<0，S2 013=2 013 B.d>0，S2 013=2 013
C.d<0，S2 013=-2 013 D.d>0，S2 013=-2 013
答案：C 命題立意：本題考查函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性與奇偶性、等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和公式，難度中等.
解題思路：記f(x)=x3+2 013x，則函數(shù)f(x)是在R上的奇函數(shù)與增函數(shù);依題意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=<0;a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故選C.
二、填空題
7.在等差數(shù)列{an}中，a2=5，a1+a4=12，則an=________;設(shè)bn=(nN*)，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn=________.
答案：2n+1 命題立意：本題考查等差數(shù)列的通項公式與裂項相消法，難度中等.
解題思路：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此數(shù)列{bn}的前n項和Sn=×
==.
8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”，若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d=________.
答案：4 解題思路：由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn=，前2n項和為S2n=，所以==2+=2+，所以當d=4時，=4.
9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且滿足f=f(x)，f(-2)=-3，數(shù)列{an}滿足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn為{an}的前n項和)，則f(a5)+f(a6)=______.
答案：3 解題思路：因為Sn=2an+n，則Sn-1=2an-1+n-1，
兩式相減得an=2an-1-1，通過拼湊整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比數(shù)列，則an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.
由f=f(x)且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期為3，
則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.
10.已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成遞減的等差數(shù)列.若A=2C，則的值為________.
答案： 命題立意：本題主要考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)基本公式.解題思路是依據(jù)題意得出a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理、余弦定理及A=2C，從而得出a，c之間的關(guān)系.
解題思路：依題意知b=，===2cos C=2×，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由a>c，因此有2a=3c，故=.
三、解答題
11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.
(1)設(shè)bn=log2(an-1)，求證：數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)cn=nbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式等知識.解題時，首先根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性求出b值，確定數(shù)列通項的遞推關(guān)系式，然后由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列，這樣就求出數(shù)列{bn}的通項公式，進一步就會求出數(shù)列{cn}的通項公式，從而確定數(shù)列{cn}的前n項和Sn的計算方法.
解析：(1)證明： 函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，
b=0， f(x)=x2，
an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，
an+1-1=2(an-1)2.
又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，
b1=log2(a1-1)=1，
====2，
數(shù)列{bn+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，
cn=nbn=n2n-n.
設(shè)An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
則2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，
An=(n-1)2n+1+2.
設(shè)Bn=1+2+3+4+…+n，則Bn=，
Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.
12.函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f的值;
(2)數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;
(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，試比較Tn與Sn的大小.
解析：(1)令x=，
則有f+f=f+f=1.
f=.
(2)令x=，得f+f=1，
即f+f=1.
an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，
an=f(1)+f+f+…+f+f(0).
兩式相加，得
2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，
an=，nN*.
(3)bn==，
當n=1時，Tn=Sn;
當n≥2時，
Tn=b+b+…+b
=4
<4
=4
=4=8-=Sn.
綜上，Tn≤Sn.
13.某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲得a元的前提下，可賣出b千克.若做廣告宣傳，廣告費為n(nN*)千元時比廣告費為(n-1)千元時多賣出千克.
(1)當廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量s;
(2)試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當a=50，b=200時，要使廠家獲利，銷售量s和廣告費n分別應(yīng)為多少?
解析：(1)當廣告費為1千元時，銷售量s=b+=.
當廣告費為2千元時，銷售量s=b++=.
(2)設(shè)Sn(nN)表示廣告費為n千元時的銷售量，
由題意得，s1-s0=，
s2-s1=，
……
sn-sn-1=.
以上n個等式相加得，
sn-s0=+++…+.
即s=sn=b++++…+.
==b.
(3)當a=50，b=200時，設(shè)獲利為Tn，
則有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×，
設(shè)bn=20--n，
則bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.
當n≤2時，bn+1-bn>0;
當n≥3時，bn+1-bn<0.
所以當n=3時，bn取得值，即Tn取得值，此時s=375，即該廠家獲利時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元.
1.已知等比數(shù)列{an}，且a4+a8=
dx，則a6(a2+2a6+a10)的值為( )
A.π2 B.4
C.π D.-9π
答案：A 命題立意：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及定積分的運算，正確地利用定積分的幾何意義求解積分值是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.
解題思路：由于dx表示圓x2+y2=4在第一象限內(nèi)部分的面積，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故選A.
2.(東北三校二次聯(lián)考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21=S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·=( )
A.2 011 B.-2 011
C.0 D.1
答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列前n項和公式與性質(zhì)及平面向量的坐標運算，難度中等.
解題思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，
因此·=2 011+ana2 011=2 011，故選A.
3.以雙曲線-=1的離心率為首項，以函數(shù)f(x)=4x-2的零點為公比的等比數(shù)列的前n項的和Sn=( )
A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)
C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)
答案：B 命題立意：本題考查雙曲線的離心率及函數(shù)的零點與等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，難度較小.
解題思路：由雙曲線方程易得e==，函數(shù)零點為，故由公式可得Sn==3=3-，故選B.
4.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=15，S5=55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為( )
A.4 B.1
C.-4 D.-14
答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和及直線斜率的坐標計算形式，難度較小.
解題思路：由題S5==55，故a1+a5=22，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因為a4=15，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為kPQ===4，故選A.
5.在等比數(shù)列{an}中，對于n∈N*都有an+1·a2n=3n，則a1·a2·…·a6=( )
A.±()11 B.()13
C.±35 D.36
答案：D 命題立意：本題考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的性質(zhì)及整體代換思想，考查考生的運算能力，難度中等.
解題思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故選D.
6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，則下列結(jié)論正確的是( )
A.d<0，S2 013=2 013 B.d>0，S2 013=2 013
C.d<0，S2 013=-2 013 D.d>0，S2 013=-2 013
答案：C 命題立意：本題考查函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性與奇偶性、等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和公式，難度中等.
解題思路：記f(x)=x3+2 013x，則函數(shù)f(x)是在R上的奇函數(shù)與增函數(shù);依題意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=<0;a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故選C.
二、填空題
7.在等差數(shù)列{an}中，a2=5，a1+a4=12，則an=________;設(shè)bn=(nN*)，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn=________.
答案：2n+1 命題立意：本題考查等差數(shù)列的通項公式與裂項相消法，難度中等.
解題思路：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此數(shù)列{bn}的前n項和Sn=×
==.
8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”，若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d=________.
答案：4 解題思路：由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn=，前2n項和為S2n=，所以==2+=2+，所以當d=4時，=4.
9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且滿足f=f(x)，f(-2)=-3，數(shù)列{an}滿足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn為{an}的前n項和)，則f(a5)+f(a6)=______.
答案：3 解題思路：因為Sn=2an+n，則Sn-1=2an-1+n-1，
兩式相減得an=2an-1-1，通過拼湊整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比數(shù)列，則an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.
由f=f(x)且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期為3，
則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.
10.已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成遞減的等差數(shù)列.若A=2C，則的值為________.
答案： 命題立意：本題主要考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)基本公式.解題思路是依據(jù)題意得出a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理、余弦定理及A=2C，從而得出a，c之間的關(guān)系.
解題思路：依題意知b=，===2cos C=2×，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由a>c，因此有2a=3c，故=.
三、解答題
11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.
(1)設(shè)bn=log2(an-1)，求證：數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)cn=nbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式等知識.解題時，首先根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性求出b值，確定數(shù)列通項的遞推關(guān)系式，然后由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列，這樣就求出數(shù)列{bn}的通項公式，進一步就會求出數(shù)列{cn}的通項公式，從而確定數(shù)列{cn}的前n項和Sn的計算方法.
解析：(1)證明： 函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，
b=0， f(x)=x2，
an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，
an+1-1=2(an-1)2.
又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，
b1=log2(a1-1)=1，
====2，
數(shù)列{bn+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，
cn=nbn=n2n-n.
設(shè)An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
則2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，
An=(n-1)2n+1+2.
設(shè)Bn=1+2+3+4+…+n，則Bn=，
Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.
12.函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f的值;
(2)數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;
(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，試比較Tn與Sn的大小.
解析：(1)令x=，
則有f+f=f+f=1.
f=.
(2)令x=，得f+f=1，
即f+f=1.
an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，
an=f(1)+f+f+…+f+f(0).
兩式相加，得
2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，
an=，nN*.
(3)bn==，
當n=1時，Tn=Sn;
當n≥2時，
Tn=b+b+…+b
=4
<4
=4
=4=8-=Sn.
綜上，Tn≤Sn.
13.某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲得a元的前提下，可賣出b千克.若做廣告宣傳，廣告費為n(nN*)千元時比廣告費為(n-1)千元時多賣出千克.
(1)當廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量s;
(2)試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當a=50，b=200時，要使廠家獲利，銷售量s和廣告費n分別應(yīng)為多少?
解析：(1)當廣告費為1千元時，銷售量s=b+=.
當廣告費為2千元時，銷售量s=b++=.
(2)設(shè)Sn(nN)表示廣告費為n千元時的銷售量，
由題意得，s1-s0=，
s2-s1=，
……
sn-sn-1=.
以上n個等式相加得，
sn-s0=+++…+.
即s=sn=b++++…+.
==b.
(3)當a=50，b=200時，設(shè)獲利為Tn，
則有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×，
設(shè)bn=20--n，
則bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.
當n≤2時，bn+1-bn>0;
當n≥3時，bn+1-bn<0.
所以當n=3時，bn取得值，即Tn取得值，此時s=375，即該廠家獲利時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元.