2016年陜西高考數(shù)學專練練習:導數(shù)的簡單應用
一、選擇題
1.下列各坐標系中是一個函數(shù)與其導函數(shù)的圖象，其中一定錯誤的是( )
答案：C 命題立意：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應用，難度中等.
解題思路：依次判斷各個選項，易知選項C中兩圖象在第一象限部分，不論哪一個作為導函數(shù)的圖象，其值均為正值，故相應函數(shù)應為增函數(shù)，但相反另一函數(shù)圖象不符合單調(diào)性，即C選項一定不正確.
2.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)=2xf′(e)+ln x，則f′(e)=( )
A.1 B.-1 C.-e-1 D.-e
答案：C 命題立意：本題考查函數(shù)的導數(shù)的求法與賦值法，難度中等.
解題思路：依題意得，f′(x)=2f′(e)+，取x=e得f′(e)=2f′(e)+，由此解得f′(e)=-=-e-1，故選C.
3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是( )
A B C D
答案：A 命題立意：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，難度較小.
解題思路：函數(shù)f(x)的圖象自左向右看，在y軸左側(cè)，依次是增、減、增;在(0，+∞)上是減函數(shù).因此，f′(x)的值在y軸左側(cè)，依次是正、負、正，在(0，+∞)上的取值恒非正，故選A.
4.已知f′(x)是定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)，且f(x)=f(5-x)，f′(x)<0.若x1
A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0
答案：B 命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，意在考查考生的邏輯思維能力.
解題思路：依題意得，當x<時，f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在上是減函數(shù).當x1f(x2);若x2≥，則由x1+x2<5得x1<5-x2≤，此時有f(x1)>f(5-x2)=f(x2).綜上所述，f(x1)>f(x2)，故選B.
5.已知f(x)=x2+2xf′(1)，則f′(0)等于( )
A.0 B.-4 C.-2 D.2
答案：B 解題思路：本題考查導數(shù)知識的運用.由題意f′(x)=2x+2f′(1)， f′(1)=2+2f′(1)，即f′(1)=-2，
f′(x)=2x-4， f′(0)=-4.
技巧點撥：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)求出f′(1)的值.
6.已知函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)=4x3-4x，且f(x)的圖象過點(0，-5)，當函數(shù)f(x)取得極大值-5時，x的值應為( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
答案：B 解題思路：可以求出f(x)=x4-2x2+c，其中c為常數(shù).由于f(x)過(0，-5)，所以c=-5，又由f′(x)=0，得極值點為x=0和x=±1.又x=0時，f(x)=-5，故x的值為0.
7.已知函數(shù)f(x)=x3-2ax2-3x(aR)，若函數(shù)f(x)的圖象上點P(1，m)處的切線方程為3x-y+b=0，則m的值為( )
A.- B.- C. D.
答案：A 命題立意：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及切線方程的求法.求解時，先對函數(shù)f(x)求導，令x=1求出點P(1，m)處切線的斜率，進而求出a的值，再根據(jù)點P在函數(shù)f(x)的圖象上即可求出m的值.
解題思路： f(x)=x3-2ax2-3x， f′(x)=2x2-4ax-3， 過點P(1，m)的切線斜率為k=f′(1)=-1-4a.又點P(1，m)處的切線方程為3x-y+b=0，
-1-4a=3， a=-1， f(x)=x3+2x2-3x.
又點P在函數(shù)f(x)的圖象上， m=-.
8.已知函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當x>0，f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)).設(shè)a=(log4)f(log4)，b=f()，c=·f，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.a>c>b
答案：C 思路點撥：令函數(shù)F(x)=xf(x)，則函數(shù)F(x)=xf(x)為偶函數(shù).當x>0時，F(xiàn)′(x)=f(x)+xf′(x)>0，此時函數(shù)F(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則a=F(log4)=F(-log24)=F(-2)=F(2)，b=F()，c=F=F(-lg 5)=F(lg 5)，因為0b>c，故選C.
9.在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數(shù)f(x)=ex(x>0)的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N.設(shè)線段MN的中點的縱坐標為t，則t的大值是( )
A. B.
C.e+ D.e-
答案：A
解題思路：二、填空題
10.已知函數(shù)f(x)=ex-ae-x，若f′(x)≥2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案：[3，+∞) 命題立意：本題考查導數(shù)的運算及不等式恒成立一類問題的解答方法，正確地分離變量是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.
解題思路：據(jù)題意有f′(x)=ex+ae-x≥2，分離變量得a≥(2-ex)ex=-(ex-)2+3，由于(2-ex)ex=-(ex-)2+3≤3，故若使不等式恒成立，只需a≥3即可.
11.已知aR，函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線y=f(x)在原點處的切線方程為________.
答案：3x+y=0 命題立意：本題主要考查導數(shù)的求法、奇偶性的定義、導數(shù)的幾何意義與直線的方程等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的基本運算能力.
解題思路：依題意得，f′(x)=3x2+2ax+(a-3)是偶函數(shù)，則2a=0，即a=0，f′(x)=3x2-3，f′(0)=-3，因此曲線y=f(x)在原點處的切線方程是y=-3x，即3x+y=0.
12.已知函數(shù)f(x)=axsin x-(aR)，若對x，f(x)的大值為，則
(1)a的值為________;
(2)函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點個數(shù)為________.
答案：(1)1 (2)2 命題立意：本題考查導數(shù)的應用以及函數(shù)零點，難度中等.
解題思路：利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，再利用數(shù)形結(jié)合求零點個數(shù).因為f′(x)=a(sin x+xcos x)，當a≤0時，f(x)在x上單調(diào)遞減，大值f(0)=-，不適合題意，所以a>0，此時f(x)在x上單調(diào)遞增，大值f=a-=，解得a=1，符合題意，故a=1.f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零點個數(shù)即為函數(shù)y=sin x，y=的圖象在x(0，π)上的交點個數(shù)，又x=時，sin =1>>0，所以兩圖象在x(0，π)內(nèi)有2個交點，即f(x)=xsin x-在x(0，π)上的零點個數(shù)是2.
13.已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(，an+1)(nN*)在函數(shù)y=x3+x的導函數(shù)的圖象上.數(shù)列{bn}滿足bn=(nN*).則數(shù)列{bn}的前n項和Sn為________.
答案： 命題立意：本題主要考查多項式函數(shù)的求導方法，等差數(shù)列的概念、通項公式以及數(shù)列求和方法等基礎(chǔ)知識，考查學生的運算能力和綜合運用知識分析、解決問題的能力.
解題思路：由已知得an+1=an+1， 數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， an=n，bn===-(nN*)，Sn=1-+-+…+-=1-=(nN*).
B組
一、選擇題
1.已知曲線f(x)=ln x在點(x0，f(x0))處的切線經(jīng)過點(0，-1)，則x0的值為( )
A. B.1 C.e D.10
答案：B 命題立意：本題主要考查導數(shù)的幾何意義、直線的方程等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的基本運算能力.
解題思路：依題意得，題中的切線方程是y-ln x0=(x-x0);又該切線經(jīng)過點(0，-1)，于是有-1-ln x0=(-x0)，由此得ln x0=0，x0=1，故選B.
2.已知函數(shù)f(x)=+1，g(x)=aln x，若在x=處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為( )
A. B.
C.1 D.4
答案：A 命題立意：本題主要考查導數(shù)的概念與曲線切線的求解，考查思維的嚴謹性，應注意檢驗.
解題思路：由題意可知f′(x)=x，g′(x)=，由f′=g′，得=，可得a=，經(jīng)檢驗，a=滿足題意.
3.若函數(shù)f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1，+∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是( )
A.[-1，+∞) B.(-1，+∞)
C.(-∞，-1] D.(-∞，-1)
答案：C 解題思路：函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)=-x+，要使函數(shù)f(x)在[-1，+∞)上是減函數(shù)，則f′(x)=-x+≤0在[-1，+∞)上恒成立，即≤x在[-1，+∞)上恒成立，因為x≥-1，所以x+2≥1>0，即b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立.設(shè)y=x(x+2)，則y=x2+2x=(x+1)2-1，因為x≥-1，所以y≥-1，所以要使b≤x(x+2)在[-1，+∞)上恒成立，則有b≤-1，故選C.
4.如圖是函數(shù)f(x)=x2+ax+b的部分圖象，函數(shù)g(x)=ex-f′(x)的零點所在的區(qū)間是(k，k+1)(kZ)，則k的值為( )
A.-1或0 B.0
C.-1或1 D.0或1
答案：C 解題思路：由二次函數(shù)f(x)的圖象及函數(shù)f(x)兩個零點的位置可知其對稱軸x=-，解得10，g(0)=1-a<0，g(1)=e-2-a<0，g(2)=e2-4-a>0，函數(shù)g(x)的兩個零點x1(-1,0)和x2(1,2)，故k=-1或1.
5.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極大值點有( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
答案：B 命題立意：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)與極值間的關(guān)系，意在考查考生的推理能力.
解題思路：依題意，記函數(shù)y=f′(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標自左向右依次為x1，x2，x3，x4，當a0;當x1
6.若曲線y=x2+aln x(a>0)上任意一點處的切線斜率為k，若k的小值為4，則此時該切點坐標為( )
A.(1,1) B.(2,3)
C.(3,1) D.(1,4)
答案：A 命題立意：本題考查導數(shù)的幾何意義和基本不等式等相關(guān)知識.根據(jù)函數(shù)的導數(shù)取得的小值可以求出a，以及取得小值時的條件，這個條件就是所求的值.運用導數(shù)知識解決相應的幾何切線問題是新課標高考考查的熱點，導數(shù)不僅在選擇題、填空題中經(jīng)?？疾?，在解答題中也常和函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題一起出現(xiàn).
解題思路：y=x2+aln x的定義域為(0，+∞)，由導數(shù)的幾何意義知y′=2x+≥2=4，解得a=2，等號成立的條件是x=1，代入曲線方程得y=1，故所求的切點坐標是(1,1).
7.如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx+a的部分圖象，則函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點所在的區(qū)間是( )
A.
B.
C.(1,2)
D.(2,3)
答案：B 解題思路：因為f(1)=0，則b=a+1，又f(0)=a，且00，g=ln +1-b<1-b<0，所以函數(shù)g(x)的零點在區(qū)間上，故選B.
8.曲線y=x2+bx+c在點P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為，則點P到該曲線對稱軸距離的取值范圍為( )
A.[0,1] B.
C. D.
答案：B 命題立意：本題考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及導數(shù)幾何意義的綜合應用，難度中等.
解題思路：利用導數(shù)的幾何意義和二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解.由題意可得在點P處的切線的斜率的取值范圍是[0,1]，即0≤2x0+b≤1，該曲線的對稱軸方程是x=-，所以點P到該曲線的對稱軸距離.
二、填空題
9.已知f(x)=x3-mx2+3mx+5在(1,4)上有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍為________.
答案： 命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)(零點與極值)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意，得f′(x)=3x2-2mx+3m=0在(1,4)上有兩個不等的實根，于是有
解得9
即實數(shù)m的取值范圍是9
10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1，且f(x)的導數(shù)f′(x)在R上恒有f′(x)<，則不等式f(x2)<+的解集為________.
答案：(-∞，-1)(1，+∞) 命題立意：本題主要考查構(gòu)造法、函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系及一元二次不等式的解法，意在考查考生應用所學知識解決問題的能力.
解題思路：記g(x)=f(x)-x-，則有g(shù)′(x)=f′(x)-<0，g(x)是R上的減函數(shù)，且g(1)=f(1)-×1-=0.不等式f(x2)<+，即f(x2)--<0，g(x2)<0=g(1)，由g(x)是R上的減函數(shù)得x2>1，解得x<-1或x>1，即不等式f(x2)<+的解集是(-∞，-1)(1，+∞).
11.已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,5]，部分對應值如下表：
x -1 0 2 4 5 y 1 2 0 2 1 f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.
(1)f(x)的極小值為________;
(2)若函數(shù)y=f(x)-a有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________.
答案：(1)0 (2)[1,2)
解題思路：(1)由y=f′(x)的圖象可知，
f(2)為f(x)的極小值，f(2)=0.
(2)y=f(x)的圖象如圖所示：
若函數(shù)y=f(x)-a有4個零點，則a的取值范圍為1≤a<2.
12.關(guān)于函數(shù)f(x)=2x-(xR).有下列三個結(jié)論：f(x)的值域為R;f(x)是R上的增函數(shù);f(x)的圖象是中心對稱圖形.其中所有正確命題的序號是________.
答案： 命題立意：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，難度中等.
解題思路： 2x>0， 當2x→0時，f(x)→-∞，當2x→+∞時，f(x)→+∞，所以f(x)的值域為R，是正確的;由于g(x)=2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)=2x-(xR)在定義域內(nèi)也是增函數(shù)，所以是正確的;由于f(-x)=2-x-=-2x=-f(x)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，是正確的.
13.若以曲線y=f(x)上任意一點M(x，y)為切點作切線l，曲線上總存在異于M的點N(x1，y1)，以點N為切點作切線l1，且ll1，則稱曲線y=f(x)具有“可平行性”.下列曲線具有可平行性的編號為________.(寫出所有滿足條件的函數(shù)的編號)
y=x3-x y=x+
y=sin x y=(x-2)2+ln x
答案：命題立意：本
題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，旨在考查考生的邏輯推理能力和運算求解能力.
解題思路：由題意可知，對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x值，總存在x1(x1≠x)使得f′(x1)=f′(x).對于，由f′(x1)=f′(x)可得x=x2，但當x=0時不符合題意，故不具有可平行性;對于，由f′(x1)=f′(x)可得=，此時對于定義域內(nèi)的任意一個x值，總存在x1=-x，使得f′(x1)=f′(x);對于，由f′(x1)=f′(x)可得cos x1=cos x，x1=x+2kπ(kZ)，使得f′(x1)=f′(x);對于，由f′(x1)=f′(x)可得2(x1-2)+=2(x-2)+，整理得x1x=，但當x=時不符合題意.綜上，答案為.