2016年宿遷市三校高考數(shù)學(xué)模擬試題（蘇教版）

    宿遷市三校2016屆高三學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷及答案（蘇教版）
    一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
    1．函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期為    ▲    ．
    2．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i1，其中i是虛數(shù)單位，則|z|＝    ▲    ．
    3．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為4：3：3，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為80的樣本，則應(yīng)從高一年級(jí)抽取    ▲    名學(xué)生．
    4．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2名代表參加學(xué)校會(huì)議，則甲被選中的概率是    ▲    ．
    5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，
    則實(shí)數(shù)λ＝    ▲    ．
    6．右圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出S的值是    ▲    ．
    7．已知雙曲線a2x2－b2y2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程
    為y＝±x，則該雙曲線的離心率為    ▲    ．
    8．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是    ▲    ．
    9．設(shè)f(x)＝x2－3x＋a．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為    ▲    ．
    10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB＝2sinC，則cosA＝    ▲    ．
    11．若f(x)＝xa－x＋3a，x＜1，      x≥1，是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為    ▲    ．
    12．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，則Sn＝    ▲    ．
    13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，點(diǎn)A，B在圓C上，且AB＝2，則|→OA＋→OB|的值是    ▲    ．
    14．已知函數(shù)f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，則滿足f(ex)＜0的x的取值范圍
    為   ▲    ．
    二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
    15．（本小題滿分14分）
    已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的圖象過(guò)點(diǎn)(2π，－2)．
    （1）求φ的值；
    （2）若f(2α)＝56，－2π＜α＜0，求sin(2α－6π)的值．
    16．（本小題滿分14分）
    如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AB，B1C1的中點(diǎn)．
    （1）求證：MN∥平面AA1C1C；
    （2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求證：AB^平面CMN．
    
    17．（本小題滿分14分）
    已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn， {bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，
    S4＋b4＝30．
    （1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
    （2）記cn＝anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
    18．（本小題滿分16分）
    給定橢圓C：a2x2＋b2y2＝1(a＞b＞0)，稱圓C1：x2＋y2＝a2＋b2為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為23，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)．
    （1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
    （2）若過(guò)點(diǎn)P(0，m)(m＞0)的直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長(zhǎng)為2，求實(shí)數(shù)m的值．
    19．（本小題滿分16分）
    如 圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα＝－2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路AM，AN的距離分別 為3km，km．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問(wèn)如何確定B點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園 區(qū)的面積最小？并求最小面積．
    20．（本小題滿分16分）
    已知函數(shù)f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．
    （1）若a＝－1，求函數(shù)y＝f(x) (x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程；
    （2）若g(x)＝x4，試討論方程f(x)＝g(x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；
    （3）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合．
    宿遷市三校2016屆高三學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷及答案（附加題）
    21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
    A．選修4—1：幾何證明選講
    如圖，PA是圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO與圓O交于點(diǎn)B、C，AQ^OP，垂足為Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的長(zhǎng)．
    B．選修4—2：矩陣與變換
    已知矩陣A＝31屬于特征值l的一個(gè)特征向量為α＝－1 1 ．
    （1）求實(shí)數(shù)b，l的值；
    （2）若曲線C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C¢：x2＋2y2＝2，求曲線C的方程．
    C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
    在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為2321t1(t為參數(shù) )，圓C的參數(shù)方程為3y＝sinθ＋cosθ，(θ為參數(shù))．若點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．
    D．選修4—5：不等式選講
    已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．
    【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
    22．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端點(diǎn)的點(diǎn)，且→CE＝λ→CC1．
    （1） 當(dāng)∠BEA1為鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
    （2） 若λ＝52，記二面角B1－A1B－E的的大小為θ，求|cosθ|．
    
    23．某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲，顧客從裝有1個(gè)紅球，1個(gè)白球，3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)的摸2個(gè)球，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表：
    

結(jié)果	獎(jiǎng)勵(lì)
1紅1白	10元
1紅1黑	5元
2黑	2元
1白1黑	不獲獎(jiǎng)

    （1）某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望；
    （2）某顧客參與兩次摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率．
    宿遷市三校2016屆高三學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷及答案（蘇教版）
    一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分． 
    1．π             2．22            3．32          4．21          5．5      
    6．35            7．2             8．          9．(0，49]      10．42    
    11．[21，＋∞)     12．2－2n－1      13．8          14．(0，1)
    二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．
    15．（本小題滿分14分）
    解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的圖象過(guò)點(diǎn)(2π，－2)，
    所以f(2π)＝2sin(π＋φ)＝－2，
    即sinφ＝1．                      …………………………………………… 4分
    因?yàn)?＜φ＜2π，所以φ＝2π．        …………………………………………… 6分
    （2）由（1）得，f(x)＝2cos2x．            ………………………………………… 8分
    因?yàn)閒(2α)＝56，所以cosα＝53．
    又因?yàn)椋?RUBY>2π＜α＜0，所以sinα＝－54．      …………………………………… 10分
    所以sin2α＝2sinαcosα＝－2524，cos2α＝2cos2α－1＝－257．…………………… 12分
    從而sin(2α－6π)＝sin2αcos6π－cos2αsin6π＝503．      …………………… 14分
    16．（本小題滿分14分）
    證明：（1）取A1C1的中點(diǎn)P，連接AP，NP．
    因?yàn)镃1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝21A1B1．   …………………… 2分
    在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．
    故NP∥AB，且NP＝21AB． 
    因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以AM＝21AB．
    所以NP＝AM，且NP∥AM．
    所以四邊形AMNP為平行四邊形．
    所以MN∥AP．                          ……………………………………… 4分
    因?yàn)锳PÌ平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，
    所以MN∥平面AA1C1C．           ……………………………………………… 6分
    （2）因?yàn)镃A＝CB，M為AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB．     …………………………… 8分
    因?yàn)镃C1＝CB1，N為B1C1的中點(diǎn)，所以CN⊥B1C1．  
    在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN^BC．
    因?yàn)槠矫鍯C1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CNÌ平面CC1B1B，
    所以CN⊥平面ABC．                     …………………………………… 10分
    因?yàn)锳BÌ平面ABC，所以CN⊥AB．         …………………………………… 12分
    因?yàn)镃MÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CM∩CN＝C，
    所以AB⊥平面CMN．                     …………………………………… 14分
    所以AB⊥平面CMN．                     …………………………………… 14分
    17．（本小題滿分14分）
    解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．
    由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．……………………………… 3分
    由條件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程組8＋6d＋2q3＝30，2＋3d＋2q3＝21，解得q＝2．d＝1，
    所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*．                ……………………………… 7分
    （2）由題意知，cn＝(n＋1)×2n．
    記Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
    則Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
        ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1       ＋(n＋1)×2n，
    2 Tn＝     2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋    (n＋1)2n＋1，
    所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n＋1)×2n＋1， …………………………… 11分
    即Tn＝n·2n＋1，n∈N*．                       ……………………………… 14分
    18．（本小題滿分16分）
    解：（1）記橢圓C的半焦距為c．
    由題意，得b＝1，ac＝23，c2＝a2＋b2，
    解得a＝2，b＝1．                 ……………………………………………… 4分
    （2）由（1）知，橢圓C的方程為4x2＋y2＝1，圓C1的方程為x2＋y2＝5．
    顯然直線l的斜率存在．
    設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．…………………………………… 6分
    因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
    故方程組4x2＋y2＝1x2    （*）  有且只有一組解．
    由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
    從而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．
    化簡(jiǎn)，得m2＝1＋4k2．①               ………………………………………… 10分
    因?yàn)橹本€l被圓x2＋y2＝5所截得的弦長(zhǎng)為2，
    所以圓心到直線l的距離d＝5－2＝．
    即＝．    ②                   ……………………………………… 14分
    由①②，解得k2＝2，m2＝9．           
    因?yàn)閙＞0，所以m＝3．                  ……………………………………… 16分
    19．（本小題滿分16分）
    解：（方法一）
    如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
    因?yàn)閠anα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．
    設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)．
    因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y0＝3．
    由P到直線AN的距離為，
    得5∣2x0＋y0∣5∣2x0＋y0∣＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
    所以點(diǎn)P(1，3)．                               ……………………………… 4分
    顯然直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
    令y＝0得xB＝1－k3．                           ……………………………… 6分
    由y＝－2xx－1，解得yC＝k＋26－2k．              ……………………………… 8分
    設(shè)△ABC的面積為S，則S＝21×xB×yC＝k2＋2k－k2＋6k－9＝－1＋k2＋2k8k－9．  …………… 10分   
    由S¢＝ 2k－3＝0得k＝－43或k＝3．
    當(dāng)－2＜k＜－43時(shí)，S¢＜0，S單調(diào)遞減；當(dāng)－43＜k＜0時(shí)，S¢＞0，S單調(diào)遞增．… 13分
    所以當(dāng)k＝－43時(shí)，即AB＝5時(shí)，S取極小值，也為最小值15．  
    答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．…………… 16分
    （方法二）
    如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
    因?yàn)閠anα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．
    設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)．
    因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y0＝3．
    由P到直線AN的距離為，
    得5∣2x0＋y0∣5∣2x0＋y0∣＝，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
    所以點(diǎn)P(1，3)．                               ……………………………… 4分
    顯然直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
    令y＝0得xB＝1－k3．                           ……………………………… 6分
    由y＝－2xx－1，解得yC＝k＋26－2k．              ……………………………… 8分
    設(shè)△ABC的面積為S，則S＝21×xB×yC＝k2＋2k－k2＋6k－9＝－1＋k2＋2k8k－9．  …………… 10分   
    令8k－9＝t，則t∈(－25，－9)，從而k＝8t＋9． 
    因此S＝－1＋8t＋98t＋98t＋9＝－1＋t2＋34t＋22564t＝－1＋t225t225．……… 13分
    因?yàn)楫?dāng)t∈(－25，－9)時(shí)，t＋t225∈(－34，－30]，
    當(dāng)且僅當(dāng)t＝－15時(shí)，此時(shí)AB＝5，34＋t＋t225的值為4．從而S有最小值為15．
    答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．…………… 16分
    （方法三）
    如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設(shè)AB＝x，AC＝y(tǒng)．
    因?yàn)镻到AM，AN的距離分別為3，，
        即PE＝3，PF＝．
    由S△ABC＝S△ABP＋S△APC
    ＝21×x×3＋21×y× ＝21(3x＋y)．  ① …… 4分
    因?yàn)閠ana＝－2，所以sina＝5252．  
    所以S△ABC＝21×x×y× 5252．  ②               ……………………………………… 8分
    由①②可得21×x×y× 5252＝21(3x＋y)．
    即3x＋5y＝2xy． ③                    ………………………………………10分
    因?yàn)?x＋5y≥2，所以 2xy≥2．
    解得xy≥15．                          ………………………………………13分
    當(dāng)且僅當(dāng)3x＝5y取“＝”，結(jié)合③解得x＝5，y＝3． 
    所以S△ABC＝21×x×y× 5252有最小值15．
    答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2．…………… 16分
    20．（本小題滿分16分）
    解：（1）當(dāng)a＝－1，x[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝－x3＋x＋1，從而f ′(x)＝－3x2＋1．
    當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，
    所以函數(shù)y＝f(x) (x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，
    即2x＋y－3＝0．                  ………………………………………………… 3分
    （2）f(x)＝g(x)即為ax3＋|x－a|＝x4．
    所以x4－ax3＝|x－a|，從而x3(x－a)＝|x－a|．
    此方程等價(jià)于x＝a或x＝1x＞a，或x＝－1．x＜a，   ………………………………………… 6分
    所以當(dāng)a≥1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，－1；
    當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有三個(gè)不同的解a，－1，1；
    當(dāng)a≤－1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不同的解a，1．    ………………………… 9分
    （3）當(dāng)a＞0，x(a，＋∞)時(shí)，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，
    所以函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上是增函數(shù)，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．
    所以當(dāng)x[a，a＋2]時(shí)，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，x1024[a＋21024，a1024]，
    當(dāng)x[a＋2，＋∞)時(shí)，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)．  ………………………………… 11分
    因?yàn)閷?duì)任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，
    所以[a＋21024，a1024][ f(a＋2)，＋∞)．     ……………………………………… 13分
    從而a＋21024≥f(a＋2)．
    所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．
    因?yàn)閍＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時(shí)，均不滿足．
    所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為{1}．     ……………………………… 16分
    宿遷市三校2016屆高三學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷及答案（附加題）
    21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．
    A．選修4—1：幾何證明選講
    證明：連接AO．設(shè)圓O的半徑為r．
    因?yàn)镻A是圓O的切線，PBC是圓O的割線，
      所以PA2＝PC·PB．……………………………… 3分
          因?yàn)镻A＝4，PC＝2，
    所以42＝2×(2＋2r)，解得r＝3．……………… 5分
    所以PO＝PC＋CO＝2＋3＝5，AO＝r＝3．
    由PA是圓O的切線得PA⊥AO，故在Rt△APO中，
    因?yàn)锳Q⊥PO，由面積法可知，21×AQ×PO＝21×AP×AO，
    即AQ＝POAP×AO＝54×3＝512．                      …………………… 10分
    B．選修4—2：矩陣與變換
    解：（1）因?yàn)榫仃嘇＝31屬于特征值l的一個(gè)特征向量為α＝－1 1，
     所以31－1 1＝l－1 1，即－22－b＝－ll． ……………………… 3分
    從而－2＝－l．2－b＝l，解得b＝0，l＝2．             ………………………… 5分
    （2）由（1）知，A＝31．
    設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€C¢上一點(diǎn)P(x0，y0)，
    則y0x0＝31yx＝x＋3y2x， 
    從而y0＝x＋3y．x0＝2x，                             …………………………… 7分
    因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C¢上，所以x02＋2y02＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，
    從而3x2＋6xy＋9y2＝1． 
    所以曲線C的方程為3x2＋6xy＋9y2＝1．      ……………………………… 10分
    C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
    解：（方法一）
    直線l的普通方程為x－y＋＝0．       …………………………………… 3分
    因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，故設(shè)P(＋cosθ，sinθ)，
    從而點(diǎn)P到直線l的距離
    d＝＝6π2|．    …………………… 7分
    所以dmin＝－1．
    即點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為－1．        ……………………………… 10分
    (方法二) 
    直線l的普通方程為x－y＋＝0．            ……………………………… 3分
    圓C的圓心坐標(biāo)為(，0)，半徑為1．
    從而圓心C到直線l的距離為d＝＝．  ………………………… 6分
    所以點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為－1．          ………………………… 10分
    D．選修4—5：不等式選講
    證明：因?yàn)閍，b是正數(shù)，且a＋b＝1，
    所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2
    ＝ab(x2＋y2)＋(a2＋b2)xy       …………………………… 3分
    ≥ab×2xy＋(a2＋b2)xy        ……………………………… 8分
    ＝(a＋b)2xy
    ＝xy
    即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立．                  ……………………………… 10分
     
    【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．
    22．解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
     由題設(shè)，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．
    因?yàn)?RUBY>→CE＝λ→CC1，所以E(0，3，5λ)．
     從而→EB＝(2，0，－5λ)，→EA1＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分
     當(dāng)∠BEA1為鈍角時(shí)，cos∠BEA1＜0，
     所以→EB·→EA1＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
     解得51＜λ＜54．
     即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(51，54)．             …………………………………… 5分
    （2）當(dāng)λ＝52時(shí)，→EB＝(2，0，－2)，→EA1＝(2，－3，3)．
    設(shè)平面BEA1的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)，
    由→EB→EA1＝0EA1   得2x－3y＋3z＝0，2x－2z＝0，
    取x＝1，得y＝35，z＝1，
    所以平面BEA1的一個(gè)法向量為n1＝(1，35，1)．  ………………………………… 7分
    易知，平面BA1B1的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)．
    因?yàn)閏os< n1，n2>＝| n1|·| n2|n1·n2＝943943943＝4343，
        從而|cosθ|＝4343．                        …………………………………… 10分
    23．解：（1）因?yàn)镻(X＝10)＝5252＝101，P(X＝5)＝315252＝103，
    P(X＝2)＝325252＝103，P(X＝0) ＝315252＝103，
    所以X的概率分布表為：
    

X	10	5	2	0
P	101	103	103	103

                                                        …………………………… 4分
    從而E(X)＝10´101＋5´103＋2´103＋0´103＝3.1元．     …………………………… 6分
    （2）記該顧客一次摸球中獎(jiǎng)為事件A，由（1）知，P(A)＝107，
    從而他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率P＝1－[1－P(A)]2＝10091．
    答：他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率為 10091．    …………………………… 10分．