2016年陜西高考數(shù)學(xué)專練練習(xí):平面向量 復(fù)數(shù)
一、選擇題
1.若復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是純虛數(shù)，其中m是實數(shù)，i2=-1，則等于( )
A. 1 B.- 1 C. 2 D.-2
答案：D 解題思路：因為復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是純虛數(shù)，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，則==-.
2.設(shè)復(fù)數(shù)z=-i·sin θ，其中i為虛數(shù)單位，θR，則|z|的取值范圍是( )
A.[1，3 ] B.[-1，3]
C.[1， 2] D.[1，4 ]
答案：D 命題立意：本題考查復(fù)數(shù)的運算及三角值的求解，難度中等.
解題思路：據(jù)已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，當(dāng)sin θ=-1,1時分別取得小值與大值.
3.(呼和浩特第統(tǒng)考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，則|2a+3b|等于( )
A. B.4 C.3 D.2
答案：B 命題立意：本題考查向量的坐標(biāo)運算，難度中等.
解題思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.
4.已知向量a，b是夾角為60°的兩個單位向量，向量a+λb(λR)與向量a-2b垂直，則實數(shù)λ的值為( )
A.1 B.-1 C.2 D.0
答案：D 命題立意：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算與平面向量垂直的坐標(biāo)運算.
解題思路：由題意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，從而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.
5.已知A，B是單位圓上的動點，且|AB|=，單位圓的圓心為O，則·=( )
A.- B.
C.- D.
答案：C 命題立意：本題以單位圓為依托，考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本定理.
解題思路：由題意知，單位圓的弦AB所對的圓心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故選C.
6.定義一種運算如下：=x1y2-x2y1，復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是( )
A.-1+(-1)i B.-1-(-1)i
C.+1+(+1)i D.+1-(+1)i
答案：B 命題立意：考查對新概念的理解及復(fù)數(shù)的運算，難度中等.
解題思路：由題意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i， 共軛復(fù)數(shù)是-1-(-1)i，故選B.
易錯點撥：注意分析新定義的運算規(guī)則中字母的順序.
7.在直角坐標(biāo)系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夾角平分線上的一點，且||=2，則的坐標(biāo)是( )
A. B.(-，)
C. D.(-，1)
答案：A 命題立意：本題考查向量的線性運算與坐標(biāo)運算，正確地表示出的線性表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.
解題思路：因為=(-6，-4)，=(-2,3)，由點P是角平分線上的一點，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故選A.
8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P為矩形內(nèi)一點，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，則λ+μ的大值為( )
A. B.
C. D.
答案：B 命題立意：本題考查向量數(shù)量積的運算及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.
解題思路：據(jù)已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理變形得(λ+μ)2-2λμ=，據(jù)均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故選B.
9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，點P為邊BC所在直線上的一個動點，則關(guān)于·(+)的值，正確的是( )
A.大值為4 B.為定值2
C.小值為1 D.與P的位置有關(guān)
答案：B 命題立意：本題考查向量的運算，難度中等.
解題思路：利用向量的運算法則求解.取BC的中點D，連接AD，則·(+)=2·=2||2=2，故選B.
舉一反三：平面幾何圖形中的向量問題要充分應(yīng)用圖象的幾何特征，一般解法有建系法和基底法兩種.
10.對于單位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
答案：B 命題立意：本題考查了平面向量的概念及坐標(biāo)運算公式、充要條件的判斷問題，屬推理與分析能力考查題型，難度較大.
解題思路： a1，a2均為單位向量，若a1+a2=(，1)，則a1=a2=，反之，若a1=，則a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分條件，故選B.
易錯點撥：充要條件的判斷需要通過命題的正反角度分別推理，正確判斷兩個命題的真假方可得出正確的結(jié)論.
二、填空題
11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b為非零向量，若a(a+b)，則k=________.
答案：0 命題立意：本題考查向量的坐標(biāo)運算與數(shù)量積，難度中等.
解題思路：依題意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.
12.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=4，點E為BC的中點，點F在邊CD上.若·=2，則·的值是________.
答案：6 命題立意：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算，意在考查考生的運算能力.
解題思路：以B為坐標(biāo)原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由題意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，設(shè)F(4，m)，其中0≤m≤2，則=(0，-2)，=(4，m-2).
·=2，
-2(m-2)=2， m=1，
F(4,1)，=(4,1).
又 =(2，-2)， ·=8-2=6.
13.在ABC中，B=60°，O為ABC的外心，P為劣弧AC上一動點，且=x+y(x，yR)，則x+y的取值范圍為________.
答案：[1,2] 命題立意：本題考查向量的數(shù)量積運算及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.
解題思路：據(jù)已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P為劣弧AC上一動點知x≥0且y≥0(等號不能同時取得)，從而x+y≥1(x，y中恰有一個為0時取等號).又據(jù)均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0
14.設(shè)G為ABC的重心，若ABC所在平面內(nèi)一點P滿足+2+2=0，則的值等于________.
答案：2 命題立意：本題考查平面向量的線性運算及數(shù)形結(jié)合思想，難度中等.
解題思路：取BC的中點D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，說明P，A，D三點共線，即點P在BC邊的中線上，且||=4||，如圖所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.
15.(東北四市二次聯(lián)考)對于命題：
若O是線段AB上一點，則有||·+||·=0.
將它類比到平面的情形是：
若O是ABC內(nèi)一點，則有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.
將它類比到空間的情況應(yīng)該是：
若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有_________________________.
答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0
命題立意：本題考查了類比推理及推理證明問題，從平面到空間的類比推理是新課標(biāo)高考中常見的類比推理題型的命題方式.
解題思路：由線段到平面，線段的長類比為面積，由平面到空間，面積可類比為體積，由此可以類比得一命題為，若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.
B組
一、選擇題
1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為( )
A.3 B.-6 C.10 D.-15
答案：C 解題思路：由程序框圖可知運行結(jié)束時S=-1+22-32+42=10.
2.如圖所示的程序框圖中，若f(x)=2x，g(x)=x2，則h(3)-3的值是( )
A.6 B.5 C.1 D.0
答案：A 解題思路：當(dāng)x=3時，f(3)=23=8，g(3)=32=9，顯然f(3)
3.已知an=n，把數(shù)列{an}的各項排列成如下的三角形狀：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…………………………
記A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則A(10,12)等于( )
A.92 B.93
C.94 D.112
答案：B 解題思路：由題意知第m-1行有2(m-1)-1個數(shù)，則前m-1行共有1+3+5+…+[2(m-1)-1]==(m-1)2個數(shù)，則A(10,12)=[(10-1)2+12]=93.
4.如圖是“二分法”解方程x2-2=0的程序框圖(在區(qū)間[a，b]上滿足f(a)f(b)<0).那么在，處應(yīng)填寫的內(nèi)容分別是( )
A.f(b)f(m)<0，a=m
B.f(a)f(m)<0，m=a
C.f(a)f(m)<0，a=m
D.f(b)f(m)<0，b=m
答案：C 命題立意：本題考查了程序框圖及二分法思想的應(yīng)用，將二分法與算法兩個新課標(biāo)中的新知識點進行交匯，在高考命題中較為常見，難度中等.
解題思路：由程序框圖可知，當(dāng)滿足判斷框條件時，賦值給b，即得零點所在區(qū)間為(a，m)，因此判斷框應(yīng)當(dāng)填入f(a)f(m)<0;而不滿足判斷框的條件時，應(yīng)當(dāng)賦值給a，即運算框應(yīng)當(dāng)填入a=m，故選C.
5.如圖是計算函數(shù)y=的值的程序框圖，則在，，處應(yīng)分別填入的是( )
A.y=-x，y=0，y=x2
B.y=-x，y=x2，y=0
C.y=0，y=x2，y=-x
D.y=0，y=-x，y=x2
答案：B 解題思路：由程序框圖知處填y=-x，處填y=x2，處填y=0.
6.有編號為1,2，…，1 000的產(chǎn)品，現(xiàn)需從中抽取所有編號能被7整除的產(chǎn)品作為樣品進行檢驗.下面是四位同學(xué)設(shè)計的程序框圖，其中正確的是( )
答案：B 解題思路：選項A，C中的程序框圖輸出的結(jié)果中含有0，故排除A，C;選項D中的程序框圖不能輸出7，排除D，應(yīng)選B.
7.我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2+b2=c2，稱這個定理為勾股定理.現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O-ABC中，AOB=BOC=COA=90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面OAB，OAC，OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為( )
A.S2=S+S+S B.S2=++
C.S=S1+S2+S3 D.S=++
答案：A 命題立意：本題主要考查類比推理.通過兩種對象間的關(guān)系，得到所需的相似特征：平面中是邊長之間的平方關(guān)系，立體中是面積間的平方關(guān)系.
解題思路：如圖，作ODBC于D，連接AD，由立體幾何知識知，ADBC，從而S2=2=BC2·AD2=BC2·(OA2+OD2)=(OB2+OC2)·OA2+BC2·OD2=2+2+2=S+S+S.
8.設(shè)x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，將這5個數(shù)依次輸入下面的程序框圖運行，則輸出S的值及其統(tǒng)計意義分別是( )
A.S=2，這5個數(shù)據(jù)的方差
B.S=2，這5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)
C.S=10，這5個數(shù)據(jù)的方差
D.S=10，這5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)
答案：A 命題立意：本題考查算法程序框圖及樣本數(shù)據(jù)方差的計算，難度較小.
解題思路：據(jù)已知數(shù)據(jù)可得其均值==20，而輸出S=[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x5-20)2]=2，S的統(tǒng)計意義是此5個數(shù)據(jù)的方差，故選A.
9. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值等于16，那么在判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是( )
A.i>5 B.i>6
C.i>7 D.i>8
答案：A 命題立意：本題主要考查程序框圖的填充，解決程序框圖題的一般方法是寫出每循環(huán)的結(jié)果，分析變量的變化情況.
解題思路：由程序框圖條件，循環(huán)結(jié)果依次為：
S=1+1=2，i=2，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán);
S=2+2=4，i=3，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán);
S=4+3=7，i=4，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán);
S=7+4=11，i=5，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán);
S=11+5=16，i=6，此時滿足條件，跳出循環(huán)，輸出S=16，i=6滿足i≥6或i>5，選A.
10.(長春模擬)一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●….若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前120個圈中●的個數(shù)是( )
A.12 B.13
C.14 D.15
答案：C 命題立意：本題考查了等差數(shù)列的通項、前n項和公式及推理判斷能力，難度中等.
解題思路：據(jù)題意，以每一個黑圈為界構(gòu)成等差數(shù)列a1=2，a2=3，a3=4，首項a1=2，公差d=1，所以Sn=2n+.當(dāng)n=14時，S14=28+91=119，所以前120個圈中●的個數(shù)是14.
二、填空題
11.已知如下等式：
3-4=(32-42)，
32-3×4+42=(33+43)，
33-32×4+3×42-43=(34-44)，
34-33×4+32×42-3×43+44=(35+45)，
則由上述等式可歸納得到3n-3n-1×4+3n-2×42-…+(-1)n4n=________(nN*).
答案：[3n+1-(-4)n+1] 命題立意：本題考查歸納推理，難度中等.
解題思路：利用所給等式歸納即可.根據(jù)所給等式從指數(shù)、符號等方面歸納得3n-3n-1×4+3n-2×42-…+(-1)n4n=[3n+1-(-4)n+1].
12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1，n=1,2,3，…，計算得a1=，a2=，a3=，…，由以上規(guī)律，Sn=________.
答案： 解題思路：可得S1=a1=，S2=+=，S3=a1+a2+a3=，…，歸納得出Sn=.
13.觀察下列算式：
13=1，
23=3+5，
33=7+9+11，
43=13+15+17+19，
……
若某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2 013”這個數(shù)，則m=________.
答案：45 命題立意：本題主要考查考生分析問題、解決問題以及歸納推理的能力，解決此類問題時，要注意分析題目給定的信息，找到題目滿足的規(guī)律.
解題思路：某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，則等式右邊為m個連續(xù)奇數(shù)的和，且每行的后一個數(shù)為1=12+0,5=22+1,11=32+2,19=42+3，…，所以m3的后一個數(shù)為m2+(m-1).因為當(dāng)m=44時，m2+(m-1)=1 979，當(dāng)m=45時，m2+(m-1)=2 069，所以要使等式右邊含有“2 013”這個數(shù)，則m=45.
14.執(zhí)行圖中程序框圖表示的算法，則輸出的結(jié)果s為________.
答案：341 命題立意：本題考查程序框圖、算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)知識，考查學(xué)生的識圖能力、計算能力，難度中等.
解題思路：程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)執(zhí)行的功能是求和，按部就班的求解即可.第：s=s+t·2n=0+1·20=1,0<8，故n=n+1=1，t=1-t=0;第二次：s=s+t·2n=1+0·21=1,1<8，故n=n+1=2，t=1-t=1;第三次：s+t·2n=1+1·22=5,2<8，故n=2+1=3，t=1-t=0;第四次：s=5+0·23=5,3<8，故n=3+1=4，t=1-t=1;第五次：s=5+1·24=21,4<8，故n=4+1=5，t=1-t=0;第六次：s=21+0·25=21,5<8，n=5+1=6，t=1-t=1;第七次：s=21+1·26=85,6<8，n=6+1=7，t=1-1=0;第八次：s=85+0·27=85,7<8，n=7+1=8，t=1-0=1;第九次：s=85+1·28=341,8=8，n=8+1=9，t=1-1=0;第十次：s=341+0·29=341,9>8，輸出s=341.
15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為________.
答案：1 022 命題立意：本題考查程序框圖的意義，難度中等.
解題思路：在執(zhí)行題中的程序框圖的過程中，n的值分別是3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23(共進行了11次循環(huán))，x的值分別是2,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211，因此后輸出的y的值是-2=1 022.