1、解：∵四邊形ABCD是矩形，AC=18 cm，∴AO=D0=9cm．
∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB+∠BOC=180º，
∴∠BOC= 60º，
∴∠AOD= 60º，
∴△AOD為等邊三角形，
∴AD=A0=9cm。
2、證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90º，
又∵∠DAE= 2∠BAE，
∴∠BAE=30º，
又∵AE⊥BD，∴∠ABE= 60º．
∴△ABO是等邊三角形．
∴OE=BE=1/2BO，
∴DO=BO= 2BE．
∴DE=DO+OE= 3BE.
3、證明：∵CD//MN，∴∠DAN=∠ADO
又∵AD平分∠BAN，∴∠DAN=∠DAO
∴∠DAO=∠ADO. ∴OA=OD.
同理，OA=OC. ∴OC= OD．
又∵0為AB的中點，∴OA=OB，
∴四邊形ACBD是平行四邊形，
∵AD平分∠BAN，AC平分∠BAM，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAD= 90º．
∴□ACBD是矩形．
4、已知：如圖6-3-39所示，在□ABCD中，AG, BE，CE，DG分別為四個角的平分BC線，且AG與BE相交于點F，DG與CE相交于點H.
求證：四邊形EFGH是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//DC，∴∠ABC+ ∠BCD=180º．
又∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠1=1/2∠ABC, ∠2=1/2∠BCD.
∴∠1+∠2= 1/2(∠ABC+∠BCD)=1/2×180º=90º，
∴∠E=180º-(∠1+∠2)=90º，
同理，∠EFG=∠G=∠EHG=90º，
∴四邊形EFGH是矩形．
故平行四邊形的各內(nèi)角的平分線的交點是一個矩形的四個頂點．
5、已知：如圖6-3-40所示，在□ABCD中
對角線AC平分∠BAD.
求證:□ABCD是菱形。
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，∴∠2=∠3．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，∴BA=BC.
∴□ABCD是菱形，
故有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形．
6、解：如圖6-3-41所示，連接AC.
∵CE上AD，EA= ED．
∴CA=CD.
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=AD．
∴AC= CD=DA，
∴∠D=60º．
又∵在菱形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD= 180.-∠D=120º．
∴∠BAD-∠BCD=120º，
∠B=∠D=60º．
7、證明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是矩形，∴OD=OC.
∴□OCED是菱形．
8、證明：如圖6-3-42所示，過點E作△AED的中線EF交AD于點F，則EF=1/2AD.
∵在□ABCD中，AD//BC，AD=BC且E為BC中點，∴AF//BE，AF=BE
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∴AB=EF=1/2AD．∴AD=2AB.
9、證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AF//BE.
又∵EF//AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE.
∵EF//AB，
∴∠BAE=∠FEA，
∴∠FAE=∠FEA，∴AF=EF.
∴四邊形ABEF是菱形．
10、解：四邊形ABCD是菱形，
理由：如圖6-3-43所示，分別過點D，B 作DE⊥BC，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE= BF=1cm.
在△CDE與△CBF中，
∵DE=BF，∠DCE=∠BCF，
∠CED=∠CFB= 90º，
∴△CDE≌△CBF.∴CD=CB.
∵AB//CD，AD//BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴平行四邊形ABCD是菱形．
11、已知：如圖6-3-44所示，在矩形ABCD點E為對角線AC上 任意一點，EB=ED,AC與BD相交點O.
求證：矩形ABCD是正方形，
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD．
又∵OE=OE，EB=ED，
∴△EOB≌△EOD(SSS)，
∴∠EOD=∠EOB=90º，
∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．
12、證明：∵在正方形ABCD和正方形ECGF中，BC=DC,EC=GC,∠ECB=∠GCD=90º.
∴△EBC≌△GDC(SAS),∴BE=DG.
13、證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE= 90º，
又∵DE⊥AP，∴∠DAE+∠ADE=90º，∴∠BAF=∠ADE.
又∵BF⊥AP．∴∠BFA=∠AED.
∴△BAF≌△ADE(AAS)，
∴AF= DE，BF=AE.
又∵AF=AE+EF，
∴DE=BF+EF.
拓展與延伸
14、解：(I) ∠EAF的大小不發(fā)生變化，
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90º．
又∵AHIEF且AH=AD，AF=AF，
∴△ADF≌△AHF( HL)．
∴∠HAF=1/2∠HAD.
同理，∠EAH=1/2∠BAH.
∴∠FAH+∠EAH=1/2(∠DAH+∠BAH) =45。，
即∠EAF的大小不發(fā)生變化．
(2)△ECF的周長不發(fā)生變化，
理由：由(1)知△ADF≌△AHF，
∴FD—FH.同理，EH= EB.
∴△EFC的周長為EF+ EC+ FC
=EH+ FH+ EC+ FC
= (BE+EC)+(FD+FC)
=BC+DC
=2BC．
即△ECF的周長不發(fā)生變化．
15、解：(1)四邊形AEDF是菱形．
證明：∵DE//AC，DF//AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC.
又∵DF∥AB，∴∠BAD=∠ADF.
∴∠DAC=∠ADF，∴FA=FD.
∴□AEDF是菱形．
(2)當∠BAC=90º時，四邊形AEDF是正方形．
證明：∵四邊形AEDF是菱形，∠BAC=90º，
∴四邊形AEDF是正方形．
16、解：四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO.
又∵OA=OC, ∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE( ASA)．
∴OF=OE.
∴四邊形AE=CF是平行四邊形．
又∵AC=2AB=20A，∴AB=AO.
又∵BG=AB，∴AG=AC.
∵∠BAC=∠OAG，
∴△AOG≌△ABC(SAS)，
∴∠AOG=∠ABC.
∵在矩形ABCD中，∠ABC=90º，
∴∠AOG= 90º．即AC⊥EF.
∴□AECF是菱形．
探索與創(chuàng)新
17、證明：如圖6-3-45所示，連接AC，BD，交于點O，連接OE.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O為AC的中點．
又∵AEIEC，∴OE= IAC.
同理，OE=1/2BD．∴AC=BD，
∴□ABCD是矩形．
18、證明：如圖6-3-46所示，在BA上截取BF=BM，∴∠BFM=∠BMF=45º．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90º，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴AF=MC，∠AFM= 135º，
又∵CN平分∠DCE，
∴∠DCN=1/2DCE=45º，
∴∠MCN=135º．
∴∠AFM=∠MCN.
又∵AM⊥MN，∴∠1+∠AMB=90º，
∵∠2+∠AMB=90º，∴∠1=∠2．
∴△AFM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN．
∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB+∠BOC=180º，
∴∠BOC= 60º，
∴∠AOD= 60º，
∴△AOD為等邊三角形，
∴AD=A0=9cm。
2、證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90º，
又∵∠DAE= 2∠BAE，
∴∠BAE=30º，
又∵AE⊥BD，∴∠ABE= 60º．
∴△ABO是等邊三角形．
∴OE=BE=1/2BO，
∴DO=BO= 2BE．
∴DE=DO+OE= 3BE.
3、證明：∵CD//MN，∴∠DAN=∠ADO
又∵AD平分∠BAN，∴∠DAN=∠DAO
∴∠DAO=∠ADO. ∴OA=OD.
同理，OA=OC. ∴OC= OD．
又∵0為AB的中點，∴OA=OB，
∴四邊形ACBD是平行四邊形，
∵AD平分∠BAN，AC平分∠BAM，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAD= 90º．
∴□ACBD是矩形．
4、已知：如圖6-3-39所示，在□ABCD中，AG, BE，CE，DG分別為四個角的平分BC線，且AG與BE相交于點F，DG與CE相交于點H.
求證：四邊形EFGH是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//DC，∴∠ABC+ ∠BCD=180º．
又∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠1=1/2∠ABC, ∠2=1/2∠BCD.
∴∠1+∠2= 1/2(∠ABC+∠BCD)=1/2×180º=90º，
∴∠E=180º-(∠1+∠2)=90º，
同理，∠EFG=∠G=∠EHG=90º，
∴四邊形EFGH是矩形．
故平行四邊形的各內(nèi)角的平分線的交點是一個矩形的四個頂點．
5、已知：如圖6-3-40所示，在□ABCD中
對角線AC平分∠BAD.
求證:□ABCD是菱形。
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，∴∠2=∠3．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，∴BA=BC.
∴□ABCD是菱形，
故有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形．
6、解：如圖6-3-41所示，連接AC.
∵CE上AD，EA= ED．
∴CA=CD.
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=AD．
∴AC= CD=DA，
∴∠D=60º．
又∵在菱形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD= 180.-∠D=120º．
∴∠BAD-∠BCD=120º，
∠B=∠D=60º．
7、證明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是矩形，∴OD=OC.
∴□OCED是菱形．
8、證明：如圖6-3-42所示，過點E作△AED的中線EF交AD于點F，則EF=1/2AD.
∵在□ABCD中，AD//BC，AD=BC且E為BC中點，∴AF//BE，AF=BE
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∴AB=EF=1/2AD．∴AD=2AB.
9、證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AF//BE.
又∵EF//AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE.
∵EF//AB，
∴∠BAE=∠FEA，
∴∠FAE=∠FEA，∴AF=EF.
∴四邊形ABEF是菱形．
10、解：四邊形ABCD是菱形，
理由：如圖6-3-43所示，分別過點D，B 作DE⊥BC，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE= BF=1cm.
在△CDE與△CBF中，
∵DE=BF，∠DCE=∠BCF，
∠CED=∠CFB= 90º，
∴△CDE≌△CBF.∴CD=CB.
∵AB//CD，AD//BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴平行四邊形ABCD是菱形．
11、已知：如圖6-3-44所示，在矩形ABCD點E為對角線AC上 任意一點，EB=ED,AC與BD相交點O.
求證：矩形ABCD是正方形，
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD．
又∵OE=OE，EB=ED，
∴△EOB≌△EOD(SSS)，
∴∠EOD=∠EOB=90º，
∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．
12、證明：∵在正方形ABCD和正方形ECGF中，BC=DC,EC=GC,∠ECB=∠GCD=90º.
∴△EBC≌△GDC(SAS),∴BE=DG.
13、證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE= 90º，
又∵DE⊥AP，∴∠DAE+∠ADE=90º，∴∠BAF=∠ADE.
又∵BF⊥AP．∴∠BFA=∠AED.
∴△BAF≌△ADE(AAS)，
∴AF= DE，BF=AE.
又∵AF=AE+EF，
∴DE=BF+EF.
拓展與延伸
14、解：(I) ∠EAF的大小不發(fā)生變化，
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90º．
又∵AHIEF且AH=AD，AF=AF，
∴△ADF≌△AHF( HL)．
∴∠HAF=1/2∠HAD.
同理，∠EAH=1/2∠BAH.
∴∠FAH+∠EAH=1/2(∠DAH+∠BAH) =45。，
即∠EAF的大小不發(fā)生變化．
(2)△ECF的周長不發(fā)生變化，
理由：由(1)知△ADF≌△AHF，
∴FD—FH.同理，EH= EB.
∴△EFC的周長為EF+ EC+ FC
=EH+ FH+ EC+ FC
= (BE+EC)+(FD+FC)
=BC+DC
=2BC．
即△ECF的周長不發(fā)生變化．
15、解：(1)四邊形AEDF是菱形．
證明：∵DE//AC，DF//AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC.
又∵DF∥AB，∴∠BAD=∠ADF.
∴∠DAC=∠ADF，∴FA=FD.
∴□AEDF是菱形．
(2)當∠BAC=90º時，四邊形AEDF是正方形．
證明：∵四邊形AEDF是菱形，∠BAC=90º，
∴四邊形AEDF是正方形．
16、解：四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO.
又∵OA=OC, ∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE( ASA)．
∴OF=OE.
∴四邊形AE=CF是平行四邊形．
又∵AC=2AB=20A，∴AB=AO.
又∵BG=AB，∴AG=AC.
∵∠BAC=∠OAG，
∴△AOG≌△ABC(SAS)，
∴∠AOG=∠ABC.
∵在矩形ABCD中，∠ABC=90º，
∴∠AOG= 90º．即AC⊥EF.
∴□AECF是菱形．
探索與創(chuàng)新
17、證明：如圖6-3-45所示，連接AC，BD，交于點O，連接OE.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O為AC的中點．
又∵AEIEC，∴OE= IAC.
同理，OE=1/2BD．∴AC=BD，
∴□ABCD是矩形．
18、證明：如圖6-3-46所示，在BA上截取BF=BM，∴∠BFM=∠BMF=45º．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90º，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴AF=MC，∠AFM= 135º，
又∵CN平分∠DCE，
∴∠DCN=1/2DCE=45º，
∴∠MCN=135º．
∴∠AFM=∠MCN.
又∵AM⊥MN，∴∠1+∠AMB=90º，
∵∠2+∠AMB=90º，∴∠1=∠2．
∴△AFM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN．