一、選擇題（每小題3分，共30分）
1.下列命題：
①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；
②等腰三角形兩腰上的高相等；
③等腰三角形的最短邊是底邊；
④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；
⑤等腰三角形都是銳角三角形.
其中正確的有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，則BD的長為（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，在△ABC中， ，點(diǎn)D在AC邊上，且 ，則∠A的度數(shù)為（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
4.（2015•湖北荊門中考）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為（ ）
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
5.如圖，已知 ， ， ，下列結(jié)論：
① ；
② ；
③ ；
④△ ≌△ ．
其中正確的有（ ?。?BR> A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短邊 cm，則最長邊AB的長是（ ）
A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm
7.如圖，已知 ， ，下列條件能使△ ≌△ 的 是（ ?。?BR> A. B. C. D. 三個(gè)答案都是
8.（2015•陜西中考）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線，若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（ ?。?BR> A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
9.已知一個(gè)直角三角形的周長是 2 ，斜邊上的中線長為2，則這個(gè)三角形的面積 為（ ）
A.5 B.2 C. D.1
10.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果 cm， 那么△ 的周長是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
二、填空題（每小題3分，共24分）
11.如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn) C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠OEC的度數(shù)是 .
12.若一個(gè)三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則此三角形是___ ___三角形.
13.（2015•四川樂山中考）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，則∠DBC＝________°.
14.如圖，在△ABC中， ，AM平分∠ ， cm，則點(diǎn)M到AB的距離 是_________.
15.如圖，在等邊△ABC中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)， FE⊥AC于E，若△ABC的邊長為10，則
_________， _________.
16.(2015•江蘇連云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是 .
17.如圖，已知 的垂直平分線交 于點(diǎn) ，則 .
18.一副三角板疊在一起如圖所示放置,最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上,BC與DE交于點(diǎn)M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD為 度.
三、解答題（共46分）
19.（6分）如圖，在△ABC中， ， 是 上任意一點(diǎn)（M與A不重合），MD⊥BC，且交∠ 的平分線于點(diǎn)D，求證： .
20.（6分）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.
定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.
舉例：如圖（1），若PA＝PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.
應(yīng)用：如圖（2），CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD＝ AB，求∠APB的度數(shù).
探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探PA
的長.
21.（6分）如圖所示，在四邊形 中， 平分∠ .
求證： .
22.（6分）如圖所示，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，B，E在C，D的同側(cè)，若 ，求BE的長.
23.（6分）如圖所示，在Rt△ABC中， ，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連接BE，EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．
第24題圖
24.（8分）（2015•陜西中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E.求證：AD＝CE.
25.（8分）已知：如圖， ， 是 上一點(diǎn)， 于點(diǎn) ， 的延長線交 的延長線于點(diǎn) .求證：△ 是等腰三角形．
參考答案
1.B 解析：只有②④正確.
2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴
∴ BC邊上的高=
∵ AD平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB，AC的距離相等，設(shè)為h，
則 解得
解得 故選A．
3.B 解析：因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?，所以 .
又因?yàn)?，
所以 ，
所以 所以
4.C 解析：當(dāng)?shù)妊切蔚难L是2，底邊長是4時(shí)，等腰三角形的三邊長是2，2，4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形，所以不合題意，舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚难L是4，底邊長是2時(shí)，等腰三角形的三邊長是4，4，2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，能構(gòu)成三角形，所以該三角形的周長為4＋4＋2=10.
5.C 解析：因?yàn)?，
所以△ ≌△ （ ），
所以 ，
所以 ，
即 故③正確.
又因?yàn)?，
所以△ ≌△ （ASA），
所以 ，故①正確.
由△ ≌△ ，知 ，
又因?yàn)?，
所以△ ≌△ ，故④正確.
由于條件不足，無法證得②
故正確的結(jié)論有：①③④.
6.D 解析：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
所以△ABC為直角三角形，且∠C為直角.
又因?yàn)樽疃踢?cm，則最長邊 cm.
7.D 解析：添加A選項(xiàng)中條件可用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等；
添加B選項(xiàng)中條件可用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等；
添加C選項(xiàng)中條件可用“HL”判定兩個(gè)三角形全等.故選D．
8.D 解析：在△ABC中，∵ ∠A=36°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD=36°，
∴ ∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，
∴ ∠C＝∠CDB，∴ △ABD，△CBD都是等腰三角形.
∴ BC=BD.∵ BE=BC，∴ BD=BE，
∴ △EBD是等腰三角形，
∴ ∠BED＝ = ＝72°.
在△AED中，∵ ∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴ ∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE=∠A =36°，∴ △AED是等腰三角形.
∴ 圖中共有5個(gè)等腰三角形.
9.B 解析：設(shè)此直角三角形為△ABC，其中
因?yàn)橹苯侨切涡边叺拈L等于斜邊上中線長的2倍，所以
又因?yàn)橹苯侨切蔚闹荛L是 ，所以 .
兩邊平方，得 ，即 .
由勾股定理知 ，
所以 ，所以 .
10.D 解析：因?yàn)?垂直平分 ，所以 .
所以△ 的周長 （cm）.
11.100° 解析:如圖所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直線是線段BC的垂直平分線，連接OB，則OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=
∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.
所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12.直角 解析:直角三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三
角形的一個(gè)頂點(diǎn)；銳角三角形的三條高線交點(diǎn)在此三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的三條高線交點(diǎn)在三角形的外部.
13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.
因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.
因?yàn)镈E垂直平分AB，所以DA＝DB，
所以∠DBE＝∠A＝50°.
所以∠DBC＝65°－50°＝15°.
14.20 cm 解析:根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因?yàn)?，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以 .
在Rt△ 中，因?yàn)?，所以 .
又 ，所 .
16.4∶3 解析：如圖所示，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，
垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N.
∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN.
∵ AB×DM，
AC×DN，
∴ . 第16題答圖
17. 解析:∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，
∴ ∠B=∠C=
∵ AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴ AD=CD.
∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°，
∴ ∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°.
19.證明：∵ ，
∴ ∥ ，∴ .
又∵ 為∠ 的平分線，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 解：應(yīng)用：若PB＝PC，連接PB，則∠PCB＝∠PBC.
∵ CD為等邊三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴
∴
∴
與已知PD＝ AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA＝PC，連接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝ AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，設(shè)PA＝x，則x2+32=(4-x)2，∴ x ＝ ，即PA＝ .
若PA＝PC，則PA＝2.
若PA＝PB，由圖（2）知，在Rt△PAB中，這種情況不可能.故PA＝2或 .
21.證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)E，
過點(diǎn)D作 于點(diǎn)F.
因?yàn)锽D平分∠ABC，所以 .
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.
所以∠ =∠ .
因?yàn)椤?∠ 80°，
所以∠ .
22.解：因?yàn)椤鰽BD和△CDE都是等邊三角形，
所以 ，∠ ∠ 60°.
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，
即∠ ∠ .
在△ 和△ 中，因?yàn)?BR> 所以△ ≌△ ，所以 .
又 ，所以 .
在等腰直角△ 中， ，故 .
23.解： ，BE⊥EC.
證明：∵ ，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴ .
∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠ ∠ .
∴ ∠ ∠ 90°.∴ ⊥ .
24.證明：∵ AE∥BD，∴ ∠EAC＝∠ACB.
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠EAC＝∠B.
又∵ ∠BAD＝∠ACE＝90°，
∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD＝CE.
25.證明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于點(diǎn) ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
1.下列命題：
①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；
②等腰三角形兩腰上的高相等；
③等腰三角形的最短邊是底邊；
④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；
⑤等腰三角形都是銳角三角形.
其中正確的有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，則BD的長為（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，在△ABC中， ，點(diǎn)D在AC邊上，且 ，則∠A的度數(shù)為（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
4.（2015•湖北荊門中考）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為（ ）
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
5.如圖，已知 ， ， ，下列結(jié)論：
① ；
② ；
③ ；
④△ ≌△ ．
其中正確的有（ ?。?BR> A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短邊 cm，則最長邊AB的長是（ ）
A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm
7.如圖，已知 ， ，下列條件能使△ ≌△ 的 是（ ?。?BR> A. B. C. D. 三個(gè)答案都是
8.（2015•陜西中考）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線，若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（ ?。?BR> A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
9.已知一個(gè)直角三角形的周長是 2 ，斜邊上的中線長為2，則這個(gè)三角形的面積 為（ ）
A.5 B.2 C. D.1
10.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果 cm， 那么△ 的周長是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
二、填空題（每小題3分，共24分）
11.如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn) C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠OEC的度數(shù)是 .
12.若一個(gè)三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則此三角形是___ ___三角形.
13.（2015•四川樂山中考）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，則∠DBC＝________°.
14.如圖，在△ABC中， ，AM平分∠ ， cm，則點(diǎn)M到AB的距離 是_________.
15.如圖，在等邊△ABC中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)， FE⊥AC于E，若△ABC的邊長為10，則
_________， _________.
16.(2015•江蘇連云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是 .
17.如圖，已知 的垂直平分線交 于點(diǎn) ，則 .
18.一副三角板疊在一起如圖所示放置,最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上,BC與DE交于點(diǎn)M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD為 度.
三、解答題（共46分）
19.（6分）如圖，在△ABC中， ， 是 上任意一點(diǎn)（M與A不重合），MD⊥BC，且交∠ 的平分線于點(diǎn)D，求證： .
20.（6分）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.
定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.
舉例：如圖（1），若PA＝PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.
應(yīng)用：如圖（2），CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD＝ AB，求∠APB的度數(shù).
探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探PA
的長.
21.（6分）如圖所示，在四邊形 中， 平分∠ .
求證： .
22.（6分）如圖所示，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連接DC，以DC為邊作等邊△DCE，B，E在C，D的同側(cè)，若 ，求BE的長.
23.（6分）如圖所示，在Rt△ABC中， ，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連接BE，EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．
第24題圖
24.（8分）（2015•陜西中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E.求證：AD＝CE.
25.（8分）已知：如圖， ， 是 上一點(diǎn)， 于點(diǎn) ， 的延長線交 的延長線于點(diǎn) .求證：△ 是等腰三角形．
參考答案
1.B 解析：只有②④正確.
2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴
∴ BC邊上的高=
∵ AD平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB，AC的距離相等，設(shè)為h，
則 解得
解得 故選A．
3.B 解析：因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?，所以 .
又因?yàn)?，
所以 ，
所以 所以
4.C 解析：當(dāng)?shù)妊切蔚难L是2，底邊長是4時(shí)，等腰三角形的三邊長是2，2，4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形，所以不合題意，舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚难L是4，底邊長是2時(shí)，等腰三角形的三邊長是4，4，2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，能構(gòu)成三角形，所以該三角形的周長為4＋4＋2=10.
5.C 解析：因?yàn)?，
所以△ ≌△ （ ），
所以 ，
所以 ，
即 故③正確.
又因?yàn)?，
所以△ ≌△ （ASA），
所以 ，故①正確.
由△ ≌△ ，知 ，
又因?yàn)?，
所以△ ≌△ ，故④正確.
由于條件不足，無法證得②
故正確的結(jié)論有：①③④.
6.D 解析：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
所以△ABC為直角三角形，且∠C為直角.
又因?yàn)樽疃踢?cm，則最長邊 cm.
7.D 解析：添加A選項(xiàng)中條件可用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等；
添加B選項(xiàng)中條件可用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等；
添加C選項(xiàng)中條件可用“HL”判定兩個(gè)三角形全等.故選D．
8.D 解析：在△ABC中，∵ ∠A=36°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD=36°，
∴ ∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，
∴ ∠C＝∠CDB，∴ △ABD，△CBD都是等腰三角形.
∴ BC=BD.∵ BE=BC，∴ BD=BE，
∴ △EBD是等腰三角形，
∴ ∠BED＝ = ＝72°.
在△AED中，∵ ∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴ ∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE=∠A =36°，∴ △AED是等腰三角形.
∴ 圖中共有5個(gè)等腰三角形.
9.B 解析：設(shè)此直角三角形為△ABC，其中
因?yàn)橹苯侨切涡边叺拈L等于斜邊上中線長的2倍，所以
又因?yàn)橹苯侨切蔚闹荛L是 ，所以 .
兩邊平方，得 ，即 .
由勾股定理知 ，
所以 ，所以 .
10.D 解析：因?yàn)?垂直平分 ，所以 .
所以△ 的周長 （cm）.
11.100° 解析:如圖所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直線是線段BC的垂直平分線，連接OB，則OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=
∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.
所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12.直角 解析:直角三角形的三條高線交點(diǎn)恰好是此三
角形的一個(gè)頂點(diǎn)；銳角三角形的三條高線交點(diǎn)在此三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的三條高線交點(diǎn)在三角形的外部.
13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.
因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.
因?yàn)镈E垂直平分AB，所以DA＝DB，
所以∠DBE＝∠A＝50°.
所以∠DBC＝65°－50°＝15°.
14.20 cm 解析:根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因?yàn)?，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以 .
在Rt△ 中，因?yàn)?，所以 .
又 ，所 .
16.4∶3 解析：如圖所示，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，
垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N.
∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN.
∵ AB×DM，
AC×DN，
∴ . 第16題答圖
17. 解析:∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，
∴ ∠B=∠C=
∵ AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴ AD=CD.
∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°，
∴ ∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°.
19.證明：∵ ，
∴ ∥ ，∴ .
又∵ 為∠ 的平分線，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 解：應(yīng)用：若PB＝PC，連接PB，則∠PCB＝∠PBC.
∵ CD為等邊三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴
∴
∴
與已知PD＝ AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA＝PC，連接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝ AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，設(shè)PA＝x，則x2+32=(4-x)2，∴ x ＝ ，即PA＝ .
若PA＝PC，則PA＝2.
若PA＝PB，由圖（2）知，在Rt△PAB中，這種情況不可能.故PA＝2或 .
21.證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)E，
過點(diǎn)D作 于點(diǎn)F.
因?yàn)锽D平分∠ABC，所以 .
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.
所以∠ =∠ .
因?yàn)椤?∠ 80°，
所以∠ .
22.解：因?yàn)椤鰽BD和△CDE都是等邊三角形，
所以 ，∠ ∠ 60°.
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，
即∠ ∠ .
在△ 和△ 中，因?yàn)?BR> 所以△ ≌△ ，所以 .
又 ，所以 .
在等腰直角△ 中， ，故 .
23.解： ，BE⊥EC.
證明：∵ ，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴ .
∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠ ∠ .
∴ ∠ ∠ 90°.∴ ⊥ .
24.證明：∵ AE∥BD，∴ ∠EAC＝∠ACB.
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠EAC＝∠B.
又∵ ∠BAD＝∠ACE＝90°，
∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD＝CE.
25.證明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于點(diǎn) ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.